递归滤波技术full.doc

递归滤波技术：递归滤波技术又称迭代滤波技术，由美国哥伦比亚广播公司实验室提出的，利用递归思想实现滤波的方法。递归滤波技术有许多种，其中递归中值滤波和卡尔曼滤波较常用，下面做详细介绍。中值滤波：基本原理：把数字图像或数字序列中一点的值用该点的一个邻域中各点值的中值来代替。例如对于一个(2k+1)*(2k+1)窗口，它中央的象素为x(i,j)，经过中滤波后其值为：窗口的形状可以是方形的，近似圆形或者十字形的。递归中值滤波：将前几步求得的中值反馈到当前的中值计算中，称为递归中值滤波。例如，在每一次滤波中，将窗口正中前p点的象素值换成在前面p次中值运算中得到的中值，进行排序取其中值，这种滤波器称为递归p中值滤波器。假设在(2k+1)*(2k+1)的窗口中，处于中间的象素用l进行标记，这里，则递归中值滤波器的输出为其中是在窗口中心位于第r点时的中值，。可以改变p值来得到不同形式的滤波器。标准的中值滤波和递归中值滤波均有较好的滤除噪声的特性，但同时也会对图像造成不同程度的模糊。在递归中值滤波中，当时，递归中值滤波退化成标准的中值滤波。当时，在窗口中只利用一个反馈值，对一些噪声滤除效果较好，同时产生的模糊度比标准中值滤波小。当，此时递归中值滤波器最大限度的利用窗口中的反馈值，滤除噪声的性能比的情况由较明显提高，但是经常以不实用的低通滤波器告终。在应用中可以根据实际要求选择一些中间值，在除噪性能和图像细节之间作出适当的折中。对于(2k+1)*(2k+1)的窗口，可以选择，比方说对于3*3的窗口，可以选择。对于5*5的窗口，可以选择。卡尔曼滤波技术：卡尔曼滤波技术也是一种较常用的递归滤波处理技术。卡尔曼滤波是在20世纪60年代初提出的一种滤波方法。与维纳滤波相似，都是以最小均方误差为准则的最佳线性估计。所不同的是，卡尔曼滤波不需要过去全部的观测数据，它只是根据前一个估计值和最近一个观测数据来估计信号的当前值。这种滤波利用状态方程在时域上采用递推的算法进行估计，因而所得的解是以估计值的形式给出的。下面简要介绍一下其原理：1. 广义马儿可夫序列设有两个随机变量序列和。第一个序列成为信号序列，第二个序列成为数据样本序列。把写做： (1)其中是噪声。可以用数据的线性组合来估计，即 (2)由正交性原理，当差值对各个数据样本为正交时，所解出的各个系数可使均方误差最小，即 (3)使 (4)式中E代表数学期望。如果矩量和已知，则由上面的方程式组可解出未知系数。这时所得到的均方估计误差为 (5)由此可知，为了估计，就需要确定一组个新的系数。如果一个随机变量序列，用它前边的所有的随机变量等对它所作的线性均方估计与仅用时的估计相同，则这个随机变量序列就叫做广义马尔可夫序列。从矢量投影的观点来看，相当于在空间内，的投影只与相符。由相关函数的概念： (6)及 (7)则有： (8) (9)设信号是广义马尔可夫序列，噪声由正交的随机变量组成，并对也是正交的，则有下列各式成立： (10) (11) (12)因此，可写出 (13) (14)2. 卡尔曼滤波原理用对的线性估计用下式表示： (15)式中是对的估计，和是两个待定的常数。问题的要点是，因为是用对的估计，所以必有以下二式成立： (16) (17)显然式(15)能成立的充分条件式能够找到满足(16)和(17)的和。由式(9)的可知，与是正交的，且与也正交，所以 (18)将写为如下形式： (19)因为是的估计，所以对正交。并且与也正交。为了使(17)式成立，则必须有下式成立： (20)由式(18)知，只要使 (21)则(18)式成立。由此，式(17)得以成立。问题是如何确定和。因为由式(13)和式(14)可到得到 (22) (23)其均方误差可以求得如下：又由可写出 (24)于是得 (25) 最后得到 (26)由上面分析可知，卡尔曼滤波得计算步骤如下：在与已知时，在第n1步中已计算出与，则可定下，由此算出常数和，最后可得到的估计，从而完成第n步计算。3. 一维递归滤波技术用一维递归滤波器对图像进行处理时，首先必须用扫描的方式将二维平面信息转化为一维形式。这时观察到的图像为如下形式：式中为观测图像(或称数据样本)，为理想图像，为加性噪声。由卡尔曼滤波原理，的第k个样本的递归估计量由下式得到：这里是理想图像在时刻k的估计，是理想图像在时刻的估计，是新的观测值，则是系数。根据这一递归公式就可以在均方误差最小的准则下由含噪图像中恢复出原始图像。4. 实现方法假设噪声方差是已知的平稳噪声，即方差是一个常数。将二维图像转化为一维形式，用前一个象素点来递推当前象素值。对于每一点的求取按照公式(14)，当时，当时，。(1)初始状态设定将第一个点的观察值设为当前点的估计值。则即 (2)递归运算在本次