马尔可夫可修系统.doc

马尔可夫可修系统可修系统的所涉及的有关方面(因素):1. 可修系统的可靠性指标: (1). 系统首次故障前时间分布; (2). 系统可用度(瞬时, 稳态, 平均, 区间等); (3). 在中的平均故障次数; (4). 系统的平均开工时间与平均停工时间; (5). 等等2. 系统的构成: (1). 系统的可靠性结构(串联系统, 并联系统, k-out-of-n 系统, 等等); (2). 修理设备或修理工的数量; (3). 组成系统的单元的寿命分布; (4). 修理时间的分布;3. 维修策略: (1). 系统的维修方式与相关假设; (2). 维修的策略; (3). 备件问题.4. 系统的维修性模型:(1) 概率模型;(2) 统计模型.5. 等等.马尔可夫可修系统: 用马尔可夫过程描述,讨论和分析的可修系统.一、马尔可夫过程的定义与相关性质: 定义: 设是取值在或上的一个随机过程. 若对任意自然数, 及任意个时刻点, 均有,其中, .则称 为离散状态空间上的连续时间马尔可夫过程. 如果, 对任意的时刻,均有与无关, 则称马尔可夫过程是齐次的(homogeneous).- 转移概率函数;矩阵- 转移概率矩阵 (Probability transition matrix),其中, 为集合中的元素的个数 (cardinality).马尔可夫过程的解释: 一个过程将来的情况, 只与现在有关, 而与过去的情况无关.例子1. 资金管理(Cash management).Bank: The Level of cash in a bank at the beginning of day is , the number of idling kilodollars in the safe. The cash level fluctuates as a random walk due to policy. Then is a homogenous Markov Chain.S自然时间(天)例子 2.排对论(Queuing Theory):Arriving一个服务系统, Buffer(waiting room) Processor (service place)DepartureThe number of customers in the waiting room at time t is , which is a homogeneous Markov process, if the arriving is a Poisson process and service rate is a constant.马尔可夫过程性质: 假定: 转移概率函数的性质:若令, 则有,.另外, 齐次马尔可夫过程有如下性质, (1). 对有限状态空间的齐次马尔可夫过程, 以下极限存在且有限. (2). 若记为过程的状态转移时刻, 表示第次状态转移后过程访问的状态. 若, 则为过程在状态的逗留时间. 我们有 定理: 对任有 , .与和状态无关. 定理的解释: 有限状态空间的齐次马尔可夫过程在任何状态的逗留时间服从参数的指数分布, 不依赖于下一个要转入的状态. 若, 状态为稳定状态; 若, 状态为吸收状态. (3). 令中发生状态转移次数, 则有, 定理: 对充分小的, 有.(Note that the symbol represents a function defined in a neighborhood of 0 for which 定理的解释: 在中的齐次马尔可夫过程发生两次或两次以上转移的概率为, 即此概率为无穷小当时间长度非常小时. 证明: 见曹晋华书p191-192.*二、马尔可夫可修系统的一般模型: 假设: 1. 可修系统有个状态, 令, 即状态空间为;2. 为时刻该系统处的状态;3. 是一个齐次马尔可夫过程. 问题: 求系统的各种可靠性指标. 系统是处于 “工作” (up state)与 “不工作” (down state)的交替状态, 见下图.工作不工作工 作不工作 (一) 系统的瞬时可用度(Instantaneous Availability) 定义: (二) 系统的稳态可用度 定义: , 即当时间趋于无穷大时的瞬时可用度. (平均可用度 , 如果A存在. Limiting average availability)(三) 系统的可靠度 (四) 系统的首次故障前平均时间 (Mean time to first failure)(五) 系统的故障频度 (Frequency of failures) 令为(0,t时间内系统的故障次数, 且令(平均故障次数在(0,t时间内),系统的故障频度(从状态出发)为: 系统的故障频度在时刻为, 为初始概率.系统稳态故障频度: (六) 系统的平均开工时间, 平均停工时间和平均周期系统处于稳态的条件下, 平均开工时间=; (Mean up-time) 平均停工时间; (Mean down-time) 平均周期; (Mean cycle time)(七) 等等下面, 我们用例子来说明马尔可夫可修系统的分析步骤与方法例子: 可修串联系统 假设: 1. 系统由2单元串联组成;2. 第个单元的寿命为, 它的分布函数为;3. 第个单元的故障后,修理时间为, 它的分布函数为;4. 第个单元故障后, 立即进行修理, 其它单元不工作;5. 修复后的单元向新的一样, 既 “修旧如新”;6. 各单元的工作是相互独立, 寿命与修理时间独立;7. 初始时刻系统为新. (1). 定义系统的状态: 状态0: 2个单元都工作; 状态1: 第1个单元故障, 第2个单元工作; 状态2: 第2个单元故障, 第1个单元工作; 则, (2). 定义随机过程 令表示时刻系统所处的状态,即则下图为系统所处的状态的一个实现.12t 可以证明, 是状态空间为的齐次马尔可夫过程.(思考: Why?) 系统的转移率状态图为012 则, 得在时间内, 不同的状态之间的转移概率为 由于上面的定理知, 在内发生两次或两次以上状态的变化的概率为, 因此,我们得出令. 由全概率公式得 ,既得,令, 得 , 同理得, 上面的三个公式用矩阵的形式为, , 其中: , 表示对每个分量分别求导. 矩阵, 称为转移率矩阵(infinitesimal generator)且, (注意: ,对于本例,.微分方程的解释: 例如, , 在时刻t, 系统处在状态2, 则此时的概率变化率为所有转移进来的率, 即. (3) 求系统的瞬时可用度 通过求解方程 -（￥）得, , 但是, 一般讲, 由此式来求是不方便的(有一些近似计算公式)。另外一种方式是用Laplace Transformation (拉普拉斯变换)。 记的变换为 将方程（￥）的两端作变换， 得，另一方面，方程（￥）的右端的 变换为， 因此有，其中为单位矩阵（）因为，对其作变换得， ，再利用，对作反变换，求出。假定，, 即在时刻时，系统是新的。，得到将其化为部分分式其中，是下列方程的解，的两个根(*)， 即对做反变换, 得系统可用度(3) 求系统的稳态可用度在存在的前提下, 有下面两种方法进行求解:(A). 系统的稳态可用度为 (因为, , 由托贝尔(Tauber)定理得, )(B). 引理B1: 对所有, 若, 则存在. 引理B2: 对任意, 有.用这两个引理, 我们有如下的方法:系统的稳态可用度为 , 其中满足线性方程 方法B的理解: 由于 , 另一方面,由于系统处于稳定状态, 故其变化率为0, 即, 可求出. 对于本例子, 有 得(4) 求系统的故障频度令表示时间内系统的故障次数, 且令表示时刻系统从状态出发的条件下, 在时间内系统的平均故障次数. 定理: 满足下列的微分方程组 初始条件 证明: 考虑内系统的平均故障次数。将此时间区间分解为和两段， 利用全概率公式 和马尔可夫的性质，得将和( 代入上式，得，令，得出结论。（因为，上式的右端的极限存在。） 证毕。Question: How do you explain the theorem in physical meaning? How can I understand it?用矩阵的方式，将上面的定理写为：，其中，, , , .Question: How do you understand the index ? 被称为当时刻系统从状态出发， 系统在时刻t的瞬时故障频度。采用变换，得 。经过反变换可给出。（注意：一般在马尔可夫可修系统中，求瞬时指标，都需要解微分方程。） 下面将给出一个求系统瞬时故障频度的更方便的方法。定理：当在时刻时，系统的初始分布为，则时刻t时系统瞬时故障频度为。证明： 曹晋华书p201-202.此定理的理解: 系统在t时刻时到达工作状态后，在时间内转移到故障状态的概率。系统的稳态故障频度为：。（注意：一般在马尔可夫可修系统中，求瞬时指标，都需要；而求稳态指标，需要）。(5) 求系统的平均开工时间，平均停工时间和平均周期在系统处于稳态的条件下，平均开工时间，平均停工时间和平均周期分别为，证明： 曹晋华书p203-204证明的思想为：1 系统在到达稳态后，系统的一个开工时间区间的开始时刻必是从某个故障状态到正常状态的转移时刻。因此，首先求出系统处于正常状态开始一个开工时间区间的概率。2 以上面的概率为初始时刻概率，在求其的MTTFF。(6) 求系统的可靠度 因为一个马尔可夫过程可由其初始分布与矩阵所决定。 为求系统的可靠度或首次故障前时间分布，我们令系统所有故障状态为马尔可夫过程吸收状态，即令，即令。因此，就构成了一个新马尔可夫过程。若令，同样，我们可导出满足微分方程组，系统的可靠度为：,即有。(7) 求系统的首次故障前平均时间由于，故有，。总结: 分析马尔可夫型可修系统的步骤 1基本条件： 组成该系统的各部件的寿命和故障后的修理时间分布,以及其它出现的有关分布均为指数分布,且所有这些分布的随机变量都相互独立。 2步骤： （1）定义系统的状态。要保证所定义的状态足以区分系统的各种不同状态。令分别表示系统的正常状态集和故障状态集。 （2）定义随机过程。令，若时刻t系统处于状态j，在满足基本条件下，可以证明是一个状态空间E上的齐次马尔可