公理集合论.doc

1公理集合论axiomatic set theory用形式化公理化方法研究集合论的一个学科。数理逻辑的主要分支之一。19世纪70 年代 ，德国数学家 G.康托尔给出了一个比较完整的集合论，对无穷集合的序数和基数进行了研究。20世纪初，罗素悖论指出了康托尔集合论的矛盾。为了克服悖论，人们试图把集合论公理化，用公理对集合加以限制。第一个常用的公理系统是E.F.F.策梅洛和A.A.弗伦克尔等提出的ZF系统。这个系统中只有一个非逻辑二元关系符号，非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理模式、替换公理模式、正则公理 。如果加上选择公理就构成ZFC系统 。利用公理可以定义出空集、序对、关系、函数等集合，还可以给出序关系、良序关系、序数、基数，也可以给出自然数、整数、实数等概念。集合论中有关集合的性质，在公理集合论中都可以得到证明。公理系统中还可以证明公理之间的相对和谐性和独立性，例如 P.J.科恩于 1960 年创立公理集合论中的力迫法 ，并用来证明ZFC与连续统假设CH独立。公理集合论发展很快，马丁公理、苏斯林假设等新公理新方法已被广泛使用，组合集合论、描述集合论、大基数、力迫法的研究已经渗透到数学的各个分支。 集合论公理系统 (ZF1) 外延公理 一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素，则它们是相等的。 (ZF2) 空集合存在公理：即存在一集合s，它没有元素。 (ZF3) 无序对公理：也就是说，任给一集合x，存在第三个集合z，而z的元素恰好有两个，一个是x，一个是y (ZF4) 并集公理：也就是说，任给一集合x，我们可以把x的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合 (ZF5) 幂集公理：也就是说，任意的集合x，P（x）也是一集合 (ZF6) 无限公理：也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素 (ZF7) 替换公理：也就是说，对于任意的公式A（x，y），对于任意的集合t，当x属于t时，都有y，使得A（x，y）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得对于所有的x属于t，在集合s中都有一元素y，使A（x，y）成立。也就是说，由A（x，y）所定义的有序对的类的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中。 (ZF8) 基础公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。 (AC) 选择公设 对任意集 c 存在以 c 为定义域的选择函数 g, 使得对 c 的每个非空元集 x. g(x) 属于x ZF集合公理系统加上AC就成为ZFC公理系统 注：ZF 为 Zermelo 及 Fraenkel2公理化方法编辑本段什么是公理化方法随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。 公理化是一种数学方法。最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理(如两点之问可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理” (如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特(David Hilbert)在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。他认为每一种数学理论部应以“基本概念公理定理” 的模式来建立：这里的公理是作为理论出发点的科学假设，它们要求有完备性(任何定理可由此导出)，独立性(去掉其中之一有的定理就不能成立)和相容性(公理问是无矛盾的),但公理本身也由人们作各种解释。20世纪以来，整个数学几乎都巳按希尔伯特的漠式得到公理化处理。 编辑本段公理化方法的应用发展经济学中的公理化方法从30年代起就有了应用，但对经济学有决定性影响的则是德布鲁(GDebreu)的经典著作:价值理论：经济均衡的一种公理化分析在这一公理化分析中的基本概念是：商品空问、价格体系，消费者和生产者。由此又可导出需求、供给、可达状态、经济均衡等概念。然后，再对各个抵念作出明确的数学规定，即公理，这包括一些最基本的前提假设。 供求双方的相互作用通过价格机制来间接完成，最终价格使经济中对立的、变动的力量达到一种力量相当、相对静止、不再变动的境界，实现了所有市场参与者的最大化和供求相等的状态，印市场出清了。这是由公理出发证明的一般均衡存在的定理。 德布鲁以后，公理化方法已渗入到经济学的各个领域，它的优点首先在于能够使经济学中的“公理” 与“定理” 严格区分开来。侧如，认为完全竞争与认为不完全竞争就是陌条不同的“公理”，它们导出的“定理” 自然有所不同，但应该争论的是“公理”，而不应是“定理”，“公理”上的分歧是观念问题 因此，一般均衡存在定理虽然是划分学派的重要标准，是经济自由主义与国家干预主义的分界线，但是在经济学中， 对市场出清定理的分歧是源于公理上的分歧，集中体现了两派在基本观念上的分歧。 公理化方法的重要应用之一是利用形式逻辑建立学科理论知识的关系。关于形式逻辑在会计基本理论发展中的作用,利奥施密特教授曾做过有益的探索。他提出, 演绎逻辑是“通过显示讨论中的某一现象是一种公认判定的特定例证或应用,从而形成结论的过程。公认判定在专业上称为大前提,特征事实的表述则称为小前提。”而且,他还尝试着列举了三个会计方法中的大前提以及如何运用三段论式的演绎方法表述存货计价的方法。他在研究中将演绎的方法引入会计学,具有一定的学术价值。但其中仍存在一些不足:他仅仅看到在会计师的日常工作中的确存在着一些观念性的公认的前提,而他们所做出的判定又往往是基于某种前提的暗示,但是对于这种暗示的实质并没有加以揭示。而且,他没有具体解释这些前提在会计基本理论结构中的地位、作用以及理论本身发展所可能遵循的途径。他的观点还停留在对会计活动的直观感受上,而尚未将其与公理学以及数理逻辑的研究成果相结合,上升为一种系统化的理性熟悉,因此也没能指出会计学演绎方法的本质。 编辑本段数学公理化方法在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念和一组不加证明的公理出发，用纯逻辑推理的法则，把该系统建立成一个演绎系统的方法，就是公理化方法。它是随着数学和逻辑学的发展而产生的。公元前6世纪前后，希腊数学家泰勒斯（Thales)开始了几何命题的证明，开辟了几何学作为证明的演绎科学的方向。毕达哥拉斯学派的欧多克斯于公元前4世纪在处理不可通约量时，建立了一公理为依据的演绎方法。爱奥尼亚学派的芝诺（Zeno）在论辩术中运用了归谬法。伯拉图阐明了许多逻辑原则。亚里士多德在其著作分析篇中，对公理方法作了系统总结，指出了演绎证明的逻辑结构和要求，从而奠定了公理化方法的基础。公元前3、4世纪之交，希腊数学家欧几里德在总结前人积累的几何知识基础上，把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，运用他所抽象出的一系列基本概念和公理，完成了传世之作几何原本，标志着数学领域中公理化方法的诞生。由于几何原本在第五公设的陈述和内容上复杂而累赘，引起人们对这一公设本身必要性的怀疑。在此后的2000多年间，人们试图给出一个第五公设的证明，但所有的尝试都失败了。19世纪，俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基吸取前人失败的教训，从反面提出问题，给出了一个新的公理体系，创立了非欧几何学。这是公理化方法的进一步发展。1899年，德国数学家希尔伯特在前人工作的基础上，著几何基础一书，解决了欧氏几何的欠缺，完善了几何公理化方法，创造了全新的形式公理化方法。为了避免在数学中出现悖论，希尔伯特认为要设法绝对的证明数学的无矛盾性，致使他从事“证明论的研究”，于是希尔伯特又把公理化方法推向一个新阶段，即纯形式化发展阶段，这就产生了纯形式公理化方法。几何学的公理化，成为其它学科及分支的楷模。相继出现了各种理论的公理化系统，如理论力学公理化，相对论公理化，数理逻辑公理化，概率论公理化等。同时，纯形式公理化方法推动了数学基础的研究，并为机算机的广泛应用开阔了前景。 3编辑本段第五公设同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。第五公设又称为平行公设，可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。 长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。 有些数学家还注意到欧几里得在几何原本一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在几何原本中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。 因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。 由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？ 到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。 但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论： 第一，第五公设不能被证明。 第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。 这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。 编辑本段第五公设的等价公设在试图证明第五公设的正确性的过程中，不少数学家提出了与第五公设的等价公设，即这些公设在逻辑上与第五公设互为充要条件，因此证明这些公设也等于证明了第五公设。在这些替代公设中，最著名的有以下四个： 普罗克洛斯公理：如果一条直线与两条平行线中的一条相交，也必定与另一条平行线相交。 等距公设：两条平行线之间距离处处相等。普莱费尔公设：经过已知直线外一点，可以作一条，而且只能作一条与已知直线平行的直线。 三角形公设：三角形三个内角和等于180度。4描述集合论描述集合论（Descriptive set theory）是数学中数理逻辑、集合论的一个分支。在这一分支中，研究的对象是波兰空间中的“表现良好”的子集合。数学家们将子集合依照其在拓扑上定义的复杂程度分成波莱尔集（Borel 集）、解析集、投射集等以及更细的分类，并且依照这些类别研究他们的结构以及性质。描述集合论的起源可以上溯到波莱尔（Borel）、贝尔（Baire）、勒贝格（Lebesegue） 等人的工作。以上这些内容通常又被称为“经典描述集合论”，与之相对应的是所谓的“能行描述集合论”（Effective descriptive set theory）。能行描述集合论结合了描述集合论和一般递归论的方法，得到了一系列与经典描述集合论平行的结果。从中得到的一些经典的定理，目前还没有找到不借助于递归论方法的证明。描述集合论的许多理论和观念与数学上的其它领域都有关连，包含数学分析、实分析、泛函分析、拓扑群论等等。5波兰空间在数学中，波兰空间是指“可分可完备距离化空间”。具体说，就是一个这样的拓扑空间，它拥有一个可数稠密子集可分性；并且，它还同胚于一个完备距离空间。波兰空间这个名称来自于最初的研究者雪平斯基（Sierpiski），库拉妥斯基（Kuratowski），塔斯基（Tarski）等人。在当代数学中，波兰空间研究主要集中在描述集合论中。常见的波兰空间的例子如：实直线，有限维空间，巴拿赫空间，康托集，贝尔空间等。一个波兰空间X的子集合A仍然是波兰空间的充分必要条见是：A能够表示成X中一列开集的交集。因此，开区间(0,1)，无理数全体等，做为实直线的子集，都仍然是波兰空间。6巴拿赫空间巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。从外尔斯特拉斯K.(T.W.)以来人们久已十分关心闭区间ab 上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在19世纪末G.阿斯科利就得到ab 上一族连续函数之列紧性的判断准则后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。1909年里斯F.(F.)给出 01上连续线性泛函的表达式这是分析学历史上的重大事件。还有一个极重要的空间那就是由所有在01上 次可勒贝格求和的函数构成的 空间(1<p < )。在19101917年人们研究它的种种初等性质其上连续线性泛函的表示则照亮了通往对偶理论的道路。人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间并且引进全连续算子的概念。当然还该想到希尔伯特空间。正是基于这些具体的生动的素材巴拿赫S.与维纳N.相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念并且在不到10年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着多方面应用的理论。 Banach空间完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。是用波兰数学家巴拿赫(Stefan Banach ）的名字命名的。 巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建立了其上的线性算子理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩-巴拿赫延拓定理，巴拿赫-斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要价值。 巴拿赫空间是一种赋有长度的线性空间，大多数都是无穷空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。同时也是泛函分析研究的基本对象之一。里斯。F在1909年就给出了0，1上连续线性泛函的表达式。所以，连续线性泛函的表示是巴拿赫空间的一种初等性质。7拓扑空间拓扑空间topological space赋予拓扑结构的集合。如果对一个非空集合X给予适当的结构，使之能引入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就称为拓扑，具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。下面介绍开集系方法。在微积分学中，实一维欧几里得空间R上的开集具有性质：任意个开集的并是开集 。有限个开集的交是开集。R及空集是开集。对任一非空集合X，若X的一个子集族J满足：J中元的任意并在J中。J中元的有限交在J中。X、在J中，则称J是X的一个拓扑，J中的元称为开集，X连同拓扑J称为一个拓扑空间，记为（X，J）。对任意xX，如果Z的子集U包含含有x的一个开集则U称为x的一个邻域。如果X的子集A满足XA是开集，则称X是闭集。设X是非空集合，令J0X，称（X，J0）为平庸拓扑空间，J0为平庸拓扑。令J1AAÌX，称（X，J1）为离散拓扑空间。在离散拓扑空间中任意子集均是开集。对实数集R1，令JBÌR1xG，0，使（x，x）ÌG，则（R1，J）就是一维欧几里得空间。类似地可定义n维欧几里得空间Rn。设X是拓扑空间，如果X可写为非空开集的分离并，则X称为连通空间；如果对X中任意两点 ，存在X中的道路相连接，则称X为道路连通空间 ；如果X的任意开集作成的覆盖存在有限子覆盖 ，则称X为紧空间；如果X中的任意序列有收敛子列，则称X是列紧空间 ；如果X中任意两点都存在不相交的邻域 ，则称X是豪斯多夫空间（或T2空间）。上面所提连通性，道路连通性、紧性、列紧性、T2性均是拓扑不变性。连通空间上的实值连续函数具有介值性，即若fXR1连续，X是连通空间，r（f（x1），f（x2），则存在c（x1，x2）（或c（x2，x1），使f（c）r。紧空间上的实值连续函数具有最大值、最小值。紧空间上的连续函数一致连续。若AÌRn，则A为紧，当且仅当A是有界闭集。8实直线数学上，实数轴就是实数的集合 R。然而，这一术语通常在 R 被当作某种空间（诸如拓扑空间，向量空间）的时候使用。尽管至少早在古希腊时代，人们就开始研究实数线，但直到1872年，它才被严格地定义。而自始至终，它一直是在数学的许多分支中扮演重要角色的实例。定义实数线具有一个标准拓扑，它可以通过两种等价的方法引入。第一，实数满足全序关系，它们具有序拓扑。 第二，实数能够通过绝对值 d(x,y): = | y x | 的度量转换到度量空间。这一度量给出 R 上等价于序拓扑的拓扑。 作为拓扑空间，实数线是个 1 维的拓扑流形。 它既是可缩空间、局部紧致空间，也是仿紧致空间、第二可数空间。 它还具有标准可微结构，使它成为可微流形。 （由于可微同构，该拓扑空间只支持一个可微结构。） 事实上，R 是历史上研究这些数学结构的第一个实例，它启示了现代数学这些分支。 （实际上，上述这些术语中的其中一些在没有 R 的情况下甚至不能被定义。）作为向量空间，实数线是实数域 R（即其自身）上的 1 维向量空间 它具有标准内积，使它成为欧几里德空间。 （这个内积就是普通的实数的乘法。） 作为向量空间，它并不引起注意。实际上是 2 维欧几里德空间首先被作为向量空间进行研究的。 然而，仍然可以说，由于向量空间首先是在 R 上进行研究的，它启示了线性代数。R 也是环，甚至是域的主要实例。 实数完备域实际上是第一个被研究的域，所以它也启示了抽象代数。 然而，在纯代数文献中，R 几乎不被称为“线”。9距离空间距离空间（metric space），它是一种拓扑空间，其上的拓扑由指定的一个距离决定。设一X是一个非空集，X被称为距离空间，是指在X上定义了一个二元实值函数满足一下三个条件:1)（非负性）p(x,y)=0,而且的充要条件是x=y；2)（对称性）p(x,y)=p(y,x)；3)（三角不等式）p(x,z)=p(x,y)+p(y,z) 对于任意的X中的x,y,z都成立。这里p叫做X上的一个距离，以p为距离的距离空间记作（X，p）.10数学分析数学分析(Mathematical Analysis)是数学专业的必修课程之一，基本内容是微积分，但是与微积分有很大的差别。微积分学是微分学(Differential Calculus)和积分学(Integral Caculus)的统称，英语简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis)，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。早期的微积分，由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间内得不到发展。柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为理论基础的极限理论，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科，被称为“Mathematical Analysis”，中文译作“数学分析”。数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。 数学分析课程是一门面向数学类专业的基础课。学好数学分析（和高等代数）是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。数学分析出于对微积分在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。 我们立足于培养数学基础扎实，知识面宽广，具有创新意识、开拓精神和应用能力，符合新世纪要求的优秀人才。从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决定于他进大学伊始能否将数学分析这门课真正学到手。 本课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，微积分理论从其产生之日起就显示了巨大的应用活力，所以在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。111908年，策梅罗采用把集合论公理化的方法来消除罗素悖论。他的著名论文关于集合论基础的研究是这样开始的：“集合论是这样一个数学分支，它的任务就是从数学上以最为简单的方式来研究数、序和函数等基本概念，并借此建立整个算术和分析的逻辑基础；因此构成了数学科学的必不可少的组成部分。但是在当前，这门学科的存在本身似乎受到某种矛盾或者悖论的威胁，而这些矛盾和悖论似乎是从它的根本原理导出来的。而且一直到现在，还没有找到适当的解决办法。面对着罗素关于所有不包含以自己为元素的集合的集合的悖论，事实上，它今天似乎不能再容许任何逻辑上可以定义的概念集合或类为其外延。康托尔原来把集合定义为我们直觉或者我们思考的确定的不同的对象做为一个总体。肯定要求加上某种限制，虽然到现在为止还没有成功地用另外同样简单的定义代替它，而不引起任何疑虑。在这种情况下，我们没有别的办法，而只能尝试反其道而行之。也就是从历史上存在的集合论出发，来得出一些原理，而这些原理是作为这门数学学科的基础所要求的。这个问题必须这样地解决，使得这些原理足够地狭窄，足以排除掉所有的矛盾。同时，又要足够地宽广，能够保留这个理论所有有价值的东西。” 在这篇文章中，策梅罗实行的计划，是把集合论变成一个完全抽象的公理化理论。在这样一个公理化理论中，集合这个概念一直不加定义，而它的性质就由公理反映出来。他不说什么是集合，而只讲从数学上怎样来处理它们，他引进七条公理：决定性公理(外延公理)、初等集合公理(空集公理、单元素公理、对集公理)、分离公理、幂集公理、并集公理、选择公理、无穷公理(稍稍改变一下原来形式)。实际上策梅罗的公理系统Z(公理1至7)把集合限制得使之不要太大，从而回避了比如说所有“对象”，所有序数等等，从而消除罗素悖论产生的条件。策梅罗不把集合只简单看成一些集团或集体，它是满足七条公理的条件的“对象”，这样排除了某些不适当的“集合”。特别是产生悖论的原因是定义集合的所谓内函公理组，如今已换成弱得多的分离公理组。 策梅罗首次提出的集合论公理系统，意义是非常重大的。但是，其中有许多缺点相毛病。比如：公理3的确定性质的含义并不清楚，他的公理没有涉及逻辑基础，选择公理有许多争议等等。后来经许多人加以严格处理及补充，才成为严格的公理系统，即ZF或ZFS系统。其中Z代表策梅罗，F代表弗兰克尔，S代表斯科兰姆。这里面特别是有斯科兰姆和弗兰克尔进行的改进。但是一般的ZF中往往不包括选择公理，如果加进选择公理则写为ZFC(AC是Axiom of Choice的缩写，有时简写为C) 策梅罗的公理系统发表之后，遭到各方面的批评。特别是斯科兰姆1922年在8月份在赫尔辛基召开的第五届斯堪的纳维亚数学家大会上做了公理化集合论的报告，他对策梅罗公理系统提出了八点评： 1、为了讨论集合，我们必须从对象“域”开始，也就是用某种方法构成的域；2、策梅罗关于确定的命题要有一个定义使得它精确化；3、在所有完全的公理化中，集合论的概念不可避免地是相对的；4、策梅罗的公理系统不足以提供通常集合论的基础；5、当人们打算证明公理的无矛盾时，谓语句所引起的困难；6、对象域B的不唯一性；7、数学归纳法对于抽象给出的公理系统的必要性；8、选择公理的问题。 另一方面，许多人对策梅罗公理集合论提出许多改进意见。首先Z太狭窄不足以满足对集合论的合法需要，有许多集合不能由它产生出来，也不能够由此造出序数的一般理论和超穷归纳法。为了弥补这个缺陷，弗兰克尔加进一个公理组即代换公理。另外，弗兰克尔还把公理以符号逻辑表示出来，形成了现在通用的ZF系统。 一般认为经过弗兰克尔改进的策梅罗集合论公理系统，再加上选择公理是足够数学发展所需的，但是还需要加一条限制性的公理，即除了满足这些公理的集合之外没有其他的集合。采取这样一个公理是出于一个悖论的启发，这个悖论最初是法国数学家米里马诺夫在1917年提出的。这个悖论涉及所谓基础集合，为了排除这种集合，冯诺依曼引进公理9(基础公理)，从而消除了上述悖论。 这样定义的集合论(ZF)中，虽说与连续统假设有关的“幂集公理”不留下疑点，但正因为不包含有很多问题的“选择公理(AC)”，所以纯粹性很高。虽然至今还不能给出ZF集合论的无矛盾性的证明,可是它已经没有必须大书特书的难点了。 常用的集合论公理系统除了ZF之外，还有由冯诺依曼开创并由贝耐斯、哥德尔加以改进、简化的集合论公理系统NBG系统(有时简称为BG系统，N代表冯诺依曼，B代表贝耐斯，G代表哥德尔)。 大数学家冯诺依曼在他年青的时候，开辟了公理化集合论的第二个系统。他第一个主要的数学研究就是重新考虑策梅罗弗兰克尔对于集合论的公理化。在他的博士论文中论述了一般集合论的公理构造，这篇论文是他1925年用匈牙利文写的。但是他后来在两篇重要文章中用德文发表了其中主要的思想，一篇是集合论的一种公理化，另二篇是集合论的公理化。第一篇文章中他给出了自己的公理化体系，在第二篇文章中他详细地证明了怎样由他的公理系统导出集合论。 冯诺依曼的处理方法是策梅罗公理化的推广。原来的理论基本上保持了下来，但是形式有所变化。表面看来新公理和旧公理非常不一样，但是主要是使用的语言有所变化。通常表示集合论的语言有两种，一种是集合和它的元素的语言，一种是函数及其变项的语言，这两种语言是等价的。 策梅罗用的主要是集合的语言，不过他也隐含地用函数的语言。而在弗兰克尔改进的理论里，这点就更加明显。冯诺依曼选用的语言完全与策梅罗相反，他一开始就用变项和函数来叙述他的公理。但是策梅罗弗兰克尔和冯诺依曼两个公理系统主要差别还不是语言的问题，而是如何在朴素集合论中排除悖论的方式。在策梅罗弗兰克尔系统中，是通过限制集合产生的方式来达到这个目的的，他们把集合只限制在对于数学必不可少的那些集合上。但是从冯诺依曼看来，这样施加限制有点不必要地过分严格，使得数学家在论证过程中失掉一些有时有用的论证方式，而这些论证方式似乎是没有恶性循环的。于是冯诺依曼采取一个比策梅罗弗兰克尔更广的概念，而同时却消除任何产生悖论的危险。 按照冯诺依曼的想法，悖论的产生也许是因为过大的总体所引起，更准确来讲，就相当于所有集合的集合，所以冯诺依曼就觉得只要让这类总体成为元素，就可以避免悖论。 在冯诺依曼的公理系统中，悖论是通过下面的方法来避免的；承认有两种类型的类，即集合和固有类。集合可以是其他类的成员，而固有类则不容许是其他类的成员。在这个公理系统中，我们就有三个原始概念：集合，类，属于关系。所以NBG中的定理不一定是ZF中的定理，不过可以证明ZF中的每个合适公式在ZF中可证明当且仅当在NBG中可证明。这样看来NBG是ZF的一个扩充，数学家可以根据自己不同的需要来选用自已认为方便的公理系统。比如哥德尔是在NBG公理系统中考虑选择公理及广义连续统假设的相对无矛盾性，而科亨则是在ZF公理系统中考虑选择公理及连续统假设的独立性。除了这两个最重要的集合论公理系统之外，还有好几个公理系统，但是它们的用途远不如ZF和NBG系统了。 尽管集合论公理系统建立起来，并得到广泛承认，但仍然存在许多问题，例如：不可达基数和序数是不是存在？；连续统假设是否能够证明；公理系统的协调性和独立性，。从三十年代之后，为了解决这些问题，公理集合论掀开了新的一页。 第四章：哥德尔的发现意想不到的结果 在数理逻辑的历史上，哥德尔的工作起着承前启后的作用。1928年希尔伯特在意大利波伦那召开的国际数学家大会上提出的四个问题，很快就被哥德尔原则上解决了。尤其是他的不完全性定理，把人们引向一种完全不同的境界，从此数理逻辑开始了一个新的时代。 在这之前，数学家期望数学有一个既广阔又严格的基础，在这个基础上数学家可以放心地去干他们愿意干的事。哥德尔的不完全性定理使这种想法破灭了。悖论所造成的危机虽然可以暂时回避，然而想从原则上一揽子解决是毫无希望的。从此之后，数学家只满足于使用集合论一些最简单的结果，而对更深入的数理逻辑与数学基础问题则不那么关心注意了。 同时，由于哥德尔在证明中发展的一些技术，也使数理逻辑成为一门具有自己独立技术和方法的数学分支。现在的数理逻辑，不管是公理集合论、模型论还是证明论、递归论都已经变得十分专门。就象代数拓扑学、算子代数、随机过程等学科，对于非本行专家来说，简直是难以理解的。12公理集合论数理逻辑的主要分支之一,是用公理化方法重建(朴素) 集合论的研究以及集合论的元数学和集合论的新的公理的研究。E.F.F.策梅洛于1908年首开先河，提出了第一个集合论公理系统，旨在克服集合论中出现的悖论，20世纪20年代A.A.弗伦克尔和A.T.斯科朗曾予以改进和补充，从而得到常用的策梅洛-弗伦克尔公理系统,简记为 ZF。ZF 是一个形式系统，建立在有等词和属于关系“”的一阶谓词演算之上。它的非逻辑公理有:外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离（子集）公理模式、替换公理模式、正则（基础）公理。如果另加选择公理(AC)则所得到的公理系统简记为ZFC（见集合论公理系统）。 已经证明：ZF对于发展集合论是足够的，它能避免已知的集论悖论，并在数学基础的研究中提供了一种较为方便的语言和工具。 在ZF中，诸如有序对、关系、等价关系、线序、良序、函数、自然数、有理数、实数及其运算、顺序等等都可以定义。也就是说，几乎所有的数学概念都能用集论语言表达。数学定理也大都可以在 ZFC系统内得到形式证明。因而作为整个数学的基础（至多范畴论例外），ZFC 是完备的。数学的协调性（无矛盾性）可以归结成ZFC的协调性。 序数与替换公理如果一集合 x的元素的元素也都还是x的元素,则称x为传递集。一个集合x是自然数：如果x是传递集，x的全体元素在下良序,而且x的每一非空子集对序而言有最大元。这样可以把自然数变成了在ZF内可以定义的一种性质，如把0定义作空集，1定义作00,2定义作11等等，则0,1,2,，都是自然数，而且只有这些是自然数。 序数是自然数的推广。 “x是序数”是指如果集合x是传递集,而且x在下良序。令On表示全体序数所成的集合,On,。这样，就用定义了序数间的 关系，每一序数都是由比它自身小的序数所组成的集合。 每一自然数都是序数,全体自然数0,1,2,也是序数。对任一集合x，令s(x)=xx。则当x是序数时，s(x)亦为序数。一序数称作后继序数:如果有一序数，使s()。不是后继序数的序数称为极限序数，例如0, 均为极限序数。 On虽为一真类,但具有性质:On的任一非空子类都有最小元。因此，要想证明每一序数都具有性质 ，即可应用超限归纳原理：对于任给的一序数 ,若每一比小的序数都具有性质 则亦具有性质 ,那么对所有的序数都具有性质 。 在定义序数运算（加、乘、幂）时，需要用超限递归定理：若G是一运算,则有一运算F,使得对每一序数，都有F()=G(F)。而这一定理的证明要用到替换公理。有了替换公理还可以得到极限序数+的存在性。如果先将正整数从小排到大，再把非正整数从大排到小而成一序列：1,2,3,0，-1,-2,。从而全体整数就良序了，其序型即为 。 事实上，任一良序集，,都有惟一的序数使得w，序同构于，。因此，就可以把良序集按序同构来分类，并将同属于一类的称为具有同一序型的良序集。而序数就可定义作为同构的良序集的代表。依此，可以定义序数的运算。例如，序数的加法可以定义如下:若,为序数，为极限序数 0=,s()s(),(),即用关于的超限归纳原理来定义+。同样地可以定义序数的积. 和幂,以及相应的运算性质,如结合律等。 可以证明：替换公理是独立于其他公理的。 基数与正则公理正则公理与其他公理不同，它不是断言某些集合的存在，而是限制一些集合的存在。提出它是为了研究ZF的模型。在ZF中可定义的数学对象都不以自身为元素；也未发现有集合x,y, 具有xy并且yx的性质或者集合序列x1,x2,满足:。1917年 D.米里马诺夫首先提出良基集的概念。1922年弗伦克尔在策梅洛原来的公理系统补充了一条公理名曰限制公理，顾名思义,它是给出某种限制,以排除那些非良基集。1925年J.冯诺伊曼，