三容水箱液位控制系统的PID.doc

目录目录1摘要3第一章 概论51.1 课题来源51.2 水箱控制策略的研究61.3 本文研究课题6第二章 三容水箱系统简介及数学模型82.1 三容水箱系统的总体结构及工作原理82.1.1 三容水箱试验系统的总体结构82.1.2 三容水箱试验台控制结构的组成92.1.3 单入单出一阶对象的结构102.2 三容水箱系统的特点102.3 实验建模法推导三容水箱系统的数学模型112.4 系统的性能分析132.5 本章小结15第三章 基于三容水箱系统的PID控制算法研究163.1 PID控制原理简介163.2 基于Z-N的算法实现173.2.1 数字PID控制算法简介183.2.2 积分分离PID控制算法193.2.3 基于Z-N整定法的Kp、Ki、Kd控制参数整定203.3 基于遗传算法的PID控制的设计243.3.1 遗传算法简介243.3.2 基于遗传算法PID参数整定的算法设计263.4 适应度目标函数讨论333.5 基于自适应遗传算法改进的PID参数整定343.5.1 自适应遗传算法343.5.2 基于自适应遗传算法求解最优化模型363.6 基于自适应遗传算法的改进383.7 本章小结40第四章 总结414.1 结论414.2 后续工作41参考文献42致谢43附录1 常规遗传算法PID整定程序44附录2 计算目标函数值的子程序chap5-3f.m48附录3 基于自适应遗传算法的PID整定程序50附录4 快速仿真曲线程序56摘要我们知道三容水箱系统是工业过程控制中许多被控对象的典型抽象模型，在非线性、大惯性过程控制研究应用中具有广泛代表性。近年来国内外许多学者对三容水箱系统的建模方法、控制算法及故障诊断等方面进行了探讨。进一步研究三容水箱系统的控制算法并构建现代实验教学系统，在工业控制领域和工程控制论教学中都具有较为重要的理论和实际应用价值。PID控制是最早发展起来的控制策略之一，由于其算法简单、鲁棒性好和可靠性高，被广泛应用于工业过程控制，尤其适用于可建立精确数学模型的确定性控制系统。本文旨在充分发挥遗传算法的特点，提高PID控制系统设计和控制品质。首先采用实验建模法推导了三容水箱的数学模型，然后根据上述模型在三容水箱中应用了两种PID控制策略：基于自适应遗传算法的PID控制和基于自适应遗传算法的改进快速PID控制算法。对于两种PID控制策略来说，最关键的部分在于如何优化控制器参数，在文中采用了遗传算法这一新型的优化搜索方法，仿真研究结果表明，改进算法能够明显改善系统的动、静态性能，可获得较为理想的控制效果。关键词 三容水箱系统；数学模型；自适应遗传算法；基于自适应遗传算法的改进快速PID控制算法ABSTRACTThree-tank system is a typical and nonobjective model of many objects in industrial process control,and the system is broadly representative in the research of non-linear and inertial process control.In recent years,many scholars in home and abroad have explored the mehhod of modeling,control algorithm and diagnosis of faults etcIt has true values of theoretics and pratical application in the field of industrial control and the teaching of Engineering Control Theory to further research on the control algorithm of three-tank system and the construction of experiment teaching system. PID controller is one of the earliest developed control strategy.PID controller has been applied on industrial control extensively because of its simple algorithm 、good robustness and high reliability.Especially it is shuitable for controlsystem which we can find mathematical model.This paper aims at improving the control system design and control quality through the full use of genetic algorithms.First,experimental modeling method derived mathematical model of the three-tank.Then we used two kindsof PID control games on single tank.They are PIDcontroller based on auto GA and fast PID control algorithm based on adapive genetic algorithm .For two kinds of PID controller,we know how to optimize parameter is a key problem.In this paper ,we select the Genetic Algorithms as a search way and get good effect.KEY WEODS three-tank system；mathemetics model；adaptive genetic algorithm； fast PID control algorithm based on adapive genetic algorithm .第一章 概论1.1 课题来源由于现在科学技术的迅速发展，将控制理论应用于机械工程的重要性日益明显，这就导致了“工程控制论”这门学科的产生与发展。作为一门课程，它是机械工程类专业的重要理论基础之一。在相关课程的教学大纲中，实验教学一般占有20%左右的教学时间，但其教学模式已与当今时代强调培养高素质人才的教育目标产生矛盾。传统的实验教学的实验内容以验证性实验为主，而综合性、创新性和设计性实验少之又少，即教学是以教师为中心的教学模式，学生的“学”限定在教师的“教”之内。在这种模式下，虽然也强调实验能力的培养，但这种实验能力是被当作技能并以“知识”的形式来加以传授的。学生虽然也参与了实验教学活动，但实质上是处于被动接受的状态，学生的主动性、积极性受到限制，非常不利于创造能力的培养。但是要开展“三性”实验需要一个典型的实验平台，这样才能令学生对控制理论有理性和感性上的认识，所以，理想的实验平台的设计是势在必行的。此外，人们对控制系统的控制精度、响应速度、系统稳定性与适应能力的要求越来越高。而实际工业生产过程中的被控对象往往具有非线性、时延的特点，应用常规的控制手段难以达到理想的控制效果，研究对非线性、时延对象的先进控制策略，提高系统的控制水平，具有重要的实际意义。每一个先进、实用的控制算法的出现都对工业生产具有巨大的推动作用。然而，当前的学术研究成果与实际生产应用技术水平并不是同步的，甚至相差几十年。究其原因固然是多方面的，但是，一个很明显的原因就是在于理论研究尚缺乏实际背景的支持，理论的算法一旦应用于现场就会遇到各种各样的实际问题，制约了其应用前景。在目前尚不具有在实验室中复现真实工业过程条件的今天，开发经济实用的具有典型对象特性的实验装置无疑是一条探索将理论成果转化为应用技术的捷径。三容水箱是较为典型的非线性、时延对象，工业上许多被控对象的整体或局部都可以抽象成三容水箱的数学模型，具有很强的代表性，有较强的工业背景，对三容水箱数学模型的建立是非常有意义的，针对它的研究可涵盖控制策略的研究、复杂非线性系统的研究、综合多个学科的基础性研究等。通过水箱液位的控制系统实验，用户除可以掌握控制理论、计算机、仪器仪表知识和现代控制技术之外，可以熟悉生产过程的工艺流程，从控制的角度理解它的静态和动态工作特性，也可以完成经典控制理论的研究和教学实验，还可以设计与调试人工智能控制器，进行智能控制算法的研究与实验教学。1.2 水箱控制策略的研究20世纪60年代，自动控制理论发展达到了一个较高的水平，当时经典的控制概念受到了新兴的现代控制理论的挑战。不管哪种控制理论研究和应用是以被控对像的数学模型为前提的。在现代控制理论的研究中，往往要求系统的数学模型具备特定的形式，以适合理论分析的需要。然而，在获得这些模型的研究中，却产生了如何确定被控对象的数学模型的各种困难，理论和实际应用之间出现了断层。尽管“理论”上能够提出一个控制问题的最优解，但在如何实现这个控制的过程中，需要对被控系统的动态特性给予一个合适的数学描述。在本文中选用实验建模法推导数学模型。PID控制是最早发展起来的控制策略之一，由于其算法简单、鲁棒性好和可控性高，被广泛应用于工业过程控制，尤其适用于可建立精确数学模型的确定性的确定性系统。而实际工业生产过程往往具有非线性、时变不确定性，难以建立精确的模型，应用常规PID控制器不能达到理想的控制效果；在实际生产现场中，由于受到参数整定方法繁杂的困扰，常规PID控制器参数往往整定不良、性能欠佳，对运行工况适应性差。针对这些问题，伴随着现代控制理论应用发展与深入，许多新型的PID控制器应运而生。本文将基于遗传算法的两种PID控制应用于单容水箱控制系统，就是对新型PID控制应用的一种尝试。1.3 本文研究课题过程控制广泛应用于石油、化工、冶金、炼焦、造纸、建材、陶瓷以及热力发电等工业生产中。例如，锅炉是火电厂中生产蒸汽的设备，保持锅炉锅筒内的水位高度在规定范围内是非常重要的，如水位过低，锅炉可能被烧干;水位过高，生产的蒸汽含水量高，水还可能溢出;这些都是不允许的。于是，如何有效控制锅炉的水位就显得尤为重要。本文的重点就放在研究如何在以单容水箱为平台的系统中实验建模、和遗传控制算法。随着科学技术的发展，各门科学的研究方法逐渐趋向定量化，人们在生产实践和科学实验中，对所研究的对象通常要求通过观测和计算来定量地判明其内的规律，为此必须建立研究对象的数学模型，从而进行分析、设计、预测、控制的决策。由此提出了实验建模的问题。实验建模与控制是密不可分的。在实验建模的基础上，我们将控制理论用在单容水箱平台上，通过参数的优化整定过程，我们将二者有机的结合起来。本课题是在实验室环境下，针对单容水箱这一实验平台，将实验建模法应用其上，然后在此模型基础上应用相应的PID控制规律，观察其控制效果，以小见大，来验证在过程控制中，这种新兴的基于遗传算法来寻优的PID控制器的控制效果。文的主要目的是通过对遗传算法的学习，将其应用在PID参数整定上。本课题的控制对象为实验室过程控制装置单容水箱。本文主要借鉴了06级师姐王晓静的论文中以下两个方面的内容:l、为确保硬件设备正常运行并取得良好的实验结果，本文通过仿真实验确定了三容水箱硬件系统各部件参数和整体结构，三容水箱实验系统的设计构建为理论研究和实验教学提供了良好的被控对象及实验条件。2、开展基于三容水箱系统的系统建模和仿真研究。主要内容包括：根据实验数据确定比例阀门和泄流阀门的实际流量特性，通过机理建模法和实验建模法建立水箱系统典型对象的传递函数模型，并依据模型精度评价指标对所建的传递函数模型进行评价。本文研讨了以下几个方面的内容：1. 在论文的第三章介绍了遗传算法的基础理论，从系统进化论的角度阐述了遗传算法产生的生物遗传学背景，回顾了遗传算法发展的历史，总结了遗传算法的特点。2、开展基于三容水箱系统的控制策略研究。主要内容为PID控制理论和快速PID控制理论的研究。在系统模型已知后，接下来设计的任务主要集中在控制器设计上，控制器的设计历来都具有多维、非线性等特点，即性能指标与控制器的参数之间是一个复杂的多维非线性函数。在大多数情况，该函数的封闭表示式难以获得。因此基于性能指标的设计方法的应用有较大的困难，本文针对遗传PID控制算法的不足，研究了基于自适应遗传算法，在此基础上进一步研究基于自适应遗传算法的改进快速PID控制算法。通过仿真及实际试验，结果表明改进算法在液位控制过程中能够获得良好的控制效果，极大地提高了控制性能。3.在论文的最后一部分，对所做的工作进行了总结与后期工作。第二章 三容水箱系统简介及数学模型2.1 三容水箱系统的总体结构及工作原理2.1.1 三容水箱试验系统的总体结构图2-1 三容水箱系统总体结构图三容水箱液位控制系统由水箱主体、检测元件、增压泵、溢流阀、比例流量阀、数据采集卡及计算机构成，总体结构图如图2-1所示。水箱主体由3个圆柱型玻璃容器(Tankl(T1)、Tank2(T2)和Tank3(T3)、1个储水箱、2个连通阀门(LV2、LV4)、3个泄水阀门(XVl、XV3、XV5)、2个比例电磁阀、2个增压泵、2个溢流阀和连接部件组成。实验台工作时，增压泵抽出储水箱内的水，通过两个比例电磁阀注入容器T1和T3，容器内的水再通过XVl、XV3和XV5排入储水箱，这样就构成了一个封闭的回路。图2-2是本文所设计的三容水箱实验台实物图。通过各阀门开关状态的不同组合，可组成各阶控制对象和不同的控制系统，以下仅对单入单出一阶系统作分析。图2-2 三容水箱试验台实物图2.1.2 三容水箱试验台控制结构的组成 图2-3 三容水箱实验系统的控制结构图三容水箱实验系统的控制结构如图2-9所示，其组成的各个部分简单介绍如下：(1)控制器，由计算机软件实现，主要实现各种控制算法，如增量式PID控制算法、模糊PID控制算法等；(2)执行机构，包括水泵、比例电磁流量阀及其控制器、溢流阀等。比例电磁阀负责向实验台的玻璃容器注水，通过控制比例阀的输入电压可改变其出口流量，进而达到控制容器内液位高度的目的；溢流阀起到保证整个系统压力的安全性作用。(3)被控对象为三容水箱，被控量为圆柱型玻璃容器内的液位高度hl。(4)测量元件，为三个应变式压力传感器，用来测量各容器内的液位高度值。(5)AD、DA接口，通过数据采集卡的AD转换功能将把传感器采集的模拟电压信号转换成计算机可识别的数字信号，同时通过此数据采集卡的DA转换功能，将设定的数字电压信号转换成相应的模拟电压信号传送给比例电磁阀，从而调节进水流量，执行各种控制算法。2.1.3 单入单出一阶对象的结构打开阀门XVl同时芙闭其它手动阀门，通过比例电磁阀1对容器T1供水。以比例电磁阀l的流量为输入，以水箱Tl的液位高度hl为输出即构成单入单出一阶系统对象，一阶对象的结构如图2-4所示。 图2-4 一阶对象结构图2.2 三容水箱系统的特点三容水箱系统是有较强代表性和工业背景的对象，具有非常重要的研究意义和价值，主要是因为它具有如下特点：(1)通过改变各个阀门的关闭或打开状态可构成灵活多变的对象，如一阶对象、二阶对象或双入多出系统对象等；(2)三容水箱系统是典型的非线性、时延对象，所以可对其进行非线性系统的辨识和控制等的相关研究：(3)三容水箱系统可构造单回路控制系统、串级控制系统、复杂过程控制系统等，从而对各种控制系统的研究提供可靠对象；(4)由于对三容水箱系统的控制主要通过计算机来完成，所以，可由计算机编程实现各种控制算法来对水箱系统进行控制，为控制算法的研究提供了良好的试验平台；(5)可以在控制过程中随时改变泄水阀门的状态，从而模拟故障的发生，这也为故障诊断的研究提供了研究对象和试验平台。2.3 实验建模法推导三容水箱系统的数学模型时域法建模是实验建模的一种，可分为阶跃响应曲线法和矩形脉冲响应曲线法，由于阶跃信号容易获得且对象特性的测定方法较多，所以本文主要采用阶跃响应曲线法。即给被控对象施加阶跃信号，测定其阶跃响应曲线，然后根据曲线的特征参数，求出被控对象的传递函数。本文直接引用06级师姐王晓静的论文中一阶对象的分段线性化模型式【1】（3-18）：式（2-1）根据一阶对象的分段线性化模型式(2-1)，本文采用阶跃响应切线法【2】分别测量稳定液位高度在60mm至1lOmm、1lOmm至210mm、210mm至3lOmm之间的数学模型。现以平衡工作点在180mm时的对象为例进行说明。当容器T1内的液位高度稳定在182mm时，对比例流量阀施加1000mV的阶跃信号，得到图2-5所示阶跃响应曲线，图中曲线最终稳定液位h()=268 mm。图2-5一阶对象阶跃响应曲线图根据此曲线，发现此对象是一阶惯性加纯滞后环节，其传递函数形为：式（2-2）其中的特征参数有三个：增益K、时间常数T(s)、延迟时间T(s)对于一阶惯性加纯滞后环节的特征参数可采用切线法测定其特征参数。阶跃输入幅值为1000mV，阶跃响应的初始值和稳态值分为y(0)=182 mm和y()=268mm，则K值可用下式求取:式（2-3）则有： 式（2-4）为了求得T和之值，在图2-5所示的拐点C处作切线，它与时间轴交于A点(2s)，与响应稳态值渐近线交于D点，再由D点向时间轴引垂线，并与时问轴交于B(36s)点。则有：式（2-5）对平衡液位在其他液位高度的对象利用阶跃响应法进行实验，观察其阶跃响应曲线均发现该对象是一阶惯性加纯滞后环节，同样利用上述方法测量其特征参数，整理得到如式(2-6)所示的数学模型。液位高度与输入电压问的传递函数模型： 式（2-6）根据式(2-1)，可推出液位高度与输入流量之间的传递函数为：式（2-7）式(2-6)和(2-7)中，hl是一阶系统的液位高度；是比例流量阀的输入流量：U是比例流量阀的输入电压。由上述分析可知，该响应时间常数为34s，则调整时间为136s，故该系统为惯性系统。2.4 系统的性能分析系统框图如下：图2-6 系统框图由于系统的方框图可知系统传递函数：式（2-8）开环传递函数如下：式（2-9）闭环传递函数如下：式（2-10）用Pade近似法处理纯滞后环节。1892年法国数学家提出了一种用有理分式近似表示纯滞后环节的方法，称为Pade近似法。MATLAB中调用pade函数，用pade的某阶展开式取代纯滞后环节，这样的处理可以降低系统分析和设计的计算量。Pade有理式的阶次越高（一般4次即可）、纯滞后时间越小，近似效果越好。调用格式如下：num,den = pade(T,N) %求纯滞后时间为T的N阶Pade有理分式sysx = pade(sys,N) %将系统sys中的所有纯滞后环节用N阶Pade展开式近似在这里我选择第二种调用格式处理传递函数，在命令窗口输入如下命令：sys=tf(0.086,34,1,outputDelay,2);%一阶惯性延时环节传递函数sysx=pade(sys,4)Transfer function: 0.086 s4 - 0.86 s3 + 3.87 s2 - 9.03 s + 9.03-34 s5 + 341 s4 + 1540 s3 + 3615 s2 + 3675 s + 105则（式325）可以近似用式（326）代替：式（2-11）假设图示系统水位处于180mm稳定状态，先要将水位调到270mm，在MATLAB中编写程序【3】仿真该过程：sys=tf(0.086,34,1,outputDelay,2);%一阶惯性延时环节传递函数sysb=pade(sys,4);%用Pade近似法处理纯滞后环节y,t=step(sysb);plot(t,180+90*y);结果如下：图2-7 系统阶跃响应图根据图2-7控制曲线及程序运行工作空间相关数据编写程序,可以得到表2-1的各个性能指标：表2-1 未加控制器的系统仿真性能指标性能指标数据最大液位高度ymax（mm）187.1266超调量（%）/峰值时间tp（s）/上升时间tr（s）/稳定时间ts（s）/稳态误差（mm）82.8734由图2-7与表2-1可知，该闭环系统存在稳态误差，而且很大，与预期目标相差很大。故系统需要校正，即在系统中增加新的环节，以改善系统的性能。2.5 本章小结本章借签了06级师姐王晓静论文中的结果。先从总体上介绍了三容水箱系统的硬件结构以及其工作原理和一阶对象，并对该对象控制回路进行了理论分析。在此基础上，应用实验建模的方法分析构建了三容水箱一阶对象的数学模型，并且进一步分析了系统的可控性与可观性。这为以后利用三容水箱液位控制系统进行控制算法的设计和研究奠定了基础。第三章 基于三容水箱系统的PID控制算法研究相位超前环节、相位滞后环节及相位滞后-超前环节都是无源校正环节。这类校正环节结构简单，但本身没有放大作用，而且输入阻抗低，输出阻抗高。当系统要求较高时，常常采用有源校正环节。其中，按偏差的比例（Propoutional）、积分（Intergral）和微分（Derivative）进行控制的PID调节器（PID校正器）是应用最为广泛的一种调节器。PID调节器已经形成了典型结构，其参数整定方便，结构灵活（P、PI、PD、PID等），在许多工业过程中获得了良好的效果。对于那些数学模型不易精确求得、参数变化较大的被控对象，采用PID调节器也往往能得到满意的控制效果。PID控制在经典控制理论中技术成熟，自20世纪30年代末出现的模拟式PID调节器，至今仍在非常广泛的应用。今天，随着计算机技术的迅速发展，用计算机代替模拟式PID调节器，实现数字PID控制，使其控制作用更灵活、更易于改进和完善。3.1 PID控制原理简介PID控制器问世至今已有近70年历史，它以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其他技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。即当我们不完全了解一个系统和被控对象，或不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，最适合用PID控制技术。PID控制，实际中也有PI和PD控制。PID控制器就是根据系统的误差，利用比例、积分、微分计算出控制量进行控制的。在模拟控制系统中，控制器中最常用的控制规律是PID控制。模拟PID控制系统原理框图如图3-1所示。系统由模拟PID控制器和被控对象组成。图3-1 模拟PID控制系统原理框图 PID 控制器是一种线性控制器，它根据给定值rin(t)与实际输出值yout(t)构成控制偏差，即： 式（3-1） PID 的控制规律为： 式（3-2）或写成传递函数的形式为： 式（3-3）式中，kp为比例系数；为积分时间常数；为微分时间常数，积分系数，微分系数计算公式如下。，式（3-4）简单说来，PID 控制各校正环节的作用如下： 比例环节：成比例地反映控制系统的偏差信号error(t)，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。比例系数Kp越大，控制作用越强，系统的动态特性也越好，动态性能主要表现为起动快，对阶跃设定跟随得快。但对于有惯性的系统，Kp过大时会出现较大的超调，甚至引起系统振荡，影响系统稳定性。 比例控制虽然能减小偏差，却不能消除静态偏差。 积分环节：主要用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分时间常数，越大，积分作用越弱，反之则越强。但积分控制不能及时地克服扰动的影响。 微分环节：反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减少调节时间，并且有助于减小超调，克服振荡，从而提高系统稳定性，但不能消除静态偏差。3.2 基于Z-N的算法实现计算机控制是种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量。因此连续PID控制算法不能直接使用，需要采用离散化方法。在计算机PID控制中，使用的是数字PID控制器。3.2.1 数字PID控制算法简介l 位置式PID控制算法按模拟PID控制算法，以一些列的采样时刻点kT代表连续时间t,以矩形法数值代替积分，以一阶向后差分近似代替微分。该算法要求计算机存储各个取样时刻的偏差，对内存的要求较高。l 增量式PID控制算法该算法是基于位置式PID控制算法，在它的基础上作了稍稍改变，不需要累加，仅存储前几取样时刻的u值与偏差，所以误动作时影响小，而且较容易通过加权处理获得比较好的控制效果。在计算机控制系统中，PID控制是通过计算机程序实现的，因此它的灵活性很大。一些原来在模拟PID控制器中无法实现的问题，在引入计算机以后，就可以得到解决，于是产生了一些列的改进算法，形成非标准的控制算法，以改善系统品质，满足不同控制系统的需要。l 积分分离PID控制算法在普通PID控制中，引入积分环节的主要目的是为了消除静差，提高控制精度。但在过程的启动、结束或大幅度增减设定时，短时间内系统输出有很大的偏差，会照成系统输出有很大的偏差，会照成PID运算的积分积累，致使控制量超过执行机构可能准许的最大动作范围对应的极限控制量，引起系统较大的超调，甚至引起系统较大的振荡，这在生产中是绝对不准许的。积分分离控制基本思路是：当控制量与设定值偏差较大时，取消积分作用，以免由于积分作用使系统稳定性降低，超调量增大；当被控制量与设定值相接近时，引入积分控制，以便消除静差，提高控制精度。l 梯形积分PID控制算法在PID控制中积分项的作用是消除余差，为了减小余差，应提高积分项的运算精度，为此可将矩形积分改为梯形积分。梯形积分的计算公式： 式（3-5） 综上所述，位置式PID控制算法因为要累加偏差，不仅要占用较多的存储单元，而且不便于编写程序。另外增量式PID控制算法没有顾及水位的调整初始阶段较大偏差，矩形积分的运算精度可以满足实验要求，而积分分离PID控制算法包括了增量式PID控制算法中小内存的优点。所以本文选用积分分离PID控制算法。3.2.2 积分分离PID控制算法积分分离PID控制系统的框图如图4-3所示，图中所示系统是典型的单位负反馈控制系统。其中，PID控制算法即为增量式PID控制算法，主要由计算机编程实现,控制器的输出电压经采集卡的DA转换后，传递给实验台的执行机构，控制液位高度的变化。图3-2 PID控制系统框图由于本文所论述的被控对象中yout(t)只是离散时刻的取样值，故PID也应当是离散的控制器。所以将式（3-2）变换成差分方程，以一些列的采样时刻点代替连续时间t,以矩形法数值代替积分，以一阶向后差分近似代替微分，即：式（3-6） 为了表述方便，将error(k)记为e（k）。可得离散PID表达式：式（3-7）上述两式中为采样周期，k为采样序号，k=1,2，error(k-1)和error(k)分别为第（k-1）和第k时刻所得的偏差信号。以后为了简写，将error(k)用e(k)来表示，其它的类似处理。由式（3-6）可看出，该控制算式不够方便，这是因为要累加偏差。不仅要占用较多的存储单元，而且不便于编写程序，为此可对式（3-6）进行改进。根据递推原理可得：式（3-8） 其中e（k-2）为第（k-2）时刻的偏差信号。将式（3-6）减去式（3-7），即得增量式PID控制算式： 式（3-9） 式（3-10） 可见增量式PID算法只需要保留3个时刻的偏差值，即可由式(3-9)和(3-10)求出控制增量。积分分离控制基本思路是：当控制量与设定值偏差较大时，取消积分作用，以免由于积分作用使系统稳定性降低，超调量增大；当被控制量与设定值相接近时，引入积分控制，以便消除静差，提高控制精度。其具体实现步骤如下：（1） 根据实际情况，人为设定阀值0。（2） 当|error（k）|时，采用PD控制，可避免产生过大的超调，又使系统有较快的响应。（3） 当|error（k）|时，采用PID控制，以保证系统的控制精度。 基于增量式 积分分离控制算法可表示为：式（3-11）式（3-12）式中项为积分项的开关系数式（3-13）3.2.3 基于Z-N整定法的Kp、Ki、Kd控制参数整定在第二章的数学模型测定中，单容水箱系统在110-270mm液位高度的测量模型精度较高，所以在此选用式(3-13)为被控对象对其进行控制。式（3-14）对于典型的PID控制器：式（3-15）有Ziegler-Nichols整定公式【4】：式（3-16）其中，Kp为比例系数，Ti为积分时间常数，Td为微分时间常数，K为被控对象的增益，即K=0.086，T为被控对象的时间常数，即T=34 s，T为被控对象的延迟时间，即T=2 s。本试验控制中采样周期Ts=03s【1】，从而根据式(3-16)式（3-4）确定积分式PID控制器的参数分别为：根据积分分离式PID 控制算法得到其程序框图如图3-3所示：其程序如下：ts=0.3s;%取样时间sys=tf(0.086,34,1,outputdelay,2);dsys=c2d(sys,ts,z);num,den=tfdata(dsys,v);u_1=0;u_2=0;u_3=0;u_4=0;u_5=0;u_6=0;u_7=0;u_8=0;y_1=0;beta=0.6;x=0,0,0;error_1=0;error_2=0;for k=1:1:1000 time(k)=k*ts; rin(k)=90.0; kp=237.209; ki=17.791; kd=790.698; du=kp*x(1)+kd*x(2)+ki*x(3); u(k)=u_1+du; if u(k)=10000 u(k)=10000; end if u(k)=30 x(3)=beta*error; else x(3)=error; end error_2=error_1; error_1=error;end 图3-3 积分分离式PID控制算法程序框图rin=rin+180;yout=yout+180;plot(time,rin,b,time,yout,r);xlabel(time(s);ylabel(rin,yout);else x(3)=error; end error_2=error_1; error_1=error;endrin=rin+180;yout=yout+180;plot(time,rin,b,time,yout,r);xlabel(time(s);ylabel(rin,yout);运行结果如下：图3-4积分分离PID算法的水箱系统仿真控制曲线根据图3-4控制曲线及程序运行工作空间相关数据编写程序,可以得到表3-1的各个性能指标：可以得到表3-1的各个性能指标：表3-1 增量式积分分离PID算法仿真控制性能指标性能指标数据最大液位高度ymax（mm）278.0392超调量（%）2.98峰值时间tp（s）26.7上升时间tr（s）13.8稳定时间ts（s）15.6稳态误差（mm）0由表3-1可以看出，采用积分分离PID算法，超调量稍大，稳定时间较长。值得注意的是保证引入积分作用后，系统的稳定性不变，在输入积分作用时比例系数Kp可进行相应变化外，值应根据具体对象及要求而定，若过大，则达不到积分分离的目的；若过小会导致无法进入积分区。如果只进行PD控制，会使控制出现余差。在这里，仿真效果不大理想的原因是取值不合理。若调整值，仿真效果会得到改善。3.3 基于遗传算法的PID控制的设计3.3.1 遗传算法简介遗传算法(Genetic Algorithm，简称GA)是一种基于进化论优胜劣汰、适者生存的物种遗传思想的搜索算法。本世纪50年代初，由于一些生物学家尝试用计算机模拟生物系统，从而产生了GA的基本思想。美国密执根大学的霍勒德（J.H.Holland）于70年代初提出并创立了遗传算法。遗传算法作为一种解决复杂问题的崭新的有效优化方法，近年来得到了广泛的实际应用，同时也渗透到人工智能、机器学习、模式识别、图像处理、软件技术等计算机学科领域。GA在机器学习领域中的一个典型应用就是利用GA技术作为规则发现方法应用于分类系统。 遗传算法将个体的集合群体作为处理对象，利用遗传操作交换和突变，是群体不断“进化”，直到成为满足要求的最优解对于一个求函数最大值的优化问题(求函数最小值也类同)，一般可描述为下述数学规划模型:式（3-17）式中，为决策变量，f(X)为目标函数，式(1一2)、(1一3)为约束条件，U是基本空间，R是U的一个子集。满足约束条件的解X称为可行解，集合。R表示由所有满足约束条件的解所组成的一个集合，叫做可行解集合。对于上述最优化问题，目标函数和约束条件种类繁多，有的是线性的，有的是非线性的;有的是连续的，有的是离散的;有的是单峰值的，有的是多峰值的。随着研究的深入，人们逐渐认识到在很多复杂情况下要想完全精确地求出其最优解既不可能，也不现实，因而求出其近似最优解或满意解是人们的主要着眼点之一。总的来说，求最优解或近似解的方法主要有三种:枚举法、启发式算法和搜索算法。(1)枚举法。枚举出可行解集合内的所有可行解，以求出精确最优解。对于连续函数，该方法要求先对其进行离散化处理，这样就有可能产生离散误差而永远达不到最优解。另外，当枚举空间比较大时，该方法的求解效率比较低，有时甚至在目前最先进的计算工具上都无法求解。(2)启发式算法。寻求一种能产生可行解的启发式规则，以找到一个最优解或近似最优解。该方法的求解效率虽然比较高，但对每一个需要求解的问题都必须找出其特有的启发式规则，这个启发式规则无通用性，不适合于其它问题。(3)搜索算法。寻求一种搜索算法，该算法在可行解集合的一个子集内进行搜索操作，以找到问题的最优解或近似最优解。该方法虽然保证不了一定能够得到问题的最优解，但若适当地利用一些启发知识，就可在近似解的质量和求解效率上达到一种较好的平衡。随着问题种类的不同，以及问题规模的扩大，要寻求到一种能以有限的代价来解决上述最优化问题的通用方法却仍是一个难题。而遗传算法却为我们解决这类问题提供了一个有效的途径和通用框架，开创了一种新的全局优化搜索算法。遗传算法中，将n维决策向量用n个记号所组成的符号串X来表示： 把每一个，看作一个遗传基因，它的所有可能值称为等位基因，这样，X就可看成是由n个遗传基因所组成的一个染色体。一般情况下，染色体的长度n是固定的，但对一些问题n也可以是变化的。根据不同的情况，这里的等位基因可以是一组整数，也可以是某一范围类的实数值，或者是纯粹的一个记号。最简单的等位基因是由0和1这两个整数组成的，相应的染色体就可表示为一个二进制符号串。这种编码所形成的排列形式X是个体的基因型，与之对应的X值是个体的表现型。通常个体的表现型和基因型是一一对应的，但有时也允许基因型和表现型是多对一的关系。染色体X也称为个体X，对每一个个体X，要按照一定的规则确定出其适应度。个体的适应度与其对应的个体表现型X的目标函数值相关联，X越接近目标函数的最优点，其适应度越大;反之，其适应度越小。遗传算法中，决策变量X组成了问题的解空间。对问题最优解的搜索是通过对染色体X的搜索过程来进行的，从而由所有的染色体X就组成了问题的搜索空间。生物的进化是以集团为主体的。与此相对应，遗传算法的运算对象是由M个个体所组成的集合，称为群体。与生物一代一代的自然进化过程相类似，遗传算法的运算过程也是一个反复迭代过程，第t代群体记做P(t)，经过一代遗传和进化后，得到第(t+1)代群体，它们也是由多个个体组成的集合，记做P(t+1)。这个群体不断地经过遗传和进化操作，并且每次都按照优胜劣汰的规则将适应度高的个体更多地遗传到下一代，这样最终在群体中会得到一个优良的个体X，它所对应的表现型X将达到或接近于问题的最优解。生物的进化过程主要是通过染色体之间的交叉和染色体的变异来完成的。与此相对应，遗传算法中最优解的搜索过程也模仿生物的这个进化过程，使用所谓的遗传算子作用于群体P(t)中，进行上述遗传操作从而得到新一代群体P(t+1)。3.3.2 基于遗传算法PID参数整定的算法设计选择、交叉和变异是遗传算法的三个主要操作算子，它们构成了所谓的遗传操作，使遗传算法具有了其它传统方法所没有的特性。遗传算法中包含了如下5个基本要素(l)参数编码;(2)初始群体的设定;(3)适应度函数的设计;(4)遗传操作设计;(5)控制参数的设定(主要是指群体大小和使用遗传操作的概率等)。这5个要素构成了遗传算法的核心内容。遗传算法的基本处理流程如图3-5所示。图3-5 遗传算法的基本流程框图从图可以看出，遗传算法的运行过程为典型的迭代过程，其必须完成的工作内容和基本步骤如下:(一) 确定每个参数的大致范围和编码长度，进行编码、解码l 确定每个参数的大致范围遗传算法的搜索空间是以Ziegler-Nichols法获得结果为中心，向左右两边拓展而形成的，这样可以充分利用Z一N法的合理内核，减少遗传算法搜索时间。如果参数的优化解十分靠近搜索空间的边界，还要在该解的基础上进一步拓展空间，进行新一轮搜索。综上所述，其目标函数为:minJ;约束条件:式（3-18）其中，PM，GM系统相位裕度和增益裕度;，系统允许的最小相位裕度和增益裕度。分别为Z-N整定法计算的PID参数。由3.2.3节 Kp、Ki、Kd控制参数整定知道：。取为0.6【5】，则式（3-19）l 编码编码是应用遗传算法时要解决的首要问题，也是设计遗传算法时的一个关键步骤。编码方法影响到交叉算子、变异算子等遗传算子的运算方法，大很大程度上决定了遗传进化的效率。迄今为止人们已经提出了许多种不同的编码方法。总的来说，这些编码方法可以分为三大类：二进制编码法、浮点编码法、符号编码法。下面我们从具体实现角度出发介绍其中的几种主要编码方法。1. 二进制编码方法：它由二进制符号0和1所组成的二值符号集。它有以下一些优点： 1) 编码、解码操作简单易行 2) 交叉、变异等遗传操作便于实现 3) 符合最小字符集编码原则 4) 利用模式定理对算法进行理论分析。 二进制编码的缺点是：对于一些连续函数的优化问题，由于其随机性使得其局部搜索能力较差，如对于一些高精度的问题（如上题），当解迫近于最优解后，由于其变异后表现型变化很大，不连续，所以会远离最优解，达不到稳定。而格雷码能有效地防止这类现象 2. 格雷码方法： 格雷码方法是这样的一种编码方法，其连续两个整数所对应的编码值之间仅仅只有一个码位是不同的。格雷码编码的主要优点是：1) 便于提高遗传算法的局部搜索能力2) 交叉、变异等遗传操作便于实现3) 符合最小字符集编码原则4) 便于利用模式定理对算法进行理论分析由于二进制编码基本上达到精度要求，而且便于遗传操作。故选择二进制编码。其编码方法：用长度为10位的二进编码串分别表示三个决策变量Kp、Ki、Kd。10位二进制编码串可以表示从0