第一讲 数与式.doc

第一讲 数与式1.1 数与式的运算1.1绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零，即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离练 习1填空：（1）若，则x=_；若，则x=_.（2）如果，且，则b_；若，则c_.2下列叙述正确的是（A）若，则 （B）若，则（C）若，则 （D）若，则例1： 解不等式：3化简：1.1.2. 乘法公式乘法公式1：（1）平方差公式 （2）完全平方公式 乘法公式2：（1）立方和公式 （2）立方差公式 （3）三数和平方公式 （4）两数和立方公式 （5）两数差立方公式 例1 计算：例2 已知，求的值练 习1填空： （1）（ ） （2） (3 ) 2选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于（A） （B） （C） （D）（2）不论，为何实数，的值 （A）总是正数 （B）总是负数（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数1.1.3二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，等是有理式1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等 一般地，与，与，与互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式的意义例1：将下列式子化为最简二次根式：（1）； （2）； （3）例2计算：例3 试比较下列各组数的大小：（1）和 （2）和例4化简：例 5 化简：（1） （2）例 6 已知，求的值练 习1填空：（1）_ _；（2）若，则的取值范围是_ _ _；（3）_ _；（4）若，则_ _。2选择题：等式成立的条件是（A） （B） （C） （D）3若，求的值4比较大小：2 （填“”，或“”）5在数轴上表示a，b，c三个数的点在位置如图所示：化简：.6.当x =_时，代数式的值为零7已知，求实数x、y的值8已知，求值：(1) ； (2) 1.1.分式1分式的意义：形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式当M0时，分式具有下列性质：分式的基本性质 2繁分式：像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例1若，求常数的值例2（1）试证：（其中n是正整数）；（2）计算：；（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有例3设，求的值练 习1填空题：对任意的正整数n， ()；2选择题：若，则（A） （B） （C） （D）3正数满足，求的值4计算1解不等式：(1) ； (2) (3) 已知，求的值3填空：（1）_；（2）若，则的取值范围是_；（3）_4填空：（1），则_ _；（2）若，则_ _；5已知：，求的值6选择题：（1）若，则 （A） （B） （C） （D）（2）计算等于（A） （B） （C） （D）7解方程8计算：9试证：对任意的正整数n，有12 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例1 分解因式：（1）x23x2； （2）x24x12；（3）； （4）2提取公因式法例2 分解因式：（1）3关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为例3把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）； （2）练 习1多项式的一个因式为（A） （B） （C） （D）2分解因式：（1）x26x8； （2）8a3b3 （3）x22x13分解因式：（1） （2） （3）4在实数范围内因式分解：（1） （2）（3） （4）3三边，满足，试判定的形状。计算：（1） ； （2） ；（3） ； （4） ；小结：如果对于一个二次项系数是1的二次三项式，能恰当选择a，b，使，那么这个二次三项式就可以分解因式即=（x+a）（x+b）运用这个公式，可以把某些二次项系数是1的二次三项式分解因式例1 把分解因式 把分解因式 二次项系数是1的某些二次三项式因式分解的思路和方法： 1）先把二次三项式的常数项分解成两个同号的因数；2）选择其中的一对因数，使它们的代数和等于二次三项式的一次项系数；3）把二次三项式写成两个一次因式积的形式练习1：请把下列各式分解因式： （1）x2+5x+6= ； （2）y2-7y+12= ； （3）a2+11a+28= ； （4）x2-16x+28= ；（5）x2-4x-21= ； （6） ；根据各题中的等式填空： （1）(x+4)(2x+3) =2 x2+11x+12中 =2， =12， =11；（2）(2x+1)(5x-3) =10x2-x-3中 =10， =-3， =-1；（3）(2x-1)(x+3) =2x2+5x-3中 =2， =-3， =5；例3 （1）2x2+5x-3 = ； （2） 10x2-x-3= 练习2 利用十字相乘法分解因式： (1) 3x2+11x+10=_ ； (2) 2x2+15x+7=_； (3) 3x2-8x+4=_； (4) 6x2-13x+2=_； (5) 2x2+5x-12=_ ； (6) 4x2+11x-3=_.练习3 利用分解因式法求方程的根:(1) m2+7m-30=0； (2) a2-a-12=0； (3) x2+2x-8=0；(4) m2m=0； (5) 4x2-4x-3=0； (6) 8x2-2x+3=0； (7) 2x2+5x-12=0； (8) 6x2+11x-2=0.利用分解因式法解方程：(1) a2+7a+12=0； (2) a2-a-56=0； (3) x2+3x-130=0；(4) m2-9m+20=0； (5) y2-5y-6=0； (6) x2-14x+40=0；(7) x2-9x-36=0； (