第四章 线性系统的根轨迹分析.doc

第四章 线性系统的根轨迹分析一、填空题1以系统开环增益为可变参量绘制的根轨迹称为，以非开环增益为可变参量绘制的根轨迹称为。（常规根轨迹、参数根轨迹）2绘制根轨迹的相角条件是，幅值条件是。（G(s)H(s)=2k,|G(s)H(s)|=1）3系统根轨迹的各分支是的，而且对称于。（连续、实轴）4根轨迹起始于，终止于；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有条根轨迹终止于无穷远处。（开环极点、开环零点、n-m）5. 开环传递函数为 ,此根轨迹有条分支,实轴上根轨迹区域为.(2、-，-1-1/2，0)6正反馈回路的根轨迹被称为根轨迹。（零度）二、选择题1. 系统的瞬态响应的基本特征取决于系统（ ）在s 复平面上的位置A 开环零点 B 开环极点 C 闭环零点 D 闭环极点2. 根轨迹法是利用 （ ）在s 平面上的分布，通过图解的方法求取（ ） 的位置A 开环零、极点；闭环零点 B 开环零、极点；闭环极点C 闭环零、极点；开环零点 D 闭环零、极点；开环极点3. 与根轨迹增益有关的是（ ）A 闭环零、极点与开环零点 B 闭环零、极点与开环极点C 开环零、极点；闭环零点 D 开环零、极点；闭环极点4. 相角条件是全根轨迹存在的（ ）A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件5. 已知系统的开环传递函数 则全根轨迹的分支数是（ ）A 1 B 2 C 3 D 46. 已知控制系统的闭环传递函数是 则全根轨迹的分支数是（ ）A G(s)H(s) 的极点 B G(s)H(s) 的零点C 1+ G(s)H(s) 的极点 D 1+ G(s)H(s) 的零点7. 上题中的根轨迹终止于（ ）A G(s)H(s) 的极点 B G(s)H(s) 的零点C 1+ G(s)H(s) 的极点 D 1+ G(s)H(s) 的零点8. 实轴上根轨迹右边的开环实极点与实零点的个数和为（ ）；实轴上补根轨迹右边的开环实极点与实零点的个数和为（ ）A 偶数奇数 B 偶数偶数 C 奇数偶数 D 奇数奇数9. 给定下列开环传函，则其中系统根轨迹发散的是（）10. 可能具有复分离点的系统是（ ）A 一阶系统 B 二阶系统 C 三阶系统 D 四阶及以上系统11. 给开环传递函数G(s)H(s) 增加极点，作用是（ ）A 根轨迹向右半s 平面推移，稳定性变差 B 根轨迹向左半s 平面推移，稳定性变差C 根轨迹向右半s 平面推移，稳定性变好 D 根轨迹向左半s 平面推移，稳定性变好12. 给开环传递函数G(s)H(s) 增加零点，作用是（ ）A 根轨迹向右半s 平面推移，稳定性变差 B 根轨迹向左半s 平面推移，稳定性变差C 根轨迹向右半s 平面推移，稳定性变好 D 根轨迹向左半s 平面推移，稳定性变好13. 开环传递函数G(s)H(s) 极点向右移动，相当于某些惯性或振荡环节的时间常数（ ），使系统稳定性（ ）A 增大变坏 B 减小变好 C 增大变好 D 减小变坏14. 开环传递函数G(s)H(s) 零点向右移动，相当于某些惯性或振荡环节的时间常数（ ），使系统稳定性（ ）A 增大变坏 B 减小变好 C 增大变好 D 减小变坏15. 设系统开环传递函数为若系统增加开环极点，则对根轨迹分离点位置变化，描述正确的是（ ）A 左移 B 右移 C 不移动 D 移动方向不确定16. 上题中系统极点变化前后，对系统动态特性的的影响是（ ）A 调节时间加长，振荡频率减小 B 调节时间缩短，振荡频率减小C 调节时间加长，振荡频率增大 D 调节时间缩短，振荡频率增大17. MATLAB 的控制系统工具箱中绘制根轨迹的函数是A pole B roots C rlocus D rlocfind答案：1.D 2.B 3.C 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C 9.C 10.D 11.A 12.D 13.A 14.B 15.B 16.A 17.C三、简答题1.简述根轨迹的概念 答：开环系统传递函数某一参数变化时，闭环系统特征方程的根在s平面上的变化曲线称为根轨迹。2简述闭环零、极点与开环零、极点的关系 答：闭环零、极点与开环零、极点具有以下关系： 闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通道根轨迹增益；对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹增益。 闭环零点由开环前向通道传递函数的零点和反馈通路的极点组成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。 闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益K。3.什么叫最小相位系统？什么叫非最小相位系统？ 答：当系统的所有开环零、极点都位于s平面左半部时，系统称为最小相位系统。如果系统具有s平面右半部的开环零、极点时，系统称成非最小相位系统。四、计算题1已知单位负反馈系统的开环传函为 （1） 画出系统根轨迹（关键点要标明）。（2） 求使系统稳定的K值范围，及临界状态下的振荡频率。答案：解： 渐近线1条 入射角同理 与虚轴交点特征方程由 所以 所以 所以，当时，系统稳定， 临界状态下的振荡频率为 2已知系统如下图所示，（1） 画出系统根轨迹（关键点要标明）。（2） 求使系统稳定的K值范围，及临界状态下的振荡频率。XrXcKS3S2+2S2解答： ， 渐进线1条 入射角 同理 与虚轴交点，特方 122 所以当时系统稳定，临界状态下的震荡频率为 题图3-23单位负反馈系统的开环传递函数为，画出K从变化时闭环系统的根轨迹，并确定闭环系统稳定时K的取值范围。【解】 渐近线与虚轴交点D(s)=s2(s+4)2+32K(s+0.5)=s4+8s3+16s2+32Ks+16K令 解出K3 画出根轨迹如图4.1所示。由根轨迹及计算结果可以确定K的稳定范围是 0K3。4已知单位负反馈系统的闭环传递函数为 （a0），要求：（1）绘出闭环系统的根轨迹（0a）;（2）判断（-，j）点是否在根轨迹上；由根轨迹求出使闭环系统阻尼比为0.5时的a值。【解】（1）本题给出的是闭环传递函数，所以系统闭环特征多项式为D(s)s2+as+16构造等效开环传递函数画出根轨迹如图4.2所示。它是以原点为圆心，半径为4的圆弧。 图4.2 根轨迹图5某系统的结构图如下图所示， R(s) C(s)（1） 绘制系统的根轨迹草图；（2） 用根轨迹法确定使系统稳定的值的范围；（3） 用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调的的最大取值解：（1）系统开环传递函数为 开环增益 K = 5 系统类型 v = 0 分离点： 整理得：解出 d = -0.4094 3.838（舍去）与虚轴交点： 解出： 画出系统根轨迹： （2）由（1）中计算结果可知，稳定范围为：0.2 0.75 （3）依题意，要求分离点 d = -0.4094处的值： 用模值条件解得：6两个系统的结构图分别如下图所示：R(s) C(s) R(s) C(s) （a） （b）（1） 画出当变动时，图（a）所示系统的根轨迹；（2） 画出当变动时，图（b）所示系统的根轨迹（即广义根轨迹）；（3） 试确定k，p值，使得两个系统的闭环极点相同。解：（1） d = -2 画出系统根轨迹如图虚线部分 （2） 构造等效开环传递函数 画出相应的根轨迹如图实线部分 （3）可见，两条根轨迹公共交点对应重极点，所以令即： 比较系数得：k = p = 4此时两系统具有相同的闭环极点7设系统结构图如图所示。 R(s) C(s) 要求：（1）绘制K*从变化时系统的根轨迹；（2）试求出系统呈现欠阻尼时的开环增益范围；（3）在根轨迹图上标出系统最小阻尼比时的闭环极点（用表示）。解： 开环增益K = 6K* 系统类型 v = I（1） 分离点：，整理得：解出： 对应的K*值是： （2） 由根轨迹可以确定使系统呈现欠阻尼状态的K值范围为：0.4308 K 83.568（3） 复平面根轨迹是圆，圆心位于处，半径是。在根轨迹图上做切圆于A点（A点即为所求极点位置）。由相似三角形关系 故对应最小阻尼状态的闭环极点为：8已知（1） 绘制根轨迹并证明复平面上根轨迹部分为圆；（2） 系统呈现欠阻尼状态时的开环增益范围；（3） 系统最小阻尼比时的闭环极点。解：（1）绘根轨迹：1）开环零，极点 （n = 2 ，m =1）2) 实轴上根轨迹 3）分离点 解得 令 为根轨迹上任意一点，代入特征方程 则有： 整理得 作出的根轨迹如图： 可见复平面根轨迹为圆，圆心坐标为（-3，j0），半径为。（2）求系统欠阻尼时K的范围。先由特征方程求出分离点处的K* 解得 因为 所以 即欠阻尼状态时的开环增益范围为 0.8K11.2 （3）求最小阻尼比时的闭环极点。在根轨迹图上作圆的切线于A点（A点即为所求极点位置），由相似三角形关系： 得 又 所以 故对应最小阻尼状态时的闭环极点为 9若下图所示控制系统的闭环极点为（即），试确定增益K和速度反馈系数T；并对求出的T值画出根轨迹图；确定使系统稳定的K值范围。 R(s) C(s) 解：开环传递函数 ，令比较系数，解出K，T为 K = 14，T = -1/2此时有 当K从变化时，应画根轨迹。分离点：，整理得：，解出：与虚轴交点：令： 联立解出：K = 6，=画出根轨迹：可以确定使系统稳定的K值范围为：0 K 0）要求：（1）绘出闭环系统的根轨迹（）；（2）判断（）点是否在根轨迹上；（3）由根轨迹求出使闭环系统阻尼比时的a值。解：（1）本题给出的是闭环传递函数，所以系统闭环特征多项式为： 构造等效开环传递函数，画出根轨迹：它是以原点为圆心，半径为4的圆弧。 （2）点（）到原点的距离为，故不在根轨迹上。 （3） 令0.5，得a = = 411已知单位反馈系统的开环传递函数为：要求：（1）当K从变化时，概略绘制系统的闭环根轨迹图；（2）确定保证系统稳定的K值范围；（3）求出系统在单位阶跃输入作用下稳态误差可能达到的最小绝对值。解：（1），分离点： 整理并解出：d = -0.182与虚轴交点：令： 联立求解可得： 画出根轨迹如图：（2）由根轨迹图可以看出，K值稳定范围对应于根轨迹与虚轴的两个交点，所以有 1 K 1.5（3）系统的静态位置误差系数为： 由静态误差系数法，可求得系统在稳定范围内有： 12已知比例微分控制系统如下， R(s) C(s) _试绘制与（，）同时变化时的根轨迹族。解：图示系统的闭环特征方程为 即有系统的等效开环传递函数为 系统的开环特征方程为 进而得设根据常规根轨迹的绘制法则，由得到等效开环系统开环特征根的轨迹为：其中分离点 d = - 0.423，与虚轴的交点为当变化时，系统根轨迹的起点都位于上图所示的根轨迹上。由幅值条件，当s = d = - 0.423时，求得当时，等效系统的开环有限极点皆为实数；当时，等效系统的开环有限极点有一对为复数。就上述情况分别做出根轨迹族（略）。13已知反馈控制系统的开环传递函数为 （）但反馈极性未知，欲保证闭环系统稳定，试确定根轨迹增益K*的范围。解：若反馈极性为负时，使系统闭环稳定的K*的范围为（a ，b），若反馈极性为正时，使系统闭环稳定的K*的范围为（c ，d），则选择，而（e ，f）为（a ，b）和（c ，d）的公共区间，即可保证系统闭环稳定。反馈极性为负时，需作常规根轨迹。系统开环有限极点为 。实轴上无根轨迹。根轨迹有四条渐近线，且 根轨迹的起始角为根轨迹的分离点方程为 解得 由根轨迹方程得 故为常规根轨迹的复分离点。 系统闭环特征方程为：列劳斯表： 1 11 10 + K* 4 14 7.5 10 + K* 当K* = 16.25时，劳斯表中行的元素全为零。由辅助方程解得根轨迹与虚轴的交点为概略绘制系统反馈极性为负时的根轨迹如图：反馈极性为正时，需作零度根轨迹。实轴上的根轨迹区间为根轨迹有四条渐近线，且 根轨迹的起始角为根轨迹的分离点由前求得 。系统闭环特征方程为：由劳斯判据可知，K* = 10时，系统闭环临界稳定，根轨迹与虚轴的交点为。做反馈极性为正时的根轨迹（略）由两个根轨迹图可知，反馈极性为负时，使系统闭环稳定的K*范围为 0 ，16.25 ，反馈极性为正时，使系统闭环稳定的K*范围是 。因此反馈极性未知时，使系统闭环稳定的K*范围为。14设反馈控制系统中，要求：（1）概略绘制系统根轨迹图，判断系统的稳定性。 （2）如果改变反馈通路传递函数使，试判断改变后系统的稳定性，研究改变所产生的效应。解：（1）系统无开环有限零点，开环有限极点为 实轴上根轨迹区间为 。 根轨迹渐近线条数为4，且 由分离点方程 得 经检验根轨迹的分离点为 。概略绘制系统根轨迹如图：由图知，无论K*为何值，闭环系统恒不稳定。 （2）当时，系统开环传递函数为 其中。H（s）的改变使系统增加了一个开环零点。 实轴上的根轨迹区间为 。 根轨迹渐近线条数为3，且 系统闭环特征方程为 列劳斯表： 1 10 K* 7 2K* K* 当时，劳斯表行元素全为零。由辅助方程 解得根轨迹与虚轴的交点为。概略绘制系统根轨迹图：由图知，当时，闭环系统稳定。 附加的开环零点，使系统根轨迹向s平面的左半平面弯曲，因而闭环系统可在K*的一定范围内稳定，改善了系统的稳定性。 15已知控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为： ， （1） 绘制K*从变化时系统的根轨迹，确定使闭环系统稳定的K*值范围。（2） 若已知系统闭环极点，试确定系统的闭环传递函数。解：（1）1） 开环零、极点 （n = 3 ，m = 1）2） 实轴根轨迹 （-5 ，1）3） 渐进线 4） 分离点 应用重根公式可得 又知： 故得： 解得（舍去）可作出根轨迹如下： 若使闭环系统稳定则闭环根必须位于左半S平面，故将s = 0 代入特征方程 解得 K* = 4所以闭环系统稳定的K*范围是0K*4 (2) 闭环传递函数 当时，由特征方程可得 代入分母可用长除法分解，可得16系统结构如图