线性方程组的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代,SSOR-迭代方法.doc

西京学院数学软件实验任务书课程名称数学软件实验班级数0901学号0912020119姓名王震实验课题雅克比迭代、高斯赛德尔迭代、超松弛迭代实验目的熟悉雅克比迭代、高斯赛德尔迭代、超松弛迭代实验要求运用Matlab/C/C+/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成实验内容雅克比迭代法高斯赛德尔迭代法、超松弛迭代法成绩教师【实验课题】雅克比迭代、高斯赛德尔迭代、超松弛迭代【实验目的】学习和掌握线性代数方程组的雅克比迭代、高斯赛德尔迭代、超松弛迭代法，并且能够熟练运用这些迭代法对线性方程组进行求解。【实验内容】1、问题重述：对于线性方程组，即： （1），其中，如何运用雅克比迭代、高斯赛德尔迭代、超松弛迭代法对线性方程组进行求解。2、方法原理：2.1雅克比迭代迭代思想：首先通过构造形如的等式，然后给定一个初值，再通过进行迭代。step1 ：对（1）相应第行中的用其它元素表示为：即：Step 2 ：进行迭代，取它的判断条件为小于一个确定的误差值，跳出循环。其中，为循环次数，则为所求的近视解。（参考程序）2.2、高斯赛德尔迭代迭代思想：以雅克比迭代法为基础，假定每一次迭代得到的数据都优越于，即中的每一个分量都优越于中对应的分量。由于在求解第个分量的过程中，前个分量已经求出，所以可以直接调用所求出来的前个分量。考虑雅克比迭代： ，即：所以，当可逆时，由于在求解第个分量的过程中，前个分量已经求出，将上式改写为：即：所以，设，上式改写为：，迭代算法：得出计算步骤：，由于再代入数据时尽可能采用最新数值，因此，高斯赛德尔迭代法的收敛速度大于雅克比迭代法。2.3、逐次超松弛迭代法（SOR）逐次超松弛迭代法是对高斯赛德尔迭代的一种改进，在高斯赛德尔迭代的基础上加入松弛因子，使得与的误差由控制。由高斯赛德尔迭代公式：得出SOR迭代算法：，其中，为松弛因子。迭代的控制条件为：， 得出SOR的计算公式为：，则存在，令，则，2.4、对称超松弛迭代法对称超松弛迭代法是对逐次超松弛迭代法的改进，在逐次超松弛迭代法的基础上，首先对线性方程组按照顺序方式依次求解，然后在此基础上对线性方程组逆序求解，得出SSOR迭代法。求解步骤：Step 1 顺序求解得出：Step 2 逆序求解由得出得出SSOR公式：【实验总结】由以上实验得出SSOR在求解线性方程时最优。当时，逐次超松弛迭代法（SOR）等价于高斯赛德尔迭代法。（参考程序）【程序】% 程序 % function maintest1(A,b)N=input(请输入最大迭代次数N（足够大）：);esp=input(请输入近视解的误差限：);X0=input(请输入初始值：);if any(diag(A)=0 error(系数矩阵错误，迭代终止！)endD=diag(diag(A);U=-triu(A);L=-tril(A); %jacobi%fJ=inv(D)*b;BJ=inv(D)*(L+U);PJ=max(abs(eig(BJ);fprintf(用雅克比求解的谱半径为：%2dn,PJ) %GS%fG=inv(D-L)*b;BG=inv(D-L)*U;PG=max(abs(eig(BG);fprintf(用GS求解的谱半径为：%2dn ,PG) % SOR %omega=1;fS=omega*inv(D-omega*L)*b;BS=inv(D-omega*L)*(1-omega)*D+omega*U);PS=max(abs(eig(BS);fprintf(用SOR求解的谱半径为：%2dn ,PS) % SSOR %Lw=inv(D-omega*L)*(1-omega)*D+omega*U);Uw=inv(D-omega*U)*(1-omega)*D+omega*L);Sw=Uw*Lw;fw=omega*(2-omega)*inv(D-omega*inv(D)*U)*inv(D-omega*inv(D)*L)*inv(D)*b;PSS=max(abs(eig(Sw);fprintf(用SSOR求解的谱半径为：%2dn ,PSS) % Jacobi %fprintf( Jacobi迭代法 n)t=1;Y0=X0;Y1=BJ*Y0+fJ; fprintf(第%2d次迭代得:,t) disp(Y1);while tesp t=t+1; Y0=Y1; Y1=BJ*Y0+fJ; fprintf(第%2d次迭代得:,t) disp(Y1); endfprintf(满足误差限的Jacobi迭代的近视解为：)disp(Y1);fprintf(Jacobi迭代次数为：n,t)% GS %fprintf(GS n) t=1;Y0=X0;Y1=BG*Y0+fG; fprintf(第%2d次迭代得:,t) disp(Y1); while tesp t=t+1; Y0=Y1; Y1=BG*Y0+fG; fprintf(第%2d次迭代得:,t) disp(Y1); endfprintf(满足误差限的GS迭代的近视解为：)disp(Y1);fprintf( GS迭代次数为：n ,t) % SOR % fprintf(SOR n) t=1;Y0=X0;Y1=BS*Y0+fS; fprintf(第%2d次迭代得:,t) disp(Y1);while tesp t=t+1; Y0=Y1; Y1=BS*Y0+fS; fprintf(第%2d次迭代得:,t) disp(Y1); endfprintf(满足误差限的SOR迭代的近视解为：)disp(Y1);fprintf( SOR迭代次数为：n ,t) % SSOR % fprintf(SSOR n) t=1;Y0=X0;Y1=Sw*Y0+fw; fprintf(第%2d次迭代得:,t) disp(Y1);whil