数列中有关an与sn的问题探究.doc

数列中有关an与sn的问题探究求是高级中学数学教研组 谢 敏数列中的an与sn关系密切，即sn=a1+a2+a3+an，且sn-1=a1+a2+a3+an-1，所以an=sn-sn-1(n2)，当n=1时，a1=s1. an与的关系问题是高中数学的一个重要知识，也是有关数列知识的高考题中经常考查的内容之一，而学生在对an与sn的关系把握中，也容易犯错误，比如运用公式时，把条件n2忽略掉，还有时对特殊数列等差、等比数列的求和公式掌握不够。一、等差、等比数列求和公式在解题中的灵活运用例1.（2007.天津）设等差数列an的公差d是2，前n项的和sn，则=_解：设an=2n+b, sn=n2+cn则=3评注：主要考查等差数列通项，求和公式的灵活运用。例2.（2001.常德统考）an为首项是正数的等比数列，前n项和sn=80，前2n项和s2n=6560，在前n项中数值最大者为54，求:通项an.解：sn=80, s2n=6560 q1 得1+qn=82, qn=81 将代入有 a1=q-1 a10 q1 an 为递增数列 an54a1qn-1=54, a1= a1=2 q=3 an =23n-1评注：巧妙地先用求和公式把，s2n建立方程组，求出q1，知an为递增数列，再求出a1和q，得通项an。二、直接运用公式ansn-sn-1求解例3.（2007.重庆）已知各项均为正数的数列an的前n项和sn，满足s11，且6sn=( an +1)( an +2) nN*，求an的通项公式解：由a1=s1=(a1+1)(a1+2)，得a1=1或a1=2a1=s11 a1=2又an=sn-sn-1=(an+1)(an+2)-(an-1+1)(an-1+2)(an+an-1)(an-an-1-3)=0an-an-1=3或an+an-1=0an0 an-an-1=3 an是以2为首项，3为公差的等差数列an=3n-1评注：用sn与an的关系求出an，知an为等差数列，进一步得通项公式。三、运用公式an=sn-sn-1时注意条件n2例4.（2002.北京）已知数列前项和为sn，满足，求通项公式an解： 2n+1=1=sn sn=2n+1-1 当n=1 s1=a1=3 当n2 an=sn-sn-1=2n+1-1-2n+1=22n-2n=2n 又n=1时 a1=2s1=3 an= 评注：由前n项和sn求通项公式an时，要分n=1和n2两种情况分别进行计算，然后验证两种情况可否用统一式子表示。若不能，就用分段函数表示。四、sn+1=sn+an+ 1型公式的运用例5.（2008.四川）设数列an的前项和为sn，已知a1=a an+1=sn+3n nN*。设bn=sn-3n，求bn的通项公式解：sn+1-sn=an+1=sn+3n sn+1=2sn+3n sn+1-3n+1=2(sn-3n) sn-3n=(a-3) 2n-1 bn=sn-3n=(a-3) 2n-1 nN*评注：由sn+1-sn=an+1代入条件，可得为 sn-3n 等比数列，然后求bn。五、巧用an与sn的关系例6.在数列an中a1=，sn=n2 an , 则sn等于( )A. B. C. D.解：sn=n2 ansn+1=(n+1)2an+1- 得an+1=(n+1)2an+1- n2 a