选修1-1圆锥曲线专题复习.doc

高二文科班数学课堂学习单73班级 姓名 小组 （二）圆锥曲线专题复习（二）一，学习目标:1、 全面掌握圆锥曲线的知识要点 2、 能解解决圆锥曲线的相关问题二，自学导航：知识归纳：一、圆锥曲线的定义：1椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离 等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 距离和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是 ；距离和小于|F1F2|时，动点轨迹 2双曲线的定义：平面内与两定点F1，F2的距离的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 (1)定义中常数等于|F1F2|，动点的轨迹是以 (2)如果定义中常数为0，此时动点轨迹为 (3)如果定义中常数大于|F1F2|，此时动点轨迹 (4)在定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹是 3抛物线的定义：平面内与一定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离 的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 特别强调：凡涉及圆锥曲线上的点与曲线焦点距离的问题，均可考虑 建立等式二、求圆锥曲线的方程1求标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断 位置，再用 设出适合题意的标准方程，最后由条件确定待定系数即可2当所求曲线的焦点位置不能确定时，应按焦点在 和焦点 进行分类讨论，但要注意参数满足的条件,椭圆： ；双曲线： ；抛物线： 3当已知椭圆、双曲线经过两点，求标准方程时，把方程设成 的形式，有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程4(1)双曲线的渐近线为Ax+By=0时，可设双曲线方程为 (2)与双曲线1(a0，b0)有共同焦点的双曲线的方程可设为 5焦点在x轴上的抛物线方程可统一设为 ，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设为 三、求点的轨迹方程的方法：直接法：建、设、现（限）、代、化；定义法：分析几何图形所揭示的几何关系，判断动点的轨迹是圆锥曲线，然后根据题中条件求出参数a、b、p的值，直接由标准方程写出即可；相关点法：已知P的轨迹方程，求M的轨迹方程的步骤是先设出点P和M的坐标，根据条件写出P点与M点的坐标之间的关系，然后用M点的坐标表示P点的坐标，并代入P点的坐标所满足的方程，整理即得M的轨迹方程动点M与曲线上的点P称为相关点。四、焦点三角形 在解焦点三角形的有关问题时，一般地利用两个关系式：1由 可得|PF1|，|PF2|的关系式；2利用 得|PF1|，|PF2|的关系式，然后求解得|PF1|，|PF2|，有时也根据需要，把|PF1|PF2|，|PF1|PF2|，|PF1|PF2|等看成一个整体来处理五、离心率1椭圆：e=，离心率越 ，则椭圆越扁；越 ，则椭圆越圆。双曲线：e=，离心率越 ，则开口越小；越 ，则开口越大。 抛物线：e1，p越小，则开口 ；p越大，则开口 。2求椭圆离心率常用的有两种方法：(1)求出a，c，再求比(2)列出含有a，c的齐次方程，再利用e转化为关于e的方程，解方程即可，此时要注意：椭圆：0e1;抛物线：e=1六、直线与圆锥曲线的位置关系1直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系，判断方法：联立消y得一元二次方程当 时，方程有 ，直线与椭圆相交；当 时，方程有 ，直线与椭圆相切；当 时，方程 ，直线与椭圆相离2直线l：ykxm(m0)与双曲线C：1(a0，b0)的位置关系把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)当 0，即k时，直线l与 平行，直线与双曲线C相交于 点(2)当 0，即k时，当 时，直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线 ；当 时，直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线 ；当 时，直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线 3直线l：ykxm，与抛物线y22px(p0)，的位置关系联立方程，整理成关于x的方程：k2x22(kmp)xm20(1)若k0，有 个交点，直线平行于抛物线的 或与抛物线的 重合 (2)若k0，当0时，直线与抛物线 ，有两个交点；当0时，直线与抛物线 ，有一个交点；当0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦半径|PF|PF|_ _|PF|_|PF|_|PF|_焦点弦|AB|AB|_|AB|_|AB|_|AB|_十、其他1.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是yx. 离心率是 2.已知方程1当mn0时表示圆；当mn0或nm0时表示椭圆；当mn0时表示双曲线基础演练：1曲线 与曲线 (0 k0, mb0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是（ ）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形4、抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 .5、 动点到直线x=6的距离是它到点A(1，0)的距离的2倍,求动点的轨迹方程。6,根据下列条件，求双曲线方程。(1)与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，）；(2)与双曲线有公共焦点，且过点（，2）。7. P是椭圆1(ab0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x(c为椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PFOF，HBOP，试求椭圆的离心率e.选作题：椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点，已知的最大值为3，最小值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于M、N两点(M，N不是左右顶点)，且以线段MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标高二文科班数学课堂学习单73班级 姓名 小组 （二）圆锥曲线专题复习（二）一，学习目标:2、 全面掌握圆锥曲线的知识要点 2、 能解解决圆锥曲线的相关问题二，自学导航：知识归纳：一、圆锥曲线的定义：1椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距距离和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；距离和小于|F1F2|时，动点轨迹不存在2双曲线的定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距(1)定义中常数等于|F1F2|，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)(2)如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线(3)如果定义中常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在(4)在定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹是双曲线的一支3抛物线的定义：平面内与一定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线特别强调：凡涉及圆锥曲线上的点与曲线焦点距离的问题，均可考虑定义建立等式二、求圆锥曲线的方程1求标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的标准方程，最后由条件确定待定系数即可2当所求曲线的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意参数满足的条件,椭圆：ab0；双曲线：a0，b0；抛物线：p03当已知椭圆、双曲线经过两点，求标准方程时，把方程设成mx2ny21(m0，n0，mn)的形式，有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程4(1)双曲线的渐近线为Ax+By=0时，可设双曲线方程为Ax2-By2(0)(2)与双曲线1(a0，b0)有共同焦点的双曲线的方程可设为(0)5焦点在x轴上的抛物线方程可统一设为y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设为x2ay(a0)三、求点的轨迹方程的方法：直接法：建、设、现（限）、代、化；定义法：分析几何图形所揭示的几何关系，判断动点的轨迹是圆锥曲线，然后根据题中条件求出参数a、b、p的值，直接由标准方程写出即可；相关点法：已知P的轨迹方程，求M的轨迹方程的步骤是先设出点P和M的坐标，根据条件写出P点与M点的坐标之间的关系，然后用M点的坐标表示P点的坐标，并代入P点的坐标所满足的方程，整理即得M的轨迹方程动点M与曲线上的点P称为相关点。四、焦点三角形 在解焦点三角形的有关问题时，一般地利用两个关系式：1由圆锥曲线的定义可得|PF1|，|PF2|的关系式；2利用正余弦定理或勾股定理可得|PF1|，|PF2|的关系式，然后求解得|PF1|，|PF2|，有时也根据需要，把|PF1|PF2|，|PF1|PF2|，|PF1|PF2|等看成一个整体来处理五、离心率1椭圆：e=，离心率越接近于1，则椭圆越扁；越接近于0，则椭圆越圆。双曲线：e=，离心率越接近于1，则开口越小；越大，则开口越大。 抛物线：e1，p越小，则开口越小；p越大，则开口越大。2求椭圆离心率常用的有两种方法：(1)求出a，c，再求比(2)列出含有a，c的齐次方程，再利用e转化为关于e的方程，解方程即可，此时要注意：椭圆：0e1;抛物线：e=1六、直线与圆锥曲线的位置关系1直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系，判断方法：联立消y得一元二次方程当0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当0，b0)的位置关系把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)当b2a2k20，即k时，直线l与渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点(2)当b2a2k20，即k时，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)当0时，直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；当0时，直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；当0)，的位置关系方程联立整理成关于x的方程：k2x22(kmp)xm20(1)若k0，有一个交点，直线平行于抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴重合 (2)若k0，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦半径|PF|PF|_ _|PF|_|PF|_|PF|_焦点弦|AB|AB|_|AB|_|AB|_|AB|_提示：x0x0y0y0x1x2ppx1x2y1y2ppy1y2十、其他实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是yx. 离心率是 已知方程1当mn0时表示圆；当mn0或nm0时表示椭圆；当mn0时表示双曲线基础演练：1曲线 与曲线 (0 k0，b0)，又因为它的一条渐近线方程为yx，所以，即.解得e2，因为c4，所以a2，ba2，所以双曲线方程为1.因为椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列，所以这个等比数列的中间项一定是抛物线的离心率1，由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数，因此，椭圆的离心率为，设椭圆方程为1(a1b10)，则c4，a18，b824248.所以椭圆的方程为1，易知抛物线的方程为y216x.4、设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2） （1）求直线AB方程； （2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？（1） 法一：显然AB斜率存在 设AB：y-2=k(x-1) 由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 当0时，设A（x1,y1），B（x2,y2） 则 k=1，满足0 直线AB：y=x+1 法二：设A（x1,y1），B（x2,y2） 则 两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) x1x2 AB：y=x+1 代入得：0 评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件0是否成立。（2）探索性命题常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件。设A、B、C、D共圆于OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由得：A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3 由得：x2+6x-11=0设C（x3,y3），D（x4,y4），CD中点M（x0,y0）则 M（-3，6） |MC|=|MD|=|CD|= 又|MA|=|MB|= |MA|=|MB|=|MC|=|MD| A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心，为半径的圆上5.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m0），交椭圆于A、B两个不同点。（1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围；解：（1）设椭圆方程为则 椭圆方程为（2）直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m ； 又KOM= 由直线l与椭圆交于A、B两个不同点， 课外练习：1椭圆的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的 （ A ）A7倍 B5倍 C4倍 D3倍2已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于 轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率 的取值范围是（ C ）A B C D3、已知双曲线 和椭圆 (a0, mb0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是（ B ）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形4、抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为.5、 动点到直线x=6的距离是它到点A(1，0)的距离的2倍，那么动点的轨迹方程是3x24y24x-32=06,根据下列条件，求双曲线方程。（1） 与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，）；（2） 与双曲线有公共焦点，且过点（，2）。法一：（1）双曲线的渐近线为令x=-3，y=4，因，故（-3，）在射线（x0）及x轴负半轴之间， 双曲线焦点在x轴上,设双曲线方程为，（a0，b0） 解之得： 双曲线方程为 （2）设双曲线方程为（a0，b0）则 解之得： 双曲线方程为法二：（1）设双曲线方程为（0） 双曲线方程为（3） 设双曲线方程为 解之得：k=4 双曲线方程为评注：与双曲线共渐近线的双曲线方程为（0），当0时，焦点在x轴上；当0，b2-k0）。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。7. P是椭圆1(ab0)上且位于第一象限的一