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1 补充例题及练习补充例题及练习 一 本课主要知识点及备选例题 1 比例线段的概念和性质 1 线段的比即两条线段长度的比 2 若线段 a b c d 满足 a b c d 则说这四条线段对应成比例 4 比例性质 若 则 反之也成立 d c b a bcad 若 则 0 ndb n m d c b a b a ndb mca 例题 1 若 3x 2y 则 x y 2 已知 1 x 4 y 则 x y 3 已知 3 2 4 y 则 y 4 若 3x 4y 0 则 y x y yx 5 已知 则 2 d c b a db ca 6 若 则 0 435 cba b cba 2 相似图形与相似多边形 1 相似图形 形状相同的图形 2 相似多边形 定义 对应角相等 对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形 性质 相似多边形的对应角相等 对应边成比例 对应边的比等于相似比 周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 练习 下列五类图形 两个矩形 两个等腰三角形 两个等边三角形 两个正方形 两个菱形 其中两个图形一定相似的是 3 相似三角形 1 相似三角形的概念 对应边成比例 对应角相等的三角形 2 相似三角形的判定 2 平行于三角形一边的直线和其他两边 或延长线 相交 所构成的三角形与 原三角形相似 角形相似 两角对应相等的两个三 相似 对应相等的两个三角形两边对应成比例且夹角 三角形相似 三边对应成比例的两个 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 3 相似三角形的性质 若两个三角形相似 则对应角相等 对应边成比例 若两个三角形相似比为 k 则它们的对应高的比 对应中线的比 对应 角平分线的比都等于相似比 k 周长比为 k 面积比为 k2 例题 1 2006 年辽宁省大连市 如图 Rt ABC Rt DEF 则 E 的度数为 A 30 B 45 C 60 D 90 2 如图 中 D E 分别是 AB AC 上的点 ABC BCDE 1 DE3 BC 则 AD 的长为 6 AB A 1 B 1 5 C 2 D 2 5 3 如图 D E 分别是 ABC 的边 AB AC 上的点 1 B AE EC 4 BC 10 AB 12 则 ADE 和 ACB 的周长之比为 A B C D 1 2 1 3 1 4 1 6 4 如图 已知 ABC DBE AB 6 DB 8 则 DBEABC SS 5 如图 点 D E 在 BC 上 且 FD AB FE AC DF 6 DE 5 AB 15 则 BC 的长为 6 湖北省咸宁市 如图 DAB CAE 请补充一个条件 使 ABC ADE DB 或AEDC 或 ADAE ABAC A D E 1 BC 第 3 题 E 第 6 题图 DA CB F ED CB A 3 A BC D E F 7 2006 山东烟台市 如图 请你补充一个你认为正确的条件 使 ABC ACD 8 如图 四边形 ABCD 中 AD BC 若要使 ABC DCA 则还需要补充的一个条件是 9 如图 DE 两点分别在ABC 的边ABAC 上 DE与BC不平 行 当满足 条件 写出一个即可 时 ADEACB 10 如图 平行四边形ABCD中 E是边BC上的点 AE交 BD于点F 如果 2 3 BE BC 那么 BF FD 11 如图 4 已知 AB BD ED BD C 是线段 BD 的中点 且 AC CE ED 1 BD 4 那么 AB 12 如图 一束光线从 y 轴上点 A 0 1 发出 经过 x 轴上点 C 反射后 经过点 B 6 2 则光线从 A 点到 B 点经过的路线的长度为 精确到 0 01 13 2008 台湾 图为 ABC 与 DEC 重叠的情形 其中 E 在 BC 上 AC 交 DE 于 F 点 且 AB DE 若 ABC 与 DEC 的面积相等 且 EF 9 AB 12 则 DF A 3 B 7 C 12 D 15 A E C B D E C DA F B 4 14 2008 江西南昌 下列四个三角形 与左图中的三角形相似的是 15 2006 年福建省福州市 如图 在 7 12 的正方形网格中有一只可爱的小狐狸 算算看 画面中由实线组成的相似三角形有 A 4 对 B 3 对 C 2 对 D 1 对 16 2006 年山东聊城 如图 是斜边上任意PRtABC AB 一点 两点除外 过点作一直线 使截得的三ABP 角形与相似 这样的直线可以作 RtABC A 条B 条C 条D 条1234 17 矩形 ABCD 中 AB 4 BC 6 M 是 BC 的中点 DE AM E 是垂足 求 ABM 的面积 求 DE 的长 求 ADE 的面积 18 如图 已知 ABC CDB 90 AC a CB b 当 BD 与 a b 之间满 足怎样的关系式时 ACB CBD E M D CB A 第 7 题 A B C D 5 19 如图 在中 P 为 AB 上一点 且点 P 不与点 A 重合 过点 P 作ABC 90 C PE AB 交 AC 边于 E 点 点 E 不与点 C 重点 若 设 AP 的长为 x 四10 AB8 AC 边形 PECB 的周长为 y 求 y 与 x 之间的函数关系式 20 如图 在中 AD 平分交 BC 与 D 点 E F 分别在边 AB AC 上 且ABC BAC BE AF FG AB 交线段 AD 于点 G 连接 BG EF 1 求证 四边形 BGFE 是平行四边形 2 若 AB 10 AG 6 求线段 BE 的长 ABG AGF 21 08 北京中考 已知 如图 在中 点在上 以为圆RtABC 90C OABO 心 长为半径的圆与分别交于点 且 OAACAB DE CBDA 1 判断直线与的位置关系 并证明你的结论 BDOA 2 若 求的长 8 5AD AO 2BC BD 22 如图 20 已知半径为 1 的与轴交于两点 为的切线 切点为 1 OAxAB OM 1 OAM 圆心的坐标为 二次函数的图象经过两点 1 O 2 0 2 yxbxc AB 1 求二次函数的解析式 2 求切线的函数解析式 OM 3 线段上是否存在一点 使得以为顶点的三角形与相OMPPOA 1 OO M 似 若存在 请求出所有符合条件的点的坐标 若不存在 请说明理由 P D C O AB E 图 21 y xO AB M O1 6 23 如图所示 已知抛物线与轴交于 A B 两点 与轴交于点 C 2 1yx xy 1 求 A B C 三点的坐标 2 过点 A 作 AP CB 交抛物线于点 P 求四边形 ACBP 的面积 3 在轴上方的抛物线上是否存在一点 M 过 M 作 MG轴x x 于点 G 使以 A M G 三点为顶点的三角形与PCA 相似 若存在 请求出 M 点的坐标 否则 请说明理由 4 相似三角形的应用 例题 1 阳光明媚的一天 数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度 这棵树底部可以到达 顶部不易到达 他们带了以下测量工具 皮尺 标杆 一副三角尺 小平面镜 请你在 他们提供的测量工具中选出所需工具 设计一种测量方案 1 所需的测量工具是 2 请在下图中画出测量示意图 3 设树高AB的长度为x 请用所测数据 用小写字母表示 求出x 2 2008 浙江 丽水 为了加强视力保护意识 小明想在长为 3 2 米 宽为 4 3 米的书房 里挂一张测试距离为 5 米的视力表 在一次课题学习课上 小明向全班同学征集 解 决空间过小 如何放置视力表问题 的方案 其中甲 乙 丙三位同学设计方案新颖 构思巧妙 1 甲生的方案 如图 1 将视力表挂在墙ABEF和墙ADGF的夹角处 被测试人站立 在对角线AC上 问 甲生的设计方案是否可行 请说明理由 2 乙生的方案 如图 2 将视力表挂在墙CDGH上 在墙 ABEF 上挂一面足够大的平 面镜 根据平面镜成像原理可计算得到 测试线应画在距离墙ABEF 米处 第 1 题图 图 22 C P B y A o x 7 C A B A D AO A E A F A 第 18 题图 3 丙生的方案 如图 3 根据测试距离为 5m 的大视力表制作一个测试距 为 3m 的小视 力表 如果大视力表中 E 的长是 3 5cm 那么小视力表中相应 E 的长是多少 cm 4 位似图形 1 定义 若两个图形不仅是相似图形 而且每组对应点所在的直线都交 于同一点 对应边平行 或共线 则这两个图形叫做位似图形 这个 点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比 2 性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 3 平面直角坐标系下位似变换图形坐标的特征 在平面直角坐标系中 如果位似变换是以原点为位似中心 相似比为 k 那么位似图形对应的 坐标的比等于 k 或 k 例题 1 如图 DEF 是由ABC 经过位似变换得到的 点O是位似中心 DEF 分别是OAOBOC 的中点 则DEF 与ABC 的面积比是 A 1 6B 1 5C 1 4D 1 2 2 2008 年湖北省咸宁市 如图 在 8 8 的网格中 每个小正方形的顶点叫做格点 OAB 的顶点都在格点上 请在网格中画出 OAB 的一个位似图形 使两个图形以 O 为位似中心 且所画图形与 OAB 的位似比为 2 1 3 威海市 如图 已知 EFH 和 MNK 是位似图形 那么其位似 中心是点 H H 图 1 图 2 图 3 第 22 题 3 5 A C F 3m B 5m D A 第 2 题图 B O H E F M N K A B C D 8 图 5 4 2006 年广东省 如图 图中的小方格都是边长为 1 的正方形 ABC 与 A B C 是 关于点 O 为位似中心的位似图形 它们的顶点都在小正方形的顶点上 1 画出位似中心点 O 2 求出 ABC 与 A B C 的位似比 3 以点 O 为位似中心 再画一个 A1B1C1 使它与 ABC 的位似比等于 1 5 5 5 如图 O是直角坐标系的原点 点 A 3 0 B 1 2 1 以O为位似中心 将 OAB 放大 使得放大后的 OA1B1与 OAB 相似比为 2 1 且 11B OA与 OAB 在原点同侧 画出 OA1B1 2 求出线段 A1B1所在直线的函数关系式 二 可供选用的练习 A 组 1 已知 那么下列式子中一定成立的是 23 yx A B C D yx32 yx23 yx6 6 xy 2 若 且 5a 2b c 24 则 a b c 543 cba 3 2008 泰州市 在比例尺为 1 2000 的地图上测得 AB 两地间的图上距离为 5cm 则 AB 两地间的实际距离为 m 4 2008 年杭州市 在 Rt ABC 中 C 为直角 CD AB 于点 D BC 3 AB 5 写出其中的一对相似三角形是 和 并写出它的面积比 5 如图 要测量 A B 两点间距离 在 O 点打桩 取 OA 的中点 C OB 的中点 D 测得 CD 30 米 则 AB 米 D C BA OBx A y 9 第 4 题 A B C D E A 6 如图 已知 AD 与 BC 相交于点 O AB CD 如果 B 40 D 30 则 AOC 的大小为 A 60 B 70 C 80 D 120 7 2008 年荆州 两个相似三角形周长的比为 2 3 则其对应的面积比为 8 2008 年庆阳市 两个相似三角形的面积比 S1 S2与它们对应高之比 h1 h2之间的 关系为 9 在同一时刻 身高 1 6 米的小强在阳光下的影长为 0 8 米 一棵大树的影长为 4 8 米 则树的高度为 A 4 8 米B 6 4 米C 9 6 米D 10 米 10 2006 年福建省南安市 如图 DE 是 ABC 的中位线 S ADE 2 则 S ABC 11 如图 在中 DE BC AD DB 1 2 ABC 则 ADE S ABC S A 1 2 B 1 4 C 1 8 D 1 9 12 2008 江苏南京 小刚身高 1 7m 测得他站立在阳关下的影子长为 0 85m 紧接着他把 手臂竖直举起 测得影子长为 1 1m 那么小刚举起手臂超出头顶 A 0 5m B 0 55m C 0 6m D 2 2m 13 2006 年湖北襄樊 如图 已知 DE BC AB 14 AC 18 AE 10 则 AD 的长为 A B C D 70 9 9 70 126 5 5 126 14 2006 年湖北宜昌 如图 在 ABC 中 D E F 分别是 AB AC BC 的中点 则 DEF 与 ABC 的周长之比为 A 1 B 1 2 C 1 3 D 1 42 15 2006 年湖南湘潭市 下列命题中真命题的个数是 两个相似多边形面积之比等于相似比的平方 两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比 在与中 ABC A B C ABAC AA A BA C AB CD O 图 6 10 那么 ABCA B C 已知及位似中心 能够作一个且只能作一个三角形 使位似比为 ABC O0 5 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 16 下列命题中 错误的命题是 A 所有的等边三角形都是彼此相似的三角形 B 所有的矩形都是彼此相似的四边形 C 所有的等腰直角三角形都是彼此相似的三角形 D 有两组对应边成比例的直角三角形相似 17 2006 年南京市 如图 电灯 P 在横杆 AB 的正上方 AB 在灯光下 的影子为CD AB CD AB 2m CD 5m 点P到CD的距离是 3m 则P到AB的距离是 A B C D 5 6 m 6 7 m 6 5 m 10 3 m 18 2006 年江苏南通市 如图 DE 与 ABC 的边 AB AC 分别相交 于 D E 两点 且 DE BC 若 DE 2 BC 3 EC 3 2 则 AC 19 如右图 E 是平行四边形 ABCD 边 DC 上一点 AE 延长线 交 BC 延长线于 F 则图中有 对相似三角形 20 如图 每个小正方形边长均为 1 则下列图中的三角形 阴影部分 与左图中 ABC 相似的是 21 2008 湘潭市 如图 已知D E分别是ABC 的AB AC边上的点 DE BC 且 1 ADEDBCE SS A四边形 那么 AE AC等于 A 1 9 B 1 3 C 1 8 D 1 2 22 如图 已知 CD 是 Rt ABC 的斜边上的高 其中 AD 9cm BD 4cm 那么 CD 等于 cm B A C DE A B C D A B C 11 A B G C D E F L DCA P B 23 2008 山东 临沂 如图 ABCD 中 E 是 CD 的延长线上一点 BE 与 AD 交于点 F CDDE 2 1 求证 ABF CEB 若 DEF 的面积为 2 求 ABCD 的面积 24 如图 点 C D 在线段 AB 上 PCD 是等边三角形 A BPD 1 求证 ACP PDB 2 求 APB 的度数 B 组 1 2006 年吉林省长春市 如图 在正方形网格上 若使 ABC PBD 则点 P 应在 A P1处B P2处 C P3处 D P4处 2 2006 年辽宁省大连市 如图 点 A B C D E F G H K 都是 7 8 方格纸中的格点 为使 DEM ABC 则点 M 应是 F G H K 四点中的 A F B G C H D K 3 2006 年黑龙江省 在 ABC 中 AB BC AC D 是 AC 的中点 过点 D 作直线 L 使 截得的三角形与原三角形相似 这样的直线 L 有 条 4 2006 湖南邵阳市 如图 将一副三角板按叠放 则 AOB 与 DOC 的面积之比等于 A B C D 3 1 2 1 3 1 4 1 5 2008 台湾 如图 G 是 ABC 的重心 直线 L 过 A 点与 BC 平行 若直线 CG 分别与 AB L 交于 D E 两点 直线 BG 与 AC 交于 F 点 则 AED 的面积 四边形 ADGF 的面积 A 1 2 B 2 1 C 2 3 D 3 2 第 21 题图 F A D E BC 12 M PN DQ E CB A 6 如图 点 1234 AAAA 在射线OA上 点 123 BBB 在射线 OB上 且 112233 ABA BA B 213243 A BA BA B 若 212 A B B 323 A B B 的面积分别为 1 4 则图中三个阴影三角形 面积之和 为 7 如图 Rt ABAC 中 AB AC AB 3 AC 4 P 是 BC 边上一点 作 PE AB 于 E PD AC 于 D 设 BP x 则 PD PE A 3 5 x B 4 5 x C 7 2 D 2 1212 525 xx 8 2008 山东烟台 如图 在 Rt ABC 内有边长分别为 a b c的三个正方形 则 a b c满足 的关系式是 A bac B bac C 222 bac D 22bac 9 2008 年广东茂名市 如图 ABC 是等边三角形 被一平行于 BC 的矩形所截 AB 被 截成三等分 则图中阴影部分的面积是 ABC 的面积的 9 1 9 2 3 1 9 4 10 2006 年韶关市 如右图 已知的周长为 连结三边ABC 1ABC 的中点构成第二个三角形 再连结第二个三角形三边的中点构成第三 个三角形 依此类推 则第 10 个三角形的周长为 A B C D 1 9 1 10 9 1 2 10 1 2 11 如图 ABC 是一块锐角三角形余料 边 BC 120mm 高 AD 80mm 要把它加工 成正方形零件 使正方形的一边在 BC 上 其余两顶点分别在 AB AC 上 这个正方形的 边长是多少 第 6 题图 O A1A2A3A4A B B1 B2 B3 1 4 A B C D E P G C A 第 9 题图 13 12 如图 5 在 ABC 中 BC AC 点 D 在 BC 上 且 DC AC ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F 点 E 是 AB 的中点 连结 EF 1 求证 EF BC 2 若四边形 BDFE 的面积为 6 求 ABD 的面积 13 如图 10 所示 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的 动点 EF DE 交 BC 于点 F 1 求证 ADE BEF 2 设正方形的边长为 4 AE x BF y 当x取什么值时 y有最大值 并求出 这个最大值 14 2008 年江苏省南通市 如图 四边形 ABCD 中 AD CD DAB ACB 90 过点 D 作 DE AC 垂足为 F DE 与 AB 相交于点 E 1 求证 AB AF CB CD 2 已知 AB 15cm BC 9cm P 是射线 DE 上的动点 设 DP xcm x 0 四边形 BCDP 的面积为 ycm2 求 y 关于 x 的函数关系式 当 x 为何值时 PBC 的周长最小 并求出此时 y 的值 D P A E F C B 14 15 如图 矩形 ABCD 中 CH BD 垂足为 H P 点是 AD 上的一个动点 P 与 A D 不重合 CP 与 BD 交于 E 点 已知 CH DH CD 5 13 设 AP 四边形 ABEP 的面积为 13 60 xy 1 求 BD 的长 2 用含的代数式表示 xy C 组 1 2006 年广东省肇庆市 如图 已知矩形的边长 某一ABCD3cm6cmABBC 时刻 动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动 同时 动点MAAB1cm sB 从点出发沿方向以的速度向点匀速运动 问 NDDA2cm sA 1 经过多少时间 的面积等于矩形面积的 AMN ABCD 1 9 2 是否存在时刻 使以为顶点的三角形与tAMN ACD 相似 若存在 求 的值 若不存在 请说明理由 t 2 ABC是一块等边三角形的废铁片 利用其剪裁一个正方形DEFG 使正方形的一条边DE 落在BC上 顶点F G分别落在AC AB上 证明 BDG CEF 探究 怎样在铁片上准确地画出正方形 小聪和小明各给出了一种想法 请你在 a和 b的两个问题中选择一个你喜欢 的问题解答 如果两题都解 只以 a的解答记分 a 小聪想 要画出正方形DEFG 只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE A BC DE FG 图 1 H E D C B A P 15 的长 从而确定D点和E点 再画正方形DEFG就容易了 设 ABC的边长为 2 请你帮小聪求出正方形的边长 结果用含根号的式子 表示 不要求分母有理化 b 小明想 不求正方形的边长也能画出正方形 具体作法是 在AB边上任取一点G 如图作正方形G D E F 连结BF 并延长交AC于F 作 FE F E 交 BC 于 E FG F G 交 AB 于 G GD G D 交BC于D 则四边形DEFG 即为所求 你认为小明的作法正确吗 说明理由 3 如图 在平面直角坐标系中 点 3 0 C 点AB 分别在x轴 y轴的正半轴上 且 满足 2 310OBOA 1 求点A 点B的坐标 2 若点P从C点出发 以每秒 1 个单位的速度沿射线CB运动 连结AP 设 ABP 的面积为S 点P的运动时间为t秒 求S与t的函数关系式 并写出自变量的取 值范围 3 在 2 的条件下 是否存在点P 使以点ABP 为顶点的三角形与AOB 相 似 若存在 请直接写出点P的坐标 若不存在 请说明理由 A BC DE FG 图 3 G F E D A BC DE FG 图 2 y x A OC B 16 Q P D E F C B A Q P D E F C B A 4 2008 年福建省福州市 本题满分 13 分 如图 已知 ABC 是边长为 6cm 的等边三角形 动点 P Q 同时从 A B 两点出发 分别沿 AB BC 匀速运动 其中点 P 运动的速度是 1cm s 点 Q 运动的速度是 2cm s 当 点 Q 到达点 C 时 P Q 两点都停止运动 设运动时间为 t s 解答下列问题 1 当 t 2 时 判断 BPQ 的形状 并说明理由 2 设 BPQ 的面积为 S cm2 求 S 与 t 的函数关系式 3 作 QR BA 交 AC 于点 R 连结 PR 当 t 为何值时 APR PRQ 5 如图 1 一副直角三角板满足 AB BC AC DE ABC DEF 90 EDF 30 操作 将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上 再将三角板 DEF 绕 点 E 旋转 并使边 DE 与边 AB 交于点 P 边 EF 与边 BC 于点 Q 探究一 在旋转过程中 1 如图 2 当 CE 1 EA 时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系 并给出证明 2 如图 3 当 CE 2 EA 时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系 并说明理由 3 根据你对 1 2 的探究结果 试写出当 CE EA m时 EP 与 EQ 满足的数量关系 式为 其中m的取值范围是 直接写出结论 不必证明 探究二 若 AC 30cm 连续 PQ 设 EPQ 的面积为 S cm2 在旋转过程中 1 S 是否存在最大值或最小值 若存在 求出最大值或最小值 若不存在 说明理由 2 随着 S 取不同的值 对应 EPQ 的个数有哪些变化 不出相应 S 值的取值范围 图 1 图 2 图 3 6 如图 1 所示 一张平行四边形纸片 ABCD AB 10 AD 6 BD 8 沿对角线 BD 把这张纸 片剪成 AB1D1和 CB2D2两个三角形 如图 2 所示 将 AB1D1沿直线 AB1方向移动 点 B2始终在 AB1上 AB1与 CD2始终保持平行 当点 A 与 B2重合时停止平移 在平移过程 第 4 题 F C E B A D 17 AB CD A C B1 B2 D1 D2 A C EF B2 B1 D1D2 G F EDCB A 中 AD1与 B2D2交于点 E B2C 与 B1D1交于点 F 1 当 AB1D1平移到图 3 的位置时 试判断四边形 B2FD1E 是什么四边形 并证明你 的结论 2 设平移距离 B2B1为 x 四边形 B2FD1E 的面积为 y 求 y 与 x 的函数关系式 并求 出四边形 B2FD1E 的面积的最大值 3 连结 B1C 请在图 3 中画出 当平移距离 B2B1的值是多少时 B1B2F 与 B1CF 相似 7 如图 11 在同一平面内 将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起 A为公共 顶点 BAC AGF 90 它们的斜边长为 2 若 ABC固定不动 AFG绕点A旋转 AF AG与边BC的交点分别为D E 点 D 不与点 B 重合