复数知识点.doc

复数知识点讲解备课人：李发1、复数的定义：设为方程的根，称为虚数单位，由与实数进行加、减、乘、除等运算.便产生形如的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用来表示.2、复数的几种形式.对任意复数，称实部记作,称虚部记作. 称为复数的代数形式.若将作为坐标平面内点的坐标，那么复数与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射.因此复数可以用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中轴称为实轴，轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数,点称为复数的几何形式；如果将作为向量的坐标，复数又对应唯一一个向量.因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；【模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：. 】另外设对应复平面内的点，见图15-1，连接，设，则,所以，这种形式叫做三角形式.若，则称为的辐角.若，则称为的辐角主值，记作. 称为的模，也记作，由勾股定理知.如果用表示，则，称为复数的指数形式.3、复数及其相关概念：复数形如的数；实数当时的复数，即；【】虚数当时的复数；纯虚数当且时的复数，即.若，是纯虚数.复数的实部与虚部叫做复数的实部，叫做虚部（注意都是实数）复数集全体复数的集合，一般用字母表示即 虚数不能比较大小，只有等与不等.即使是也没有大小.4、复数的几何意义：复数 复平面内的点Z（a,b）平面向量5、两个复数相等的定义：且（其中）特别地，.6、复数代数形式的加减运算复数的和：复数的差：复数的乘除法运算：复数的乘法：【复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律.实数集中正整数指数的运算律,在复数集中也仍然成立.即对有: , , .】复数的除法：，分母实数化是常规方法7、复数的模：若向量表示复数，则称的模为复数的模， ；积或商的模可利用模的性质（1），（2）共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（）之差可能为零，此时两个复数是相等的】共轭复数所对应的点或向量以实轴对称,即， 共轭复数的性质：;；; ;；若，则. (1) 常用的结论：，（2）“1”的立方根的性质： （3）实系数方程虚根成对定理：实系数一元次方程的虚根成对出现，即若是方程的一个根，则也是一个根.（4）在实数集成立的. 当为虚数时，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.8、 复平面内的两点间距离公式：.其中是复平面内的两点所对应的复数.由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.曲线方程的复数形式：表示以为圆心，为半径的圆的方程.表示线段的垂直平分线的方程.表示以为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.绝对值不等式：设是不等于零的复数，则.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.【】.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.9、两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.若为复数：当时，则（）为复数，而不是实数；：当时，则.（）若，则是的必要不充分条件.（当，时，上式成立）10、 复数的三角形式：.辐角主值：适合于的值，记作.【注：为零时，可取内任意值.辐角是多值的，都相差2的整数倍.设则.】复数的代数形式与三角形式的互化：，.几类三角式的标准形式：； 复数的三角形式运算：棣莫弗定理：.11、 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：当时，若，则有两个不相等实数根；若，则有二相等实数根；若，则有二相等复数根或（为共轭复数）.当不全为实数时，不能用方程根的情况.不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.注意两种题型：； ；虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等