从阳马和鳖臑谈起.doc

安徽省界首第一中学 router从阳马和鳖臑谈起目前的中学数学课程，要求学生理解及运用角锥、圆锥及球体的体积公式.可惜一般教科书都集中讨论这些体积公式的运用 ,对如何理解这些公式却甚少着墨.本文以阳马和鳖臑为题，分享如何运用数学发展史、实物及计算机模拟，透过摺纸、模型实验、及动态几何软件，和学生一起体验及推导角锥的体积，从而增强学生对这些公式的理解及欣赏 .往昔对修读历史满怀误解.随着岁月和年纪的增长，对数学发展史的兴趣日浓，越读越是欣赏古人教人拜服的智慧和巧妙的思路，他们能运用仅有的基础数学知识去解决许多既艰难又实际的生活问题 阳马 ( y ng m ) 和鳖臑 ( bi n o ) 是中国古人对一些特殊锥体的称谓.取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三角柱体，称为堑堵 ( qi n d )，其体积 ( U ) 是长方体体积 ( V ) 的一半 .再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四角锥和三角锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四角锥，称为阳马.余下的三角锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑 .鳖臑堑堵阳马让我们先来制作这两个模型，然后进一步对阳马和鳖臑作仔细的观察.制作方法是首先给 a ， b ， c 设定合适的长度，然后绘画纸样 ,加上贴边 ( 纸口 ) 后剪出摺合便完成了 你懂得绘画他们的纸样吗 ?下图是纸样的其中之一 沿虚线以谷线或山线摺叠起来所得的模型有甚么异同 ? 阳马的体积 ( S ) 和鳖臑的体积 ( T ) 又有甚么关系 ? 对我们来说，可运用锥体体积公式直接计算求解.但请想一想，那时候的人对锥体体积公式仍毫不知晓，他们又怎样找出答案呢？ 九章算术 ( The Nine Chapters on theMathematical Art ) 是我国一本经典的数学著作. 刘徽 ( Liu Hui ) 注 九章时于第五章 : 商功( Shang Gong : Construction Consultations ) 有这样的载述 : “ 邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑 阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.” 意思是S : T 2 : 1.究竟他是怎样求得 S : T 之比呢？刘徽采用的是无穷分割 / 合拼法.现在让我们循着九章的注释做个小实验吧 .下面的两个纸样，白色的是阳马，灰色的是鳖臑 ( 刘徽采用的分别是黑色和红色 )，纸样上粗线条显示了刘徽的切割刀痕 .剪出并沿虚线以山线摺合，观察它的粗线，你明白刘徽的割法吗？ 鳖臑被分割成几份？ 是些甚么立体 ？ 这般剖割又如何帮助我们找出 S : T 2 : 1 之比呢？以 U i 、 V i 、 S i 、 T i 分别表示剖割第 i 次所得的小堑堵 、 小长方体 、 小阳马及小鳖臑的体积，原来的阳马和鳖臑被剖割后的结果如下 :S 1 个小长方体 2 个小堑堵 2 个小阳马 V 1 2U 1 2S 1 2V 1 2S 1T 2 个小堑堵 2 个小鳖臑 2U 1 2T 1 V 1 2T 1重覆将小阳马和小鳖臑按相同的手法剖割下去，结果会怎样 ？S/T (2V 1 2S 1)/(V 1 2T 1)第一次切割 （2V 1 2 2V 2 2 2S 2）/(V1 2V 2 2 2T 2)第二次切割 第 n 次切割按此规律，每多割一次，分子和分母末项的改变为考虑相邻两式末项递减比 :刘徽的描述是 : “ 若为数而穷之，置余广袤高之数各半之，则四分之三又可知也.半之弥少，其余弥细.至细曰微，微则无形.由是言之，安取余哉.” 微分和极限的概念跃现于纸上.设身处地把我们置于他的年代里 ,数学仍处于发展的初期，他的表达委实令人赞叹！ 换个角度去想，基于今天我们对相似立体图形的认识，小阳马 ( S 1 ) 和小鳖臑 ( T 1 ) 的体积分别是原来阳马和鳖臑的八分之一 .即 S : T = 2 : 1 真好 ， 这样的思路就连初中的同学也可以轻而易举地理解，从另一角度去欣赏刘徽的割法！凸多面体总可以被分割为三角锥.确立了 S : T = 2 : 1 的关系，T 13U ， 便是随之而来的自然推断 鳖臑只是一类特殊的三角锥 ， 刘徽没有详尽地讨论一般三角锥体体积 求 法 ， 大概是基于实用的原因吧 鳖臑是水中爬行动物的肩胛骨 ； 阳马是房屋四角承担的长桁条 这些形状都是古代数求体积经常遇上的问题 刘徽对长方体的研究可以推广至平行六面体 ( parallelepiped 底面为平行四边形的角柱体 ) 吗 ？ T 13U 可以由鳖臑推广至一般的三角锥吗 ？ 除此之外还有别的方法吗 ？无独有偶 ， 古希腊数学家欧几里德Euclid) 的 几何原本 (Elements) 内卷 12 命题 3 ， 4 和 7 亦同样论及类似问题 里面亦有微分和极限的概念 ， 描述虽然不及刘徽注解 九章 的细致 ， 但于求三角锥体体积方面却提出了另一简洁易明的剖割方法 ， 很值得我们细心阅读 视像 (visualization) 有助我们理解立体图形的特征 ， 适切地运用摺纸和计算机模拟 / 动画对几何学习有莫大的帮助 Cabri 3D 和Mathematica 都能制作有效的教学软件 ， 辅助学生学习 下面提供一些可用的软件例子 ， 详情于工作坊里交待 Six Square Pyramids牟合方蓋 布施知子的 立体盒子 亦提供很多立体的趣味摺纸方法 ， 其中引述 Thoki Yenn 摺阳马的方法更别具创意 篇幅所限 ， 这里不再赘述 从先哲古贤身上学习的岂止是智慧思考 ， 触动我们更深的是刘徽于失落时候的谦逊态度 求解牟合方盖 (double umbrella/double box-lid) 体积时他明显遇上挫折 ， 刘徽这样叙述 ： “ 观立方之内 ， 合盖之外 ， 虽衰杀有渐，而多少不掩 判合总结 ， 方圆相缠 ,浓纤诡互 ， 不可等正 欲陋形措意 ， 惧失正理 ， 敢不阙疑 ， 以俟能言者 ” Wagner D B 称这段文字为数学家的遗憾 (The GeometersFrustration) ， 且将它翻译成英诗 ：Look inside the cubeAnd outside the box-lid ；Though the diminution increases ，It doesnt quite fit The marriage preparations are complete ；But square and circle wrangle ，Thick and thin make treacherous plots ，They are incompatible I wish to give my humble reflections ，But fear tha