孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物.doc

23. （2011广东株洲，24，10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得（如图1），求的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BFx轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标【答案】解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点， ，AOB=90，AC=OC=BC=2，B(2，-2)， 将B(2，-2)代入抛物线得，. （2）解法一：过点A作AEx轴于点E，点B的横坐标为1，B (1，)， . 又AOB=90，易知AOE=OBF，又AEO=OFB=90，AEOOFB， AE=2OE， 设点A（，）（m0），则OE=m，m=4，即点A的横坐标为-4. 解法二：过点A作AEx轴于点E，点B的横坐标为1，B (1，)， AOB=90，易知AOE=OBF，AE=2OE， 设点A（-，）（m0），则OE=m，m=4，即点A的横坐标为-4. 解法三：过点A作AEx轴于点E，点B的横坐标为1，B (1，)， 设A（-，）（m0），则， AOB=90，解得：m=4，即点A的横坐标为-4. （3）解法一：设A（，）（m0），B（，）（n0），设直线AB的解析式为：y=kx+b， 则，(1)n+(2)m得， 又易知AEOOFB，mn=4，.由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2），（说明：写出定点C的坐标就给2分）解法二：设A（，）（m0），B（，）（n0），直线AB与y轴的交点为C，根据，可得，化简，得. 又易知AEOOFB，mn=4，OC=2为固定值.故直线AB恒过其与y轴的交点C（0,-2）说明：mn的值也可以通过以下方法求得.由前可知，由，得：，化简，得mn=4.24. （2011江苏连云港，25，10分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y=2x上.(1)求a的值；(2)求A,B两点的坐标;(3)以AC,CB为一组邻边作ABCD,则点D关于x轴的对称点D是否在该抛物线上?请说明理由.【答案】解：(1)二抛物线的顶点坐标为，x=1,顶点在直线y=-2x上，所以y=-2,即顶点坐标为（1，-2），-2=-1+a,即a=-4;(2)二次函数的关系式为，当y=0时，解之得：，即A（-1，0），B（3，0）；（3）如图所示：直线BD/AC,AD/BC,因为A(-1.0),C(0,),所以直线AB的解析式为,所以设BD的解析式为,因为B(3,0),所以b=,直线BD的解析式为:,同理可得:直线AD的解析式为:,因此直线BD与CD的交点坐标为:(2,),则点D关于x轴的对称点D是(2,-),当x=2时代入得,y=,所以D在二次函数的图象上.25. （2011四川广安，30，12分）如图9所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD= 90，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-10），B( -1.2)，D( 3.0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到O/V，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N。（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P使得PA= PC若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与x轴的另个交点为E点Q是抛物线的对称轴上的个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值。ABCDOENMxy图9【答案】（1）解：由题意可得M（02），N（-32） 解得：y=（2）PA= PC P为AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过（-1