第二章第一节曲面的概念显式方程和隐式方程表示.doc

第二章 曲面的表示与曲面论第一节 曲面的显式方程和隐式方程一、由显式方程表示的曲面 设是有界闭区域，函数连续。我们称函数的图像为一张曲面，它展布在上，称这个曲面是由显式方程所确定的。 通常用表示一个曲面。二、几种常见的曲面 例1 在空间直角坐标系中，中心在坐标原点、半径为、在平面上方的那个半球面（称为上半球面），它的显式方程为，其中，即是平面上以原点为中心、半径为的圆盘。显然，下半球面的方程为，；同样可给出左半球面、右半球面的方程式。例2 点集是中的一块等边三角形。这块曲面有显式表达，其中。例3 由方程，（常数），所确定的曲面称为双曲抛物面。由于这曲面在在平面的上的，第一、第三象限中，在平面的上方，而在第二、第四象限中是在平面的下方，因此在原点的近旁，曲面呈鞍的形状，俗称马鞍面。例4 旋转曲面的方程设在平面上有一条显式曲线。如果固定轴不动，让平面绕着轴旋转，那么这一条曲线就扫出一张曲面，称之为旋转曲面。设，它在过点平行于平面的平面上，以为中心，半径为的圆周上（），于是得这个旋转曲面的方程为。曲线称为这个旋转曲面的发生线。为了了解旋转曲面的几何形态，通常看一看发生线的形状就足够了。例如 曲面，是一个旋转曲面，这是一个圆锥面；它的发生线是直线。曲面，是一个旋转抛物面，因为它的发生线是抛物线 把平面上的曲线绕轴旋转一周，那么这条曲线就扫出一张曲面，称之为旋转曲面。 设，它在过点平行于平面的平面上，以中心，半径为的圆周上。 显然，曲面的方程为，由此得旋转曲面在正方向的方程为，其中是旋转曲面在平面的投影区域，。例如 把平面上曲线，绕轴旋转一周，所得旋转曲面方程为 。三、曲面的隐式表示例如，表示中心在原点，半径为的球面，这个球面上的点完全可以用方程的解来表示。一般地，设三元函数定义在区域，区域中所有满足方程 ， （2）的点集组成一张曲面，称为由方程（2）所确定的隐式曲面。例如，表示椭球面；表示锥面。四、曲面的切平面和法向量设是隐式曲面（2）上的一点，任意作一条过点的曲面上的曲线，设有参数方程并且参数对应着点，将参数方程的三个分量代入（2），得到一个关于的恒等式 ，对上式双方在点处求导，得到用向量的内积来表示，上式乃是，这表明：曲线在点的切向量与向量 （3）垂直，由于是曲面上过点的任一条曲线，而（3）是一个固定的向量，这表明：曲线上过点的任何曲线在点的切线是共面的。这个平面称为曲面（2）在的切平面，而向量（3）称为曲面（2）在点处的一个法向量，所以，曲面（2）在点处的切平面的方程是，（4）这里是切平面上的流动坐标。曲面在一点处的法线方程亦可写出。例如：考察球面，在点处，由（3）可得法向量，这是一个指向球外的法向量，可以叫做外法向量。为了求球的切平面方程，由（4）可得，注意到是球面上的点，上式又可写作；例 考察椭球面，在点处，法向量，切平面，注意到是椭球面上的点，上式又可写作 。例 求曲面上的任意点，处的切平面在个坐标轴上的截距之和.解：记，则，于是过点的切平面方程为，在，轴上的截距分别为，从而其和.1、 梯度的定义、记号、性质设为一开集，函数连续可微。向量称为在的梯度（），记为，即 。记算子， 。于是梯度有两个表示， 。梯度的运算性质是显然可以给出的。2、方向导数与梯度的关系：设是一个方向，则。2、 函数沿梯度方向的方向导数取到最大值，即函数沿梯度方向的变化率最大。实事上 ，令，而，即得 。（理论含义和实际意义解释。这也是引入梯度的一个原因。）3、 梯度的几何意义等值面：称点集为数量场的-等值面。数量场的梯度正是的等值面的法向量，例如，的-等值面是球面：。二元函数的等值面是等高线或水平集。（树木的年轮；海水（河水）在岸边面上的冲刷水印痕迹；包菜的一层层面；洋葱的一层层面等。） 例 由方程所确定的隐函数。在中对求导得，（两向量正交）；正是曲线的切向量，曲线的法向量。切线方程为。例 椭圆或双曲线，在点处的的法向量法向量，切线方程为。五、显式曲面的切平面和法向量曲面，令，则此曲面的方程为，；任取，再置，依（3）可得曲面的一个法向量 （5）由（5）看出：这法向量的第三个分量为1，所以它同轴的正向的夹角不超过，可以称（5）为上法向量，相应地可称为曲面的下法向量，这两个法向量只是有相反的方向，所以它们都是垂直于过的切平面。这时切平面的方程为，(6)六、对隐式曲面，在一定条件下，可以解成显式曲面。例如， 。由两个曲面相交的曲线的切线方程和法平面方程设曲面与曲面的交线为。设为曲线在处的切向量，则有 ， 记，显然是曲线在处的切线方向，由此可写出切线方程和法平面方程。例 设圆锥面的顶点在原点，且三个坐标轴的正半轴都在其上，求圆锥面的方程.解：由条件知，该圆锥面的中心轴的方向为， 平面垂直于中心轴， 平面与坐标轴的交点分别为， 平面与圆锥面的交线为圆，其方程为 即 ，设为圆锥面上的任一点，则存在，使在上，即，故,或者 .设是曲面外一点，若，求证直线是在点处的法线.证明 设，显然在上连续，为有界闭集，在上达到最大值和最小值，设在处达到最大值或最小值，令，令，在处取到条件极值，必是的驻点，即得满足，曲面在的法线方向为，所以直线是在点处的法线.1 设椭球面的切平面与三个坐标平面所围成的几何体的最小体积.解：设切点为C，则过点C的切平面的方程为：，所以切平面与三个坐标面所围成的几何体是一个三棱锥，他的体积是，由几何平均-算术平均不等式可知：所以，等号当且仅当时取到。设是定义在开区域D上的有连续的偏导数的三元函数，且，S是由定义的封闭的光滑曲面。若且P与Q之间的距离是S中任意两点之间距离的最大值,求证：过P的S的切平面与过Q的S的