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轮换对称与考题安徽李师如果x1,x2是方程ax2+bx+c=0（a0）的两根，由根与系数的关系，不能求得x1+x2,x1.x2,x21+x22,x31+x32,x1-x2等代数式的值。上式两个字母互换位置后，原式保持不变，故称之为一元二次方程的根的轮换对称式。这些对称式，在中考中有着广泛的应用，下面以考题为例，说明如下。例1（太原市中考题）设方程x2+x-1=0的两个实数根分别是x1,x2,则的值是（）(A)1(B)1(C)(D)解：x1+x21，x1.x21，1。故选(A)。例2（青海省中考题）设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两个根，则x21+x22的值为（）(A)3(B)3(C)6(D)6解：x1+x23，x1.x2，x21+x22（x1+x2）22 x1.x26。故选(C)。例3（杭州市中考题）设x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两个根，设x11,x21是关于x的方程x2+qx+p=0的两个根，则p、q的值分别是（）(A)1,-3(B)1，3(C)1，3(D)1，3解：x1+x2-p,x1.x2q,（x11）（x21）q,(x11)(x21)=p由、解得p=-1,q=-3.故选(C)。例4（重庆市中考题）已知x1,x2是关于x的方程(a-1)x2+x+a2-1=0的两个实数根，且x1+x2，则x1.x2。解：由题意，得，a=-2.x1.x21。例5（山东荷泽市中考题）已知方程x2+(2m+1)x+m2-2=0的两个实数根的平方和等于11，求m的值。解：设方程两个实数根为x1,x2。由题意，得x21+x22（x1+x2）22x1.x211，又x1+x2（2m+1）, x1.x2m2-2,-(2m+1)2-2(m2-2)=11,整理，得m2+2m-3=0,解得，m1=-3,m2=1.当m1=-3时，（5）241720，舍去；故m1。例6（江苏南通市中考题）设方程组x2-x-y=0,x=x1x=x2y=2x-1的解是 y=y1 y=y2求和y1.y2的值。解：把y=2x-1代入x2-x-y=0中，得x2-3x+1=0.3。y1=2x1-1，y2=2x2-1，y1.y2（2x1-1）（2x2-1）4x1.x22（x1x2）11。例7（淮安市中考题）已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和是23，求m的值。某同学解答如下：解：设x1，x2是方程的根，由根与系数的关系，得x1+x2m, x1.x22m-1，由题意，得x21+x2223。又x21+x22（x1+x2）22x1.x2；m2-2(2m-1)=23.解之，得m1=7,m2=-3.所以，m的之为7或3。上述解答中有错误，请你指出错误之处，并重新给出完整的解答。解：（1）原解中x1+x2m,应改为x1+x2m,且取m值时未分析根的情况。（2）设x1，x2是方程的两根，则x1+x2m，x1.x22m-1。由题意，得x21+x2223。解得，m1=7,m2=-3.当m7时，m2-4(2m-1)=-30,x20，x1+x2=3，x1+x23，2k-3=3,解得k=3,这与k矛盾，舍去。若x10,x20,（2k-3）2=9,解得k=0。例11（北京市中考题）已知关于x的方程x2-2mx+3m=0的两个实数根是x1，x2且（x1x2）216。如果关于x的另一个方程x2-2mx+6m-9=0的两个实数根都在x1与x2之间，求m的值。解：x1，x2是方程x2-2mx+3m=0的两个实数根，x1+x22m, x1x2=3m,（x1x2）216，（x1x2）24 x1x216，4m2-12m=16,解得，m1=-1,m2=4.（1）当m1=-1时，方程为x2+2x-3=0,x1=-3,x2=1.方程x2-2mx+6m-9=0 为x2+2x-15=0,x1=-3,x2=1。5，3不在3，1之间，m=-1不合题意，舍去。（2）当m=4时，方程为x2-8x+12=0,x1=2,x2=6;方程为x2-8x+15=0,x1=-3,x2=5。2356，即x1x1 x2x