量子力学试题.doc

一、 填空题1玻尔的量子化条件为 。2德布罗意关系为 。3用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 。4波函数的统计解释：_5 为归一化波函数，粒子在 方向、立体角 内出现的几率为 ，在半径为 ，厚度为 的球壳内粒子出现的几率为 。6波函数的标准条件为 。7 ， 为单位矩阵，则算符 的本征值为_。8自由粒子体系，_守恒；中心力场中运动的粒子_守恒。9力学量算符应满足的两个性质是 。10厄密算符的本征函数具有 。11设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为_。12. _; _; _。28如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 _。13坐标和动量的测不准关系是_。14在定态条件下，守恒的力学量是_。15隧道效应是指_。16量子力学中，原子的轨道半径实际是指_。17 为氢原子的波函数， 的取值范围分别为 。18对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 。 19设体系的状态波函数为 ，如在该状态下测量力学量 有确定的值 ，则力学量算符 与态矢量 的关系为_。20力学量算符 在态 下的平均值可写为 的条件为_。21量子力学中的态是希尔伯特空间的_；算符是希尔伯特空间的_。21设粒子处于态 ， 为归一化波函数， 为球谐函数，则系数c的取值为 ， 的可能值为， 本征值为 出现的几率为 。 22原子跃迁的选择定则为 。23自旋角动量与自旋磁矩的关系为 。24 为泡利算符，则 ， ， 。25 为自旋算符，则 ， ， 。26乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 _， _。27轨道磁矩与轨道角动量的关系是_;自旋磁矩与自旋角动量的关系是_。27费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_,玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_。27 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为 （已归一化），则在态 下，自旋算符 对自旋的平均可表示为_；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为_。27 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为 （已归一化），则 的意义为_；_。二、 问答题1 电子在均匀电场 中运动，哈密顿量为 ，试判断 各量中哪些是守恒量，为什么？2 经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别？3 量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？4 什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么关系？5 表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？6 乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么？7 什么是塞曼效应，对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？8 什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？9 什么是斯塔克效应？10 不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？11 量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同？12 什么是定态？定态有什么性质？13 量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？14 简述力学量与力学量算符的关系？15 轨道角动量和自旋角动量有什么区别和联系？16 简述量子力学的五个基本假设。 17 简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？18 什么是光电效应？光电效应有什么规律？19 什么是光电效应？爱因斯坦是如何解释光电效应的。20 简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的。21 简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。22 能量的本征态的叠加还是能量本征态吗？为什么？23 原子的轨道半径在量子力学中是如何解释的？三、 计算题1在 和 的共同表象中，算符 和 的矩阵分别为 ， 。求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵 和 对角化。2 一维运动粒子的状态是 其中 ，求（1） 粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。（利用公式 ） 3 设在 表象中， 的矩阵表示为 其中 ，试用微扰论求能级二级修正。（10分） 4 在自旋态 中，求 。（10分）5 各是厄密算符。试证明， 也是厄密算符的条件是 对易。6 在动量表象中角动量 的矩阵元和 的矩阵元。7求自旋角动量在 方向的投影的本征值和所属的本征函数。8转动惯量为 ，电偶极矩为 的空间转子处在均匀电场 中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。（10分）（基态波函数 ，利用公式）9证明下列关系式：1 ， 2. 3. , 4. (其中 为角动量算符， ， 为泡利算符， 为动量算符)10 设 时，粒子的状态为 ，求此时粒子的平均动量和平均动能。11 为厄密算符， （ 为单位算符）， 。（1）求算符 的本征值；（2）在A表象下求算符 的矩阵表示。12 已知体系的哈密顿量 ，试求出（1）体系能量本征值及相应的归一化本征矢量。（2）将H对角化，并给出对角化的么正变换矩阵。13一质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动， ， b为小量，用微扰法求粒子的能级（近似到一级）。 14证明下列算符的对易关系。1 ；2. ( )3. 设算符 与它们的对易式 对易，即： ，证明： 15设有两个电子，自旋态分别， ，证明两个电子处于自旋单态（ ）及三重态（ ）的几率分别为： （20分）。16求自旋角动量在 方向的投影 的本征值和所属的本征函数（20分）。17由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符 。试证明（1） 是厄密算符；（2）有 ；（3） 的本征值为0和1（20分）。18 设在 表象中， 的矩阵表示为 ，其中 ，试用微扰论求能级二级修正（14分）。19证明下列算符的对易关系（24分）： 1 2. ( )3. 设算符 与它们的对易式 对易，即： ，证明： 20一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色