拓展二　二次函数与三角形面积问题.docx

拓展二二次函数与三角形面积问题一、教材分析二次函数在初中数学教材中占有重要的地位，不管是在代数还是在解析几何中用的都非常多，并且各种数学思想如函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转换思想常常都利用二次函数作为载体。在中考试题中，客观题和主观题也都有不同程度的考察二次函数的基础知识和综合应用。二、学情分析初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像与性质等基础知识，他们的分析、理解能力较新课学习时已有明显提高，也具有一定的自主探究和合作学习的能力。但学生能力差异较大，两极分化明显。三、教学目标1、知识与技能理解求面积常用的方法并能熟练运用，a.直接法 b。简单的组合 c。面积不变同底等高或等底等高的转换 d.相似 e.三角函数 f。找面积的最大最小值利用二次函数的性质 2、过程与方法（1）通过利用二次函数的图像解决问题，体会函数思想、数形结合思想；（2）在学习探索的过程中逐步体会和认识二次函数。3情感、态度与价值观（1）树立主动参与积极探索尝试、猜想和发现的精神；（2）注意运用数形结合的思想，改变过去只利用数式，而忽略图形的思想。教学重点： 中考压轴题的重点在于寻找分析问题，解决问题的思路和方法。能应对这部分题的关键需要熟练几部分知识点：（1）二次函数与一次函数，反比例函数的解析式（2）勾股定理（3）四边形（4）相似三角形和三角形全等（5）锐角三角函数（6）轴对称和中心对称（7）求交点的方法（8）知识的综合运用教学难点： 寻找联系是这部分内容的一个关键所在，也是一个难点。尤其是遇到二次函数与三角形面积的综合题的解题思路。运用坐标求面积，运用面积求坐标等等的合理运用，以及运用的重要因素在哪里？易错点：面积中涉及求面积的方法，坐标漏找或错找，坐标与线段长度之间的联系，坐标在不在二次函数的图像上。这些都是在考试中容易失分的地方。切入点：例如：根据已有条件求坐标，首先要想到平面直角坐标系与锐角三角函数的联系，尤其是正切的运用。这样直观的可以求出坐标（前提必须建立直角三角形），如果不是直角三角形可以想法构建直角三角形，这是求坐标的最好方法，此方法不通的情况下可以运用勾股定理进行求解，很少运用相似求。掌握了求解方法再做题的时候就知道如何下手了。而次部分求面积的时候要先找到点的坐标的具体位置以及如何通过面积求坐标。 例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点C，点B在x轴的正半轴上，且AB=4，抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B,C.（1)求抛物线的解析式；（2）求ABC的面积（3）点D为抛物线的顶点，DE是抛物线的对称轴，点E在x轴上，在抛物线上存在点Q,使得QAE的面积与CBE的面积相等，请直接写出点Q的坐标；（4）在（3)的条件下，连接AD,CD，求四边形AOCD和ACD的面积；（5）在直线AC的上方的抛物线上，是否存在一点M,使MAC的面积最大？若存在，请求出点M的坐标，并求出MAC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（6）点H是抛物线第二象限内一点，作HGx轴，试确定H点的位置，使HGA的面积被直线AC分为12的两部分；（1） 解：对于y=x+3，当x=0时，y=3；当y=0时，x=-3，A（-3，0），C（0，3），AB=4，B（1，0），抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3）， 9a-3b+c=0 a=-1 a+b+c=0 解得 b=-2 c=3 c=3 抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;（2） 解：点C坐标为(0，3)，OC=3，SABC = ABOC= 43=6;（3）解：Q点的坐标为（-2，3）或（0，3）或（-1+ ，-3）或（-1- ，-3）；【解法提示】如解图，依题意，AE=BE，当QAE的边AE上的高为3时，QAE的面积与CBE的面积相等.当y=3时，-x2-2x+3=3，解得x1=-2，x2=0，点Q的坐标为（-2，3）或（0，3）.当y=-3时，-x2-2x+3=-3，解得x=-1 ，点Q的坐标为（-1+ ，-3）或（-1- ，-3）.综上所述，点Q的坐标为（-2，3）或（0，3）或（-1+ ，-3）或（-1- ，-3）.（4）解：如解图，连接OD，易知点D的坐标为（-1，4），S四边形AOCD =SAOD +SCOD= 34+ 31= ，SACD =S四边形AOCD -SAOC= - 33=3；（5）解：存在点M，使得MAC的面积最大.如解图，过点M作MNy轴，交AC于点N，设M（x，-x2-2x+3），则N（x，x+3），MN=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x，SMAC =SAMN +SCMN = MN3= (-x2-3x)= - (x+ )2+ ，- 0，当x=- 时，SMAC的值最大为 ，当x=- 时，y=-(- )2-2(- )+3= ，点M的坐标为（- ， ）；(6) 解：如解图，由（5）可知，可分两种情况讨论：若HI=2IG，则有-x2-3x=2(x+3) （-3x0），整理得x2+5x+6=0，解得x1=-2，x2=-3（不合题意，舍去），H（-2，3）；若2HI=IG，则有2(-x2-3x)=x+3（-3x0），整理得2x2+7x+3=0，解