航空公司超额订票的收益分析.doc

第 19 卷第 3 期2003 年 6 月大学数学COLL EGE M A TH EM A T ICSV o l. 19, . 3J un. 2003航空公司超额订票的收益分析周圣武, 张兴永, 吴宗翔(中国矿业大学 数学系, 徐州 221008) 摘要 研究了航空公司超额预订机票的收益问题. 通过建立多等级票价模型, 分别对一个航班和两个航班超额订票的收益进行研究, 并讨论收益对预订票数、未到乘客数等参量的敏感性. 关键词 超额订票; 航班; 泊松分布; 期望利润由于航空公司不能完全预料乘客在订票后能否登机, 为了追求最大利润, 往往预订给乘客某次航班的票数要适当多于该航班所能容纳的乘客数, 这样就导致一些乘客可能被挤掉而无法搭乘这个预订航班. 另一方面, 为了争取更多的客源、提高客座率, 航空公司在提高服务质量的同时, 对被挤掉的乘客进行经济补偿以减少由此造成的不利影响.影响航空公司收益的主要因素有航班的客座率、飞机飞行费用、公司对被挤掉订票乘客的赔偿费用、公司信誉、机场安全管理费用等.1一个航班的情况我们把取消旅行和缺席订票的乘客统称为未到乘客. 假设: 机票全部被订走, 任一乘客出现的概率均为 p , 未到的概率为 q (q= 1- p ) , 并且预订机票的乘客的出现与否是相互独立的. 对于一个具有 N 个座位的航班, 假设该航班共预订出 m (m N ) 张票, 则其未到乘客人数 X 服从参数为 m , q 的二项分布,即k k m - k另一方面, 由于超额预订情况的存在, 到达机场的已订票的乘客存在被挤掉的可能性. 如果“大量乘客被挤掉”这一情况出现的概率偏大, 航空公司的信誉将会受到损害, 有造成未来乘客逐渐减少的潜在危机, 为了消除这种影响, 航空公司应采取有效措施, 在追求最大利润的同时, 尽量减少乘客被挤掉的概率.我们建立一个多等级票价模型, 把机票分为全价票和低价票两种, 面 值 分 别 为 g 1 = g 和 g 2 = rg(0 r N ,其中 f 为本次航班的成本费用, k 为预定全价票的乘客中未到的人数, N 为航班的座位数.k k m - j - k 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 中图分类号 O 29; O 211 文献标识码 C 文章编号 167221454 (2003) 0320005203, k = 0, 1, 2, , m .p k = P X = k = C m q pm - j 个全费乘客中未到 k 人的概率为 p k = C m - j q p (k = 0, 1, , m - j ) , 则一个航班的期望利 收稿日期 20022042016大学数学第 19 卷润为mk kk = 0m - N - 1 mkk = 0 k = m - N注意到 p k = 0 (k = m - j + 1, , m ) ,m m - j m m - jkk = 0 k = 0 k = 0 k = 0从而有m - N - 1S = p (m - j ) g + j rg - f - (b+ g ) p k (m - N - k ).k = 0在通常情况下, 若取 f = 0. 6N g , 则期望利润率m - N - 1S 1=f k = 0对一个具体的航空公司而言, 在 N , b g , p , j 和 r 的值给定以后, 可以通过数值模拟方法确定 m 使S照如下公式计算:m - N - 1P 至少有 i 个乘客被挤掉= p k.k = 0以波音 7437- 300 为例, 在给定各参数 N , b g , j 和 r 值的条件下进行计算机模拟, 得到部分结果如下:情况如图 1 所示. 随着 p 的减小, 最大期望利润率减小, 相应的订票水平 m 显著升高、被挤掉的人数 k显著增多.变化情况如图 2 所示. 随着 b g 的增大, 最大期望利润率减小, 相应的订票水平 m 有所减小. 在最大期图 1图 22两个航班的情况我们现在需考虑相邻两个航班之间的相互影响. 以相邻两次航班为一个整体考察对象进行分析, 此时在一个组合中前一航班对后一航班的影响主要表现在以下两个方面:( i) 对于前一个航班被挤掉的乘客, 航公司应为其安排下一个航班的座位并赔偿一部分损失. 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. S = p S= p k (N - j (1- r) ) g - f - (m - k - N ) b + p (m - k - j (1- r) ) g - f . p k = p k = 1, kp k = kp = (m - j ) q,(1 + b g ) p k (m - N - k ) - 1.p (m -j ) + jr -016N f 达到最大值. 当 m 很大时, 可用泊松分布近似计算 p k. 另外,“至少有 i 个人被挤掉”的概率可以按(3 )( i) 取 N = 300, b g = 018, j = 100 和 r= 0175, 在不同的 p 下期望利润率 S f 与订票水平m 的变化( ii) 取 N = 300, j = 100, r= 0175 和 p = 0195, 在不同的 b g 下, 期望利润率 S f 与订票水平 m 的望03272.率这表明被挤掉的人数对别 算 的变化较为敏感乘相反最大期望利润率对于这种变化相对不敏感第 3 期周圣武, 等: 航空公司超额订票的收益分析7( ii) 如果前一个航班被挤掉的乘客较多, 则后一个航班的乘客被挤掉的概率也会增加. 此时可将 p调整为 p Nm 1+ m 2- Np , 其中 m 1、m 2 分别表示前一个航班和后一个航班的预订票数.m 1 - N - 1S 1 1= p (m 1- j 1) + j 1 r- (1+ b g ) p k (m 1- N - k ) - 1,f k = 0其中后一个航班的票价、赔偿费用等与前一个航班相同. 同理可得-S 2 1= ( ( -f k = 0k mN N - i1, i1 表示前一个航班被挤掉的乘客人数我们仍以波音 737- 300 为例, 在给定各参数 N , b g , j 1, j 2 和 r 值的条件下, 分别讨论订票水平 m 1和 m 2 对两个航班总期望利润率的影响, 进行计算机模拟, 部分结果如下:于 5 人被挤掉的概率如图 3 所示.图 3图 4图 5从图中可以看出, 随着 m 1 的增大 P i 1 5 也增加, 但当 m 1 增大到一定程度时, P i1 5 的增长变得非常缓慢, 即订票水平的调整只在某个范围内对被挤掉概率产生影响.( ii) 因为后一个航班的乘客也被挤掉概率受前一航班的影响, 所以后一个航班的乘客被挤掉的概率不仅取决于 m 2 也取决于 m 1, 图 4 给出了不同的 m 1 水平下 m 2 的变化对 P i2 5的影响.计算机进行搜索, 可求得两个航班的期望利润率对应的变化趋势, 如图 5 所示. 与一个航班时的最大期望利润率相比较, 在两个航班的情况下, 单个航班的最大期望利润率有所增加. 参考文献 1 朱道元. 数学建模精品案例 M . 南京: 东南大学出版社, 1999. 2 叶其孝. 数学建模教育与国际数学建模竞赛 M . 合肥: 工科数学杂志社, 1994. 3 姜启源. 数学模型 M . 北京: 高等教育出版社, 1996. 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. =仿照一个航班的期望利润率的计算方法, 对于前一个航班, 若取 f = 016N g , 则有016Nm 2 - N 1p m 2- j 2) + j 2 r- (1+ b g ) p k m 2- N k ) + e - 1,016N其中 m 2 表示后一个航班的预定票数, j 2 表示后一个航班上订低价票的乘客数, p k C mk 2- j 2 qp 2- j 2 - k ,=( i) 因为前一个航班的乘客被挤掉的概率与后一个航班无关, 由 (3 ) 式可求得不同订票水平下大( ii