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第五章例题剖析1.一电荷为的线性谐振子受恒定弱电场作用。设电场沿方向：（1）用微扰法求能量至二级修正；（2）求能量的准确值，并和（1）所得的结果比较。解（1）荷电为的线性谐振子由于电场作用所具有的能量为，因为是弱电场，故与无电场时谐振子具有的总能量相比较，显然有令 ，显然，可以看作微扰，因此可以用微扰法求解。线性谐振子在外电场作用下的总哈密顿算符是无微扰时，线性谐振子的零级波函数是当体系处于第态时，考虑微扰的影响，则能量变为其中 其中利用递推公式故 利用厄密多项式的正交性可以看出上面的积分为零，即这表明能量一级修正为零。下面求能量的二级修正。为此计算矩阵元而 最后得能量的二级修正为故在准确到二级修正的情况下，总能量为（2）由于微扰能量是线性的，因此我们可以采用配成完全平方的方法，把哈密顿算符加以变形，从而求得能量的准确性。其中 定态薛定谔方程是而 令 ，则得故 这样算出的结果和用微扰法算出的结果完全一致。2计算氢原子由态跃迁到态时所发出的光谱线强度。解 系统由状态到状态所发出的光谱线的强度决定于处在状态中的原子数和单位时间内跃迁的几率，谱线强度表示这样跃时所放出的能量。一般地 而 注意到由谱线的圆频率为而 有三个状态，即（2，1，0），（2，1，1）和（2，1，-1）（1）先计算的矩阵元利用公式这是因为可得：其中令 同理，容易算得：（2）计算的矩阵元故虑到 这里用到了以及球谐函数的正交性。（3）计算的矩阵元：故虑到 （4
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