点与圆的位置关系 东村中学梁素军.docx

24.2.1点和圆的位置关系 教学目标 1理解并掌握设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外dr；点P在圆上d=r；点P在圆内dr 点P在圆上d=r 点P在圆内dr点P在圆外；如果d=r点P在圆上；如果dr 点P在圆上d=r点P在圆内dr 这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据 下面，我们接下去研究确定圆的条件： （学生活动）经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆 （1）作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？ （2）作圆，使该圆经过已知点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？ （3）作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上），你是如何做的？你能作出几个这样的圆？ 老师在黑板上演示：（1）无数多个圆，如图1所示 （2）连结A、B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A、B的距离都相等，都满足条件，作出无数个其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示 (1) (2) (3) （3）作法：连接AB、BC； 分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；以O为圆心，以OA为半径作圆，O就是所要求作的圆，如图3所示在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A、B、C三个点的距离相等（中垂线上的任一点到两边的距离相等），所以经过A、B、C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆 即：不在同一直线上的三个点确定一个圆 也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心 下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆 证明：如图，假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线L1，又在线段BC的垂直平分线L2，即点P为L1与L2点，而L1L，L2L，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾所以，过同一直线上的三点不能作圆 上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立这种证明方法叫做反证法 在某些情景下，反证法是很有效的证明方法 例1某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心 分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心 作法：（1）在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段； （2）作两线段的中垂线，相交于一点 则O就为所求的圆心 三、巩固练习 教材，练习1、2、3、4 四、应用拓展例2如图，已知梯形ABCD中，ABCD，AD=BC，AB=48cm，CD=30cm，高27cm，求作一个圆经过A、B、C、D四点，写出作法并求出这圆的半径（比例尺1：10） 分析：要求作一个圆经过A、B、C、D四个点，应该先选三个点确定一个圆，然后证明第四点也在圆上即可要求半径就是求OC或OA或OB，因此，要在直角三角形中进行，不妨设在RtEOC中，设OF=x，则OE=27-x由OC=OB便可列出，这种方法是几何代数解 作法分别作DC、AD的中垂线L、m，则交点O为所求ADC的外接圆圆心_l_m_B_A_C_E_D_O_F ABCD为等腰梯形，L为其对称轴 OB=OA，点B也在O上 O为等腰梯形ABCD的外接圆 设OE=x，则OF=27-x，OC=OB 解得：x=20 OC=25，即半径为25m 五、归纳总结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握：1 点和圆的位置关系：设O的半径为r，