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三角形重心性质定理湖北省黄石市下陆中学宋毓彬1三角形重心性质定理课本原题（人教八年级数学下册习题19.2第16题）在ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？（提示：作BO中点M，CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND）分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习重心）。这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成12两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。证法1：（根据课本上的提示证明）取GA、GB中点M、N，连接MN、ND、DE、EM。（如图1）MN是GAB的中位线，MNAB，MN=AB又ED是ACB的中位线，DEAB，DE=ABDEMN，DE=MN，四边形MNDE是平行四边形GM=GD，又AM=MG，则AG=2GD同理可证：CG=2GF，BG=2GE点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。证法2：延长BE至F，使GF=GB，连接FC。G是BF的中点，D是BC的中点GD是BFC的中位线，GDFC，GD=FC由GDFC，AE=CE，易证AEGCEFAG=FC，即GD=AG点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。证法3：取EC中点M，连DM，利用平行线分线段成比例及E是AC中点可证得相同的结论。（证明过程略）2.三角形重心性质定理的应用求线段长例1如图3所示，在RtABC中，A=30，点D是斜边AB的中点，当G是RtABC的重心，GEAC于点E，若BC=6cm，则GE=cm。解：RtABC中，A=30，BC=6AB=BC=12，D是斜边AB的中点，CD=AB=6G是RtABC的重心，CG=CD=4由CD=AD，A=30，GCE=30RtGCE中，GCE=30，CG=4，GE=CG=2（cm）求面积例2在ABC中，中线AD、BE相交于点O，若BOD的面积等于5，求ABC的面积。解：O是ABC的重心，AOOD=21SAOBSBOD=21即SAOB=2 SBOD=10SABD= SAOB+ SBOD=10+5=15又AD是ABC的中线 SABC=2 SABD=30。练习：1.如图5，ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG=。2.如图6，在ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若ABC的面积为6cm2，则CGD的面积为。作者简介：宋毓彬，男，45岁，中学数学高级教师。在中学数学教学参考、中学生数学、数理天地、数理化学习、数理化解题研究、语数外学习、中学课程辅导、数学周报、数学辅导报、数理报
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