高中数学教学论文 趣说数学与文学(近体诗词音律的数学解释).pdf

趣说数学与文学 趣说数学与文学 通常情况下 人们认为数学与文学完全毫不相干 要把高度抽象形式化的数学和形象化 艺术性的文学扯在一起 似乎有点不可思议 然而 在种种表面无关甚至完全不同的现象背 后 隐匿着数学与文学极其丰富 深刻而美妙的联系 就拿诗歌来说 是所有文学式样中最具代表性的一种 诗的形式是简练的 表达的思想 情感是概括的 并且相对抽象 这与数学追求以最简练的形式抽象概括最深刻最具一般性的 规律 是极为相似的 我国的格律诗词有非常复杂的格式样式 但不是没有法则可依 任意 而为 其实 格律 本身就是指的 规律 客观存在不依赖于人的主观意志的规定性 而 这些规定又充分显示出必然与合理性 近体诗中 律诗与绝句的平仄变化很复杂 规定也很多 但从数学观点去认识 却是一 种具有简单运算规则的数学模式 其中蕴含着以简驭繁的奥秘 尽显数学美 以五言诗声调的平仄为例 有以下四个基本类型 仄起仄收 仄仄平平仄 平起平收 平平仄仄平 平起仄收 平平平仄仄 仄起平收 仄仄仄平平 将这四种类型的句子按一定的规则再排列 就能得到五言绝句的四种标准式样 但其中许多规则用文字语言叙述起来 总是显得很复杂 比如说 五言诗的每一句都 基本符合上述四种类型 但不是绝对的 有四种基本 变格 变格的一个原则是 一 三不论 二四分明 意思是 每一句的第一 三个字可以不论平仄 但第二 四字 必须符合规则 最后一个字则主要要求押韵合辙 加之押韵也讲求第一 三句不要求 二 四句必须押韵 且押平声韵 再一个是 粘对 原则 这里面的意思较复杂 粘 有一句当中相邻两字同声调的意思 句与句之间的关系是 每上下两句组成的 一联 须符合平仄相 对 即平对仄 仄对平 联与联之间则须相 粘 这些规则条件只能让人知道大概 很难记忆和运用 下面仍以五言诗为例 用数学方法 优选法或称排除法 分析用这些法则得到的 结果和法则建立的缘由如下 1 因为所有汉字的声调分为 平 仄 两类 不妨记为 p 和 z 那么每一个五字 句的不同声调排列数 就是两类元素在 5 个位置上的排列数 即种 5 23 2 1 2 按 平仄均沾 原则 即平声与仄声字数在句子 整首诗 中应尽可能均等 将 5p 4p1z 1p4z 5z 的组合形式去掉 剩下 3p2z 和 2p3z 两种组合形式 共有 种排列 如用 1 表示 平 用 0 表示 仄 则 3p2z 组合有 11100 11001 10011 等 10 种排列 同样 2p3z 组合也有相应 10 种 2 5 22P 0 00011 3 第二原则是 平仄要双叠 凡出现孤平孤仄者 首尾除外 不要 如 10101 凡出现三平三仄者 句首除外 也不要 如 01110 这样 3p2z 组合中 孤平孤仄 者 5 种 三平三仄者 3 种 筛选结果有 10 5 3 2 种 同理 2p3z 组合也剩下 2 种 因此 从 32种排列中优选出来的标准句式有四种 简记为 00110 11001 11100 00011 将以上四种基本句型分别作为矩阵的一行 可组成一个 4 5 的矩阵 将矩阵 中的第 1 2 行与第 3 4 行对调 就得到矩阵 这两个属于首句仄声 不押韵类 还有一类首句平声押韵 那么矩阵 的后三行保持不变 分别用它们的 第四行 置换 第一行 分别得到矩阵 恰好符合 一三不论 二四分明 的一 般原则和句与句 联与联的 粘对 原则 注意到这 4 个矩阵都是中间一列 第三列 打破 粘对 原则 正好 逆反 于是 五言绝句的 4 种基本平仄格式用 4 个 4 5 的矩阵表示如下 00110 11001 11100 00011 11100 00011 00110 11001 00011 11001 11100 00011 11001 00011 00110 11001 两首五言绝句加起来便成一首五律 因此五律有 8 种基本格式 在五律的每句前 加两字 变成七律 于是知道共有 16 种格式 五律的平仄矩阵是 8 5 七律的平仄 矩阵是 8 7 长律的平仄规律可以按此规律推出 这里就不一一列出 原本认为错综复杂 难以记忆的诗词平仄规则 用矩阵表示 只要记住四种基本 句式 所有绝句律诗的平仄矩阵就可通过变换得到 可以说十分简洁而优美 以下列举王之涣的 登鹳雀楼 王维的 送别 王安石的 梅花 皇甫冉的 婕 妤怨 分别对应四种基本格式 00110 11001 11100 2 白日依山尽 黄河入海流 欲穷千里目 更上一层楼 山中相送罢 日暮掩柴扉 春草明年绿 11100 00011 00110 11001 墙角数枝梅 凌寒独自开 遥知不是雪 00011 11001 11100 00011 花枝出建章 凤管发昭阳 借问承恩者 11001 00011 00110 11001 诗句之间复杂的音韵规定 用矩阵变换中简单的 换行 就基本可以概括 如 果将矩阵转置 居然可以通过新矩阵是否满秩 来检查 拗救 后的诗句是否仍出现 格 律 中 孤 平 或 孤 仄 的 禁 忌 更 令 人 惊 喜 的 是 在 排 列 平 仄 时 5p 4p1z 3p2z 2p3z 1p4z 5z 的对称形式 突然让我联想到杨辉三角 二项式展开式 请看 五言诗句的平仄规律 5 0514123232341455 555555 pzC pC p zC p zC p zC p zC z 7 0734343477 7777 的 中 间 项 系 数 非 常 精准地刻画了五言诗句的所有平仄排列数 如此以来 七言诗句的平仄规律尽在 pzC pC p zC p zC z 之中 当我惊喜地发现这些规律时 我不得不由衷感叹古代诗人的智慧和理性精神 他 们可能不知道什么是数学 也肯定没学习过排列组合 二项式定理 线性代数之类 但那种洞悉变换规律 自然地运用数学思想的能力 让人惊叹 正如 17 世纪以前就 有杰出的画家运用透视原理 来处理由于不同方位光线照射而形成的绘画立体效果 3 是他们的杰出工作 衍生出后来数学中的射影几何 相信数学与文学之间还有许多隐 匿状态的更加奇妙的联系 看来 数学能帮助诗人作诗 帮画家作画 帮歌者谱曲是 毫无疑问的了 两个月前 我随同上海市双名工程中学数学二组的其他 11 名学员赴哈尔滨学习交流 途中偶想起数学家华罗庚先生早年所作一幅对联 妙人儿倪家少女 搞弓长张府高才 联 中 倪 指华先生在参加一次学术活动时专职的护理医生倪女士 张 指当时在场的数学 家张广厚 当时在场的人都称奇不已 此对巧在结构上 妙 字拆成 少女 搞 字拆 成 高才 人儿 合为 倪 弓长 合为 张 不仅讲究传统对联的对仗 更讲 究词字的拆分组合 左右呼应 对称 隐含了丰富的数学思想 我受此启发 尝试将本组的 14 名学员和两位导师的姓名共 42 个字融合在一起 按以上格式题写六副对联 用形意分类 组合 优选等方法 把 14 人的姓名都组合嵌入联中 且最大可能地表达实际情形 作出的 对子 自己感觉满意 于是拿出来与大家共享 看是否能从对联中看到数学的身影 以进一 步说明数学与文学联袂时 将会出现别样的艺术审美效果 因对联中用的都是真实姓名 所以此处只列出两联 其余只在同事间传阅把玩 以避刻 意颂扬之嫌 先看第一联 挥羽公翁氏帅才 倚口天吴地奇人 挥 可拆为 军 才 统军之人即为帅 羽 公 叠加为主持人翁昌来的姓氏 同 时用 挥羽公 暗喻诸葛孔明 倚可拆为 奇 人 口天吴是吴卫国的姓氏 他是崇明人 博学多才 因称吴地奇人 第二联 思迎霞胡琴心田 梦瑾怡阮瑟林夕 上一联只考虑姓 而此联中将胡迎霞 阮瑾怡的姓名完全嵌入 相对难度比上一联高 胡琴 阮瑟均为乐器 思心田 与 梦林夕 对仗工整 拆拼合理 整幅对联的意境雅致 清新 十分幽美 其余几联 都各有变化 但基本是按照 句内拆字合意 句间对仗合情 的原则来作 4 5 这样的对联与传统楹联的要求不同 主要是为了用有限的几个字 而且意义要符合实情 关 键是在诸多条件 义 形 声 限制下 进行排列组合 要兼顾 义 与 形 对音韵的 限制只好放宽甚至基本放弃了 不讲平仄不能成为对联 我不以为然 因为对应 拆分 组 合 对称等数学观念方法的运用 实现了多条件限制 复杂结构的文字组合 尽管在诵读的 音调方面 少了点朗朗上口的感