南京航空航天大学《高等数学》18无穷小比较.pdf

无穷小的比较无穷小的比较 等价无穷小代换等价无穷小代换 例如例如 x x x 3 lim 2 0 x x x sin lim 0 2 2 0 1 sin lim x x x x 1 sin sin 0 22 都是无穷小时当都是无穷小时当 x xxxxx 3 2 趋近零的速度要快得多比趋近零的速度要快得多比 xx 0 极限不同极限不同 反映了趋向于零的反映了趋向于零的 快慢快慢 程度不同程度不同 sin大致相同与 大致相同与xx 不可比不可比 1 x x 1 sinlim 0 不存在不存在 观察各极限观察各极限 一 无穷小的比较一 无穷小的比较 0lim 1 o记作 高阶的无穷小是比就说如果 记作 高阶的无穷小是比就说如果 定义 定义 0 且穷小是同一过程中的两个无设 且穷小是同一过程中的两个无设 0 lim 2 是同阶的无穷小与就说如果 是同阶的无穷小与就说如果 CC 1lim 记作 是等价的无穷小与则称如果特殊地 记作 是等价的无穷小与则称如果特殊地 0 0 lim 3 无穷小 阶的的是就说如果 无穷小 阶的的是就说如果kkCC k 例1例1 解解 tan4 0 3 的四阶无穷小为时当证明的四阶无穷小为时当证明xxxx 4 3 0 tan4 lim x xx x 3 0 tan lim4 x x x 4 tan4 0 3 的四阶无穷小为时故当的四阶无穷小为时故当xxxx 例2例2 sintan 0的阶数关于求时当的阶数关于求时当xxxx 解解 3 0 sintan lim x xx x cos1tan lim 2 0 x x x x x 2 1 sintan的三阶无穷小为 的三阶无穷小为xxx 常用等价无穷小 常用等价无穷小 0时当 时当 x 用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式 1lim 0lim o即即 o于是有于是有 例如例如 sinxoxx 2 1 1cos 22 xoxx 2 1 cos1 1 1ln arctan tan arcsin sin 2 xxxexx xxxx xxxx x 定理 等价无穷小替换定理 定理 等价无穷小替换定理 limlim lim 则存在且设 则存在且设 证证 lim lim limlimlim lim 二 等价无穷小代换二 等价无穷小代换 例3例3 cos1 2tan lim 2 0 x x x 求求 解解 2 2tan 2 1 cos1 0 2 xxxxx 时当 时当 2 2 0 2 1 2 lim x x x 原式 原式 8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换 对于代数和中各无穷小不能分别替换 对于代数和中各无穷小不能分别替换 注意注意 例4例4 2sin sintan lim 3 0 x xx x 求求 解解 sin tan 0 xxxxx时当 时当 3 0 2 lim x xx x 原式原式 0 解解 0时当 时当 x cos1 tansintanxxxx 2 1 3 x 2 2sinxx 3 3 0 2 2 1 lim x x x 原式 原式 16 1 错错 31ln 1 lim sin 0 x e x x 求求 3 1 3 sin lim 0 x x x 原式原式 例5例5 解解 0时当 时当 x 3 31ln xx sin 1 sin xe x xx xx x arctan 1sin1 lim 2 0 例6例6 x x xx xx 1 lim sin lim 0 3 0 lim 1 lim 1 1 lim 0 1ln 1 0 1 0n a x x n a x e x ax x ax n x n x 例7例7 1 无穷小的比较无穷小的比较 反映了同一过程中反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度 快慢 两无穷小趋于零的速度 快慢 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较 2 等价无穷小的替换等价无穷小的替换 求极限的又一种方法求极限的又一种方法 注意适用条件注意适用条件 高高 低低 阶无穷小阶无穷小 等价无穷小等价无穷小 无穷小的阶无穷小的阶 三 小结三 小结 思考题思考题 任何两个无穷小量都可以比较吗 任何两个无穷小量都可以比较吗 思考题解答思考题解答 不能 不能 例当时例当时 x 1 x xf