第十五讲 中位线 中线.docx

第十五讲 中点、中线和中位线【一】、知识储备：1.三角形中线定义：连结三角形一个顶点和对边中点的线段； 2.三角形中线能将三角形分成面积相等的两部分； 3.三角形的三条中线必交于一点，该交点为三角形重心； 4.重心定理：三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍； 5.三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分； 6.解决三角形中线问题常作的辅助线是倍长中线，塑造全等三角形或平行四边形； 7.遇到三角形两条中线同时出现时，常需考虑三角形中位线：三角形中位线平行且等于第三边一半； 8.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；9.如果三角形一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 10.等边三角形顶角平分线，底边上的高，底边上的中线，互相重合；11、三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半12、中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系13、运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线14、中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰【二】、例题解析：例题1、已知：ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点求证：PMPN M A N B P C例题2已知ABC中，AB10，AC7，AD是角平分线，CMAD于M，且N是BC的中点求MN的长例题3已知：梯形ABCD中，ABCD，M、N分别是AC、BD的中点求证：MNABCD，MN（ABCD） D C M N A B 例题4、如图所示ABC中，ADBC于D，点E，F，G分别是AB，BD，AC的中点，若EG=1.5EF，AD+EF=12厘米，求ABC的面积例题5、如图所示梯形ABCD中，ABCD，E为BC的中点，AD=DC+AB。 求证：DEAE。 C D E B A例题6、已知ABC中，BD，CE分别是ABC，ACB的平分线，AHBD于H， AFCE于F若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的长例题7、如图所示在四边形ABCD中，CDAB，E，F分别是AC，BD的中点求证：EF12( CD-AB ) B A M N D C 【三】、自主练习：1、已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点则四边形EFGH是形当ACBD时，四边形EFGH是形当ACBD时，四边形EFGH是形当AC和BD时，四边形EFGH是正方形形2、已知AD是锐角三角形ABC的高，E，F，G分别是边BC，CA，AB的中点，证明顺次连结E，D ,F，G所成的四边形是等腰梯形3、如图已知ABC中，ADBE，DMENBC，求证BCDMEN4、如图已知D是AB的中点，F是DE的中点，求证BC2CE5、如图已知：四边形ABCD中，ADBC，点E、F分别是AB、CD的中点，MNEF，求证：DMNCNM6、如图2-63所示D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q求证：AP=AQ7、已知，如图，ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点。求证