数值分析课后习题答案.doc

第一章题12 给定节点，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项： （1） （1） （2） （2） 解（1），由拉格朗日插值余项得；（2）由拉格朗日插值余项得. 题15 证明：对于以，为节点的一次插值多项式，插值误差.证由拉格朗日插值余项得，其中，.题22 采用下列方法构造满足条件，的插值多项式：（1） （1） 用待定系数法；（2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件，的插值多项式.解（1）有四个插值条件，故设，代入得方程组解之，得；（2）先求满足插值条件，的插值多项式，由0为二重零点，可设，代入，得，；再求满足插值条件，的插值多项式，可设，代入，得，.题33 设分段多项式是以为节点的三次样条函数，试确定系数的值.解由得，；，由得，；联立两方程，得，且此时，是以为节点的三次样条函数.题35 用最小二乘法解下列超定方程组：.解记残差的平方和为令，得，解之得.题37 用最小二乘法求形如的多项式，使与下列数据相拟合：192531384419.032.349.073.397.8解拟合曲线中的基函数为，其法方程组为，其中，解之得，.第二章题3 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代数精度： （2） （2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，当时，有 左边，右边，左边右边，当时，有 左边，右边，左边右边，所以该求积公式的代数精度为3.题8 已知数据表1.11.31.53.00423.66934.4817试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分.解辛甫生法；复化梯形法 .题17 用三点高斯公式求下列积分值.解先做变量代换，设，则 .第三章 用欧拉方法求解初值问题，：（1） 试导出近似解的显式表达式；解（1）其显示的Euler格式为：故将上组式子左右累加，得题10 选取参数、，使下列差分格式具有二阶精度：.解将在点处作一次泰勒展开，得代入，得而考虑其局部截断误差，设，比较上两式，当， 时，.第四章题2 证明方程有且仅有一实根；试确定这样的区间，使迭代过程对一切均收敛.解设，则在区间上连续，且，所以在上至少有一根；又，所以单调递增，故在上仅有一根.迭代过程，其迭代函数为，；，由压缩映像原理知，均收敛.注 这里取为区间，也可取为区间等.题5 考察求解方程的迭代法（） （） 证明它对于任意初值均收敛；（） 证明它具有线性收敛性；证（1）迭代函数为，；又 ，由压缩映像原理知，均收敛；（2）（否则，若，则，不满足方程），所以迭代具有线性收敛速度；题7 求方程在附近的一个根，证明下列两种迭代过程在区间上均收敛： （） （） 改写方程为，相应的迭代公式为；（） （） 改写方程为，相应的迭代公式为.解（1），迭代公式为，其迭代函数为，；又 ，由大范围收敛定理知，均收敛；（2），迭代公式为，其迭代函数为，；又 ，由大范围收敛定理知，均收敛.题5 分别用雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代求解下列方程组：（2）其雅可比迭代格式为，取初始向量，迭代发散；其高斯-塞德尔迭代