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第四章 几类重要的分布【授课对象】理工类本科三年级【授课时数】8学时【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1、了解Bernoulli概型，熟练掌握二项分布、Poisson分布；2、熟练掌握均匀分布、正态分布和指数分布及其性质；3、熟记二项分布、泊松分布、均匀分布的数学期望和方差；4、知道二维正态分布与均匀分布。【本章重点】熟练掌握Bernoulli概型、二项分布、Poisson分布、均匀分布、正态分布和指数分布及其性质【本章难点】对离散型与连续型随机变量的分布的理解【授课内容及学时分配】4.0 前 言在第二章中我们曾经研究了随机变量的分布，具体的研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson分布、正态分布是概率论中三大重要的分布，因此，在本章中，我们重点研究二项分布、Poisson分布和正态分布，并在此基础上研究其他一些连续型分布。4.1 二项分布 二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。一、泊努利试验（Bernoulli） 在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A是否发生。例如在产品抽样检查中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的室出现正面还是反面，等。在这一类随机试验中，只有两个基本事件与，这种只是两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。为方便起见，在一次试验中，把出现称为“成功”，出现称为“失败”若记 。把一重Bernoulli试验独立地重复地进行次得到重Bernoulli试验。 【注】：重复是指每次试验中成功的概率不变；独立是指次试验独立进行。二、两点分布称服从两点分布，参数为，若,。当，两点分布就是重要的Bernoulli分布用Bernoulli分布可以描绘一重的Bernoulli试验。在试验中，若成功的概率为记则就服从参数为的一重的Bernoulli分布。记为：三、二项分布称服从二项分布。参数为。如果，记为 ，若记显然满足：(1) 非负性: 0(2) 规范性:二项分布描绘的是重Bernoulli试验中成功出现的次数。若记为成功出现的次数，则的可能取值为0，1，2，,，其相应的概率为：=事实上，若记： 则 ；共有个项：且两两互不相容。由试验的独立性：Eg1：若在M件产品中有N件废品，现进行有放回的次抽样检查。问共取得K件废品的概率有多少？ 解：由于是有放回的抽样，因此，这是重的Bernoulli试验. 记为“各次试验中出现废品”这一事件，则： ，设为次抽样检查中所抽到的废品数，则因此，所求概率为：。四、二项分布的数学期望与方差设， 由数学期望的定义：（令）=即：由方差的定义： （令）=五、二项分布的Poisson逼近Th：在Bernoulli试验中，记为事件A在试验中出现的概率，他与试验总数有关，若0, 则对的正整数，有Proof:令，则,且 则=4.2 泊松分布Poisson分布一、定义：称服从参数为的Poisson分布，若 记为：或， 显然： 为计算方便课后给出了Poisson分布表，见附表1【说明】历史上Poisson分布是作为二项分布的近似于1837年由法国数学家泊松引入的，若把试验中成功概率值很小的事件叫做稀有事件，则由上面TH当充分大时，重试验中稀有事件发生的次数近似服从Poisson分布。这时，参数的整数部分 恰好是稀有事件发生的最可能次数，在实际中常用Poisson分布来作为大量重复独立试验中稀有事件发生的概率分布情况的数学模型，诸如不幸事件，意外事故、故障，非常见病，自然灾害等，都是稀有事件。Eg2：在1875年1955年间的某63年间，上海的夏季（5-9月）共发生暴雨180次，求一个夏季发生次暴雨的概率.解：每年夏季共有：=31+30+31+31+30=150天。若每次暴雨以一天计，则每天发生暴雨的概率为=。则一个夏季发生次暴雨的概率记为，作为初步近似，可利用Bernoulli概型，由于很小，而较大，则：。二、Poisson分布的数学期望和方差设，即 （令）=所以：Eg3：保险事业是最早使用概率论的部门之一，保险公司为了估计其利润，需要计算各种概率。 保险公司现在为社会提供一项人寿保险，据已有的资料显示：人群中与这项保险业务有关的死亡概率为0.0020，今有2500人参加这项保险，每个参保的人员在每年1月1日交付120元保险金，而在死亡时家属可从公司领20000元保险金。试问：(1) 保险公司亏本的概率是多少?(2) 保险公司赢利不少于100000元、200000元的概率是多少?解：每年1月1日，保险公司的收入300000元=120，若一年中死亡人,则保险公司这一年应付出20000元，因此“公司亏本”意味着20000300000 即15人，这样“公司亏本”这一事件等价于“一年中多于15人死亡”的事件，从而转而求“一年中多于15人死亡”的概率，若把“参加保险的一个人在一年中是否死亡”看作一次随机试验，则问题可用，的试验来近似，设为一年中这些参保人员里死亡的人数，则由上定理，经查Poisson分布表，可得：(1) 亏本=0.000069 (2) 赢利不少于100000元，则意味着 300000-200000x；赢利不少于200000元，则意味着300000-200000 故P保险公司赢利不少于100000元=P= P保险公司赢利不少于200000元= P= Eg4：P90 例2 三、课后作业：1、仔细阅读P83-92； 2、作业：P108 1，3，4，9，103、预习P92-984.3 正态分布0、引言：前面我们研究了概率论中三个重要分布之二：二项分布和Poisson分布，这是两个离散型分布；下面研究第三个重要分布正态分布，这是一个重要得连续型分布，它不仅具有重要得理论意义，而且其应用相当广泛。一、定义把概率密度函数为= (-的分布称为正态分布，其中为参数。 若连续型随机变量服从参数为的正态分布。简记为N()；其相应的分布函数为： =特别地：当时，称服从标准正态分布。记作，其相应的密度函数和分布函数分别是：= - 和 =为说明上述定义的合理性,需验证满足密度函数的性质:1.非负性：显然0. 2.规范性：= （令）=()=()()=令, 0 0 则有: ()=1 故=1 即确为密度函数.二、正态分布的特点与性质 正态分布又叫高斯分布，它在概率论的理论和应用中占有很重要的地位，因此需要研究其性质及特点.(1).的各阶导均存在 (2).关于x=对称 即=(3).当x=时，取最大值=；x离越远，值越小，这表明对于同样长度的区间，当区间离此越远，则落在该区间上的概率越小。(4).在x=处有拐点，且以ox轴为水平渐近线，即=0。-位置参数， -形状参数, 表示取值的分散程度(5).分布函数的图形关于点（）中心对称，即=. 三、正态分布的概率计算(1).若 则 1 P=P-x=P=2(2).若则，且=P=。proof：PP=P=. (令) 即 于是F(x)=P=P=(3).若则对任意实数ab 有=为计算方便，书本P280给出标准正态分布表。Eg1：（质量控制的原则），则P=P-1=2 P=2 P=2 上述结果表明，当对某项质量指标（如在生产过程中）作抽样调查时，可以把抽样值是否落在（，）之中作为判断生产过程是否正常的一个主要标志。Eg2：某汽车制造厂设计一种新型公共汽车，其车门的高度是按男子与车顶碰头的机会在1%以下设计的，据统计资料分析所知，男子身高服从N（175，36），问车门高度应如何确定？解：假设车门高度为x，以表示男子身高，则依题：P。而P= =1故有1 查正态分布得： =2.33 则x=175+6(cm) 故车门的高度应设计为188.98cm四、正态分布的应用在实际中，正态分布是有广泛应用的概率分布，许多随机现象可以用正态分布或近似的正态分布来刻画。如在生产中，在生产条件不变的前提下，各种产品的某些量度(如建筑材料的抗压强度、细沙的强力、荧光灯的使用寿命、零件的尺寸等)一般都服从正态分布；在生物学中，同一种群的某种特征(像身高、体重等)，一般也服从正态分布；在自然科学中，热力学中理想气体分子的速度分量，射击时命中位置目标沿某个坐标轴的偏差，测量同一物体的测量误差等；气象学中，每年某月的日平均气温和降雨量等；水文中的水位等也都服从或近似服从正态分布。在理论上, 正态分布是许多重要分布的极限分布，这就是下一章的中心极限。五、正态分布的期望与方差设)，则= （）= = = DE(= （）=（+）= 可见，正态分布的两个参数分别是该随机变量的数学期望和方差，其分布由期望和方差唯一决定。Eg3：设 且相互独立，试求 的概率密度函数。解：关于正态分布有如下结论：（见P96 ）即两个服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布，可推广到N个随机变量得情形。因此，服从正态分布，因而只需要求出的密度函数即可。=2； =4概率密度函数为【注】关于正态分布还有如下特点：(1)若则对常数，(2)若，则服从正态分布，特别的，当相互独立时，。六、课后作业：1、仔细阅读P92-98； 2、作业：P109 11，12，133、预习P98-1074.4 其他重要的概率分布 在其他重要的概率分布中，我们主要研究两个连续型的分布：指数分布和均匀分布。一、指数分布1定义：若随机变量的概率密度函数为 () ， 则称其服从参数为的指数分布。记为显然有； =1 其对应的分布函数为：指数分布有着重要的应用，常用它来作为各种“寿命”分布的近似。例如无线电元件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随机服务系统中的服务时间等都常假定服从指数分布。指数分布的重要性还表现在它具有类似于几何分布的“无记忆性”。2指数分布的无记忆性：设服从指数分布，参数为则对，有P，若把理解为“寿命”，则上式表示：若已知寿命长于s年，则再活t年的概率与年龄s无关，所以有时又风趣的称指数分布是“永远年青”的。在连续型随机变量中，只有指数分布具有这种无记忆性，这也是指数分布具有广泛应用的重要原因之一。指数分布在可靠性理论和排队论中有着广泛的应用，如随机服务系统中的服务时间、等待时间等都服从指数分布。Eg1:设在任意的时间间隔内来到某商店的顾客人数为（泊松分布），求两位顾客来到之间的“等待时间”的分布函数。解，设前一位顾客来到的时刻为0，因非负， 当t；当t，由于在等待时间内无顾客来到，从而， 故P 的分布函数为 即服从参数为的指数分布。3指数分布的数学期望和方差：设 则Edx=+=D=E=二、均匀分布1 定义：称随机变量服从区间a，b上的均匀分布，若它具有密度函数： 其中a,b为参数。记为 显然 ；=1其对应的分布函数为 均匀分布描绘了几何型随机试验中随机点的分布。若在闭区间a，b上均匀投掷随机点的话，以表示随机点的落点坐标，则就服从。事实上对于任意长度为的区间，（），则落在该区间内的概率为Pc=，这说明随机点落入任何区间内的概率只依赖于区间的长度而与区间在a,b中的位置无关。Eg2:假设有一同学乘出租汽车从华北工学院到太原火车站赶乘火车，火车是18：30发车，出租车从学校开出的时间是18:00，若出租车从学校到火车站所用的时间 U15，30，且从下出租车到上火车还需12分钟，问此人能赶上火车的概率是多少？解：若要赶上火车，则出租车行驶的时间最多只能有18分钟，所以P= ， 即:此人能赶上火车的概率只有20%。2 均匀分布的数学期望和方差：设 则Edx=Edx=D=E-=Eg3: 设， 且独立，试求E()，D()解：E= E= D= D= 由D=E E= D+=21 E= D+= 由独立，独立 所以= EE= D()=E(=21=7三、分布（不讲）1.函数： （）2.性质：利用分步积分法可以验证 =！ ( 3.分布：若= （ 则称服从参数为的分布，记为。 当时，=（指数分布）可以证明，若 则E=，D=4.5 二维正态分布及二维均匀分布一、二维正态分布 1.定义：称二维随机变量服从二维正态分布，如果的联