习题解答 - 第七章 参数估计.pdf

第七章 参数估计 习题 7 1 p 232 1 随机测定 8 包大米的重量 单位 千克 20 1 20 5 20 3 20 0 19 3 20 0 20 4 20 2 试求总体均值 及方差的矩估计值 并求样本方差 2 2 s 解 1 202 204 200 203 190 203 205 201 20 8 1 12 03 08 033 02 04 0 8 1 8 1 22222 8 1 2 2 2 i i B 13714 096 0 8 1 7 1 8 1 2 2 i i s 2 设总体 服从几何分布 1 1 k ppkP L 2 1 k n 1 L为其样本 试求p的矩估计量和极大似然估计量 解 矩估计 1 1 k ppkP p p ppppkpE k k k k 11 1 11 11 1 pp p p p 11 1 1 2 1 1 p E p 极大似然估计 nk n i k n i ii pppppL 1 11 1 1 pnkpnpL n i i 1lnlnln 1 0 1 1 d lnd 1 p kn p n p pL n i i 01 1 pknpn n i i 1 1 p k n p n i i 3 设 n 1 L是取自参数为 的泊松分布总体的一个样本 试求 的矩估计量和极大似然 1 估计量 解 矩估计 E 极大似然估计 n n k n i i k kkk L n i i 1 1 e e 11 L lnlnln 1 1 n n i i kknkLL 0 d lnd 1 n k L n i i 1 1 n i i k n 4 设总体 的密度函数如下 式中 为未知参数 n 1 L为其样本 试求参数 的矩 估计量和极大似然估计量 0 00 0e x x xf x 解 矩估计 1 e 1 deede 00 0 0 xxxx xxxxE 1 1 E 极大似然估计 n i i i x n n i x L 1 ee 1 n i i xnL 1 lnln 0 d lnd 1 n i i x nL 1 1 n i i x n 0 0 10 1 x x x xf x 解 矩估计 0 2 0 2 2 2 2 2 2 edded xx xx x xxxfE 2 2 2 dedee 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 txxE t xx 2 2 E 极大似然估计 当时 0 i x n i x i n i xL 1 2 1 2 2 2 e 1 n i i n i i xxnL 1 2 2 12 1 lnln2ln 0 12 d lnd 1 2 3 n i i x nL 2 1 1 2 1 22 2 1 2 1 n i i n i i n x n 00 00 0e 1 已知 r x xrx xf x r 解 矩估计 r r r xx r xrxxxxfE x r x r 1 de 1 ded 0 11 0 r E r 极大似然估计 n i i i xn i r i n nrn i xr i x r rxL 1 ee 1 1 1 1 rnxxrnrL n i i n i i lnln1lnln 1 1 3 0 d lnd 1 n i i x nrL r x nr n i i 1 0 e 2 1 x xf 解 矩估计 0de 2 d 奇函数 x x xxxfE x 由于0 E 考虑 2 E 0 2 0 22 2 de 2 de 2 de 2 x x x x x x E xx x 通过两次分部积分得 22 2 E 2 2 2 E 或 0 2 2 E D 2 2 A 或 2 2 B 答案不唯一 极大似然估计 n i i i x n n i x L 1 e 2 1 e 2 1 1 n i i xnL 1 1 2lnln 0 1 d lnd 1 2 n i i x nL n i i n i i n x n11 1 1 5 假设 n 1 L是来自总体 的样本 求 0 P的极大似然估计 解 由第 3 题的结论 ee 0 0 0 P ee0 P 6 假设灯泡寿命服从正态分布 在某天生产的灯泡中随机抽取 10 只 测得其寿命 小时 为 920 948 1067 909 1196 785 1126 936 918 1156 设总体参数全未知 试用极大似然估计法估计该天生产的灯泡能使用 1300 小时以上的 概率 解 1 996 10 1 1 n i i 49 15739 10 1 1 2 2 n i i B 2 1 B a P 0078 042 21 457 125 1 9961300 11300 11300 PPP 4 7 设总体 21 U n 1 L为其样本 试求参数 1 和 2 的极大似然估计 解 当 21 x时 12 1 xf n L 12 21 1 1221 ln ln nL 0 ln 0 ln 211 21 211 21 nL nL 无解 取 n 2 11 8 设总体 未知 当 当 x x xf x 0 e n 1 L为其样本 试求参数 的极大似然估计量 解 nxn i x n i i i L 1 ee 1 nxL n i i 1 ln 0 d lnd n L 无解 取 11 min n L 5 第七章 参数估计 习题 7 2 p 237 1 设总体 n 1 L为其样本 与 2 S是样本均值与样本方差 对任意实数c 求证 2 1Sc是c 的无偏估计 证明 2 DE 22 ESE ccESccESccE111 22 2 设 n 1 L为取自总体的一个样本 总体期望和方差用 和 2 表示 试确定常数c 使 2 1i 成为 2 的无偏估计 1 1 n i i c 解 1 1 2 1 1 1 2 1 n i ii n i ii cEcE 22 1 1 1 2 1 1 2 1 1 ii n i i n i i EEnccE 222 121 ncnc 12 1 n c 3 设总体 x xf e 2 1 0 常数 n 1 L为其样本 求证 n i i n1 1 是 的无偏估计 证明 ttx x x x EE n E t x x i n i i dedede 2 1 00 1 0 0 0 e dee t ttt t 4 设 321 为正态分布 1 N的一个样本 令 3211 2 1 10 3 5 1 1 3212 12 5 4 1 3 1 3213 2 1 6 1 3 1 求证这三个估计量都是无偏估计 并计算它们的方差 说明哪个方差最小 解 2 1 10 3 5 1 1E 38 0 4 1 100 9 25 1 1 D 12 5 4 1 3 1 2E 347 0 144 25 16 1 9 1 2 D 2 1 6 1 3 1 3E 388 0 4 1 36 1 9 1 1 D 2 的方差最小 5 设总体 0 U 41 L为其样本 求证 i i 41 max 4 5 和 i i 41 min5 都是 的无偏 估计 并问哪个更有效 解 由公式 3 60 和 3 61 得 其他0 0 4 4 3 max x x xf 其他0 0 1 14 3 min x x xf 令 1 41 max 4 5 i i 2 41 min5 i i 0 5 4 0 4 3 1 5 15 d 4 4 5 xx x xE 0 54322 3 4 0 3 2 5 1 4 3 2 20 d 1 4 5xxxxx x xE 2 0 6 4 0 4 3 22 3 2 6 4 d 4 xx x xE n 2 0 65423 3 4 0 3 22 1 15 1 6 1 5 3 4 3 3 4 d 1 4 xxxxx x xE 2425 16 3 2 16 25 16 25 2 22 1 n DD 222 12 3 2 25 1 15 1 16 25 25 DD 2 21 DD 故 1 更有效 6 设 n 1 L为 2 0 N总体的一个样本 2 未知 求证 n i i n 1 22 1 是的无偏估计 2 问与作为的估计哪一个更有效 2 2 S 证明 2 2 1 22 0 11 i n i i nE n E n E nD n i i 2 2 1 解 2 0 N i 1 0 N i n n i i 2 2 2 1 n n n D n D n D n i i n i i 4 2 4 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 11 而 1 2 4 2 n SD 22 SDD 更有效 2 7 设 1 和 2 都是参数 的无偏估计 且 1 与 2 不相关 2 11 D 2 22 D 求证 是 21 1 cc 的无偏估计 求常数 使上述的方差达到最小 c 证明 ccEccEE1 1 21 解 cfccDcDcD 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 0122 2 2 2 1 cccf 2 2 2 1 2 2 c 8 设 n 1 L 是参数 的无偏估计 且设 0 当D n 用切贝雪夫不 等式证明 是 的一致估计 证明 1 1lim lim 2 1 D P n n n L 9 设总体 的期望 方差E 2 存在有限 试证 D n i i i nn 1 1 2 是 3 的一致估计 证明 n n i i nEEE nn iE nn E L 21 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2nn nn n nn L 4 第七章 参数估计 复习题 p 259 1 对某种布进行强力试验 共试验 25 块布 试验结果如下 单位 千克 20 24 20 23 21 19 22 23 20 22 20 22 23 25 21 21 22 24 23 22 23 21 22 21 23 以 表示强力 试用矩法估计 E D 解 强力试验的结果的频数如下 试验结果 19 20 21 22232425 频 数 1 4 5 6 6 2 1 88 21 25 1 25 1 i i 1056 2 25 1 25 1 2 2 i i 2 设总体 的密度函数 未知 n 1 L为其样本 试求 的矩法估计量 解 33 1 2 2 d 2 d 0 32 2 0 2 2 0 xxxxxxxxfE E3 3 3 设电话总机在某段时间内接到的呼叫数 服从泊松分布 现收集了 42 个数据 呼叫次数 0 1 2 3 4 5 频 数 7 10 12 8 3 2 用极大似然估计法估计该分布的未知参数 解 由习题 7 1 第 5 题 90476 1 25348312210170 42 1 4 总体 的密度函数 cx cxxc xf 0 1 为已知数 0 c 1 未知参数 n 1 L为其样本 求 的矩法估计量和极大似然估计量 1 解 矩估计 11 1 dd 1 c xcxxcxxxfE ccc c 极大似然估计 1 21 1 1 n nn n i i xxxcxcLL n xxxcnnLL 21 ln1lnlnln 0lnln d lnd 21 n xxxcn nL L cnx n n i i lnln 1 cn n n i i lnln 1 5 总体 的密度函数为 x x xf x 0 e 1 式中 0 D 求证 2 不是 2 的无偏估计 证明 2 2 2 DEDE 0 DQ 22 E 2 不是的无偏估计 2 8 设分别自总体 2 1 和N 2 2 中抽取容量为m和n的两独立样本 其样本方差 为 2 1