行列式的基本概念与性质docx.docx

行列式的概念1. 二元線性方程組a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2 消元得（a11a22-a12a21）x1=b1a22-b2a12 (a11a22-a12a21) x2= a11b2-a21b1 當a11a22-a12a210時，方程組有唯一解x1=b1a22-b2a12a11a22-a12a21x2=a11b2-a21b1a11a22-a12a21l 用記號a11a12a21a22表示a11a22-a12a21，這樣的方表稱為二階行列式。而a11a12a21a22稱為這個方程組的係數行列式；當a11a12a21a220時，方程組的唯一解可用行列式來表示D= a11a12a21a22= a11a22-a12a21D1=b1a12b2a22= b1a22-b2a12D2=a11b1a21b2= a11b2-a21b1則方程組的解為x1=D1D, x2=D2DEx1. 用行列式來解線性方程組x+2y=13x+5y=22. 類似的，我們定義三階行列式：由9個元素排成三行三列的數表 a11a12a13a21a22a23a31a32a33= a11 a22 a33+ a12 a23 a31+ a13 a21 a32- a13 a22 a31- a23 a32 a11- a12 a21 a33l 三階行列式是六個項的代數和。l 展開式符合對角線法則l 二階行列式的展開式有2=2！ 個項，三階行列式的展開式有6=3！個項，以此類推，n階行列式的展開式有n！個項。Ex2. 用對角線法則求行列式D=1-23-45-67-893. 逆序數 排列1 5 4 3 2 中構成逆序的數對有32,42,52,43,53,54共6對 或寫0 0 1 2 3，則該排列的逆序數表示為1,5,4,3,2=6l 定義，由i1,i2,ijikin這n個項組成的n階行列式中jik, 則稱數對ij， ik構成一個逆序l 一個排列的逆序總數稱為這個排列的逆序數，記為=i1,i2inl 逆序數為偶數的排列稱為偶排列逆序數為奇數的排列稱為奇排列4. 對換l 將一個排列中的兩個數位置互換，而其餘的數不動，就得到另一個排列，這樣的變換叫對換如：經過1,3兩個數的對換，排列1 5 4 3 2變成3 5 4 1 2，1 5 4 3 2=6為偶排列，3 5 4 1 2=7為奇排列，經過一對數的對換后偶排列變成了奇排列l 任意排列經過一次對換后必改變其奇偶性5. n階行列式：由n2個數組成的nn的數表，其展開式有N!個項D=a11a12a21a22a1na2nan1ann表示n!個项的代數和（-1）j1,j2jna1j1a2j2anjn其中（-1）j1,j2jna1j1a2j2annjn表示不同行不同列的n個數的乘積，并冠以符號（-1）j1,j2jn來決定該項的正負。給出下列常用行列式1 主對角線行列式a11000a2200a330 00000 0ann=a11a22ann2 上三角形行列式a11a12a130a2200a33a1n a2na3n000 0ann=a11a22ann3 下三角形行列式a1100a21a22a31a32a330 00an1an2an3 ann=a11a22ann4 副對角線行列式00 a2 a10an 0=(-1)n(n-1)2 a1 a2an試證明做例1，練1，練2行列式的基本性質（重點）1.轉置行列式DT D=a11a12a21a22a1na2nan1ann，DT= a11a21a12a22an1an2a1nannDT=（-1）i1,i2inai11ai22ainn=（-1）j1,j2jna1j1a1j2a1jn=D故D=DTl 性質1：行列式D與它的轉置行列式相等l 由此性質表明，行列式中行與列的地位是對等的，因此行列式中行列互換，行列式不變（行列互換指行全部變成列，列全部變成行）2.性質2：互換行列式中的兩行或者兩列，行列式反號單獨取出行列式中的每一行（或者每一列），兩列（行）互換后，該排列的奇偶性改變，那麼行列式D的展開項的每一項都變號，也就D變成了-D。l 以ri表示行列式D的第i行，以cj表示其第j列，交換D的i,j兩行記作rirj，交換D的i,j兩列記作cicjl 推論一：若行列式D中有兩行或者有兩列相同，那麼D=03.性質3：行列式中某行（列）乘以一個數等於行列式乘以這個數即a11a12 kai1kai2 a1nkain an1an2 ann=ka11a12 ai1ai2 a1nain an1an2 ann=a11ka1ja21ka2j a1na2n an1kanj ann 表達 ： 第i行乘以k,這種運算記作rik第j列乘以k,這種運算記作cjk推論2： 行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號外面。如：第i行（或列）提出公因子k，這種運算記作rik（cik）4.性質4：行列式中的某一行或列乘以一個不為零的數，加到另一行或列上，行列式不變。a11a12 ai1+kaj1ai2+kaj2 a1n ain+kajn aj1 aj2 ajn an1 ann2 ann=a11a12 ai1ai2 a1nain aj1aj2 ajnan1an2 ann(其中ij)以數k乘以第j行加到第i行上，這種運算記作ri+k rj5.性質5：行列式的某兩行或者某兩列成比例，則行列式為0性質6：行列式的某一列或者某一行可以看成兩列或者兩行的和時，行列式可拆另兩個行列式的和利用性質5,6試圖證明性質4练习3：計算行列式1 D=ab+c1ba+c1ca+b12 D=a2(a+1)2b2(b+1)2 (a+2)2(a+3)2(b+2)2(b+3)2c2(c+1)2d2(d+1)2 (c+2)2(c+3)2(d+2)2(d+3)23 D=1213 01500112 56344 D= 1 a1 0-1 1-a1 a20 -1 1-a2 0 00 0a3 00 0 -10 0 0 1-a3 a4-1 1-a45 设D=a11a1k ak1akk 0 c11c1k ck1ckk b11b1k bk1bkk，D1=a11a1k ak1akk，D2= b11b1k bk1bkk, 证明D=D1+D26 D=a1-b a2 a3 a1 a2-ba3-b an an a1 a2 a3 an-b7 (2008/2009学年澳大入学考题)因式分解行列式aa2bcbb2accc2ab行列式按行列展开1. 余子式和代数余子式在一个n级行列式det(aij)中,把元素(i,j=1,2,.n)所在的行与列划去后，剩下的(n-1)2个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式Mij,称为元素aij的余子式，Mij带上符号(-1)i+j称为aij的代数余子式Aij例如l 定理一：n行列式det（aij）等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即D= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ain Ain(i=1,2,.n) 或 D=a1j A1j+a2j A2j+anj Anj(j=1,2,.n)证明：首先讨论D的第一行元素除a11外其他元素均为零的情况，即由于a12a13a14均为0，行列式D按照第一行展开应该D=a11M11 由于M11=A11所以 D= a11A11讨论D的第i行元素除aij外其他元素均为0的情况，即D= a11a1j 0aij a1n 0 an1anj ann将D的第i行依次与第i-1, 第2 ，第1行做i-1次相互交换，调到第1 行，再将第j列依次与第j-1，第2，第1列作j-1 次相互交换，调到第一列。一共i+j-2次交换，同上题得 D=（-1）i+j aij Mij = aij Aij最后讨论一般情况：D= a11 a12 ai1+0+00+ai2+0+0 a1n 0+0+ain an1 an2 ann=a11a12ai10 a1n 0an1an2 ann+a11a120ai2 a1n 0an1an2 ann+a11a1200 a1n ainan1an2 ann= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ain Ain (i=1,2,.n)类似的若按列证明，可得： D=a1j A1j+a2j A2j+anj Anj (j=1,2,.n)这个定理叫做行列式按行（列）展开法(或者叫降阶法)则l 定理2 ：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + ain Ajn=0 (ij) 或a1i A1j+a2i A2j+ani Anj=0 (ij)证明： 把行列式D=det（aij）按第j行展开，有 aj1 Aj1 + aj2 Aj2 + ajn Ajn=a11a1n ai1ain aj1ajn an1ann在上式的两端将D的第j行换成第i行的元素，即令ajk=aik可得ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + ain Ajn=a11a1n ai1ain ai1ain an1ann当ij时，由于有两行元素对应相同，故行列式等于0，即得 ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + ain Ajn=0 (ij)上述证明如按列证明可得： a1i A1j+a2i A2j+ani Anj=0 (ij)l 综合上述两个定理，得到有关于代数余子式的重要性质：ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + ain Ajn=0，(ij)