混沌现象探讨.doc

混沌现象探讨摘要混沌是现代科学的重要概念，是非线性科学的一个非常重要的内容。混沌作为一门新兴的科学，是人类在认识大自然中的不规则性方面的一个举足重轻的突破。它已渗透到全部科学之中。 混沌现象是发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，是确定论系统所表现的内在随机行为的总称，其根源在于系统内部的非线性交叉耦合作用，而不在于大量分子的无规则运动。 该理论所研究的是非线性动力学，它是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象，目的是要揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现一些复杂问题普遍遵行的共同规律。这种现象是比较广义的，不仅讨论混沌状态下的运动变化过程，也讨论由有序向混沌演化的特点。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。但因为我们对它了解太少，所以往往视而不见，忽略了它的存在。 蝴蝶效应、湍流、三体问题、昆虫繁衍、机床切削金属时或打印机机头因冲击而引起的混沌振动等都属于混沌现象。另外，癫痫病患者发病时的脑电波呈明显的周期性，而正常的脑电波则近乎随机讯号，其脑电图曲线代表的就是曲型的混沌现象。单摆是我们熟知的确定性运动的典型，但当角度大到一定程度并有驱动力和阻力时也居然能够进入混沌状态。而在政治、经济、战争、教育等社会科学各个领域也发现了许多混沌现象实例关键字：非线性动力学 确定论 随机性 非线性交叉耦合一、混沌现象实例：1三体问题首先考虑一个比较特殊的三体问题：一颗质量很小的卫星在两颗大质量(为简单起见可设质量相等)的行星作用下运动。假定行星在它们之间的万有引力作用下绕其联线中心作圆周运动，而卫星质量很小，对行星运动的影响可以忽略。同时假定三个天体在同一平面内运动。现在要问：卫星在两颗行星作用下的运动情况如何呢？上述模型及由牛顿运动定律和万有引力定律所列出的方程看上去挺简单的，但它们所代表的运动却十分复杂，竟然无法得到解的数学解析式。现在知道原因在于方程的非线性。庞加莱对三体问题进行了深入的探讨，以其巨大的智慧，超常丰富的想像力发明了一套独特的定性研究方法，证明了方程根本不存在数学解析解。当年并没有计算机，但庞加莱却能推断出卫星长期运动的轨道是缠来绕去，错综复杂的。他在科学的价值一书中肯定地指出：一个非常小的原因会引出一个我们不可能视而不见的重要结果。系统的运动和变化对初始条件的依赖极其敏感，系统的长期行为似乎有一种不确定性。2蝴蝶效应1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准确进行长期天气预报的可能性。有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果，甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！图1为两次计算结果逐渐显示出来的巨大差别。图1长期天气预报是不可能的正是初始条件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是蝴蝶效应。 二、 模型建立：下面通过昆虫繁衍模型来深入探讨混沌现象。综合考虑正增长和负增长，经过一定的数学抽象和变换后，在1976年生物学家梅最终得到虫口方程如下：式中各量的取值范围为：1，2，3，：0，1：0，4式中各量的意义如下。假定虫口环境所能支撑和供应的最大虫口限额为，且1。第代虫口数为，则/，是为第代的相对虫口数。显然，1就是最大虫口数目，故的值不能超过1。是控制参量。虫口模型要求取值0，4，这是因为在4时会出现发散现象，方程就将失去意义。如对当代入0.5后会得到1.25，而最大相对虫口数只能为1，1.25显然没有意义。对于不同的值，通过迭代可得到不同的最终迭代值，从而由倍周期分岔通往混沌的道路就彻底打通了。图2 倍周期分岔图 (未按比例)以下用作图法表示迭代过程 (见图3)。在直角坐标系中先分别作出的45斜线及的抛物线。然后在轴上取初始值(自变量)，作竖直线交于抛物线即得，再作水平线交于斜线，交点即为自变量，再作竖直线交于抛物线即得一直作下去每一幅图就代表取定值时的迭代演化过程。 图3 虫口方程图解法三、总结：通过以上内容我们很清楚地看出混沌现象的一些特性：1 在混沌区中混沌系统对初值的依赖具有敏感性。对方程进行迭代，今分别取初始值为和0.1000001，迭代结果列表如下。1234551520.360.92120.289013760.8219392260.277569080.802094380.360000030.921600360.289013550.8219388710.973249590.10413931以上计算清楚地表明，初值的微小差异，经过若干次迭代后就会“差之毫厘，失之千里”了。其长期行为具有一种概率统计的特征。2 混沌区中存在周期窗口是混沌现象的又一大特性。就是在混沌区也并非一片混乱，混沌区中还有无数周期窗口。如对方程迭代结果为3周期，“终态”为，。而且对窗口放大后发现窗口中还有“结构”(见图4)，即窗口中又存在倍周期分岔进小的混沌区，在小混沌区中又有小的窗口等等。所以混沌区为一个无限嵌套的自相似结构。图 4 混沌区中周期窗口及放大3 从不同的初始条件出发可以产生同样的结果。在03之间一旦确定，则事实是不论初始值取多少，迭代的归宿总是一个确定值。4 从同样的初始条件出发可能得到完全不同的结果。分岔还表明，即使从完全相同的初态出发，演