正定中学11届一轮复习学案 二项式定理、概率.doc

今天和明天之间有一段很长的时间，趁你还有精神的时候，学习迅速办事。歌德高二下学期数学巩固复习学案二二项式定理、概率一、二项式定理1 二项式定理：，其中组合数叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在的展开式中，第r+l项的二项式系数为，第r+l项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？例1（1）的展开式中常数项是_；（2）的展开式中的的系数为_ ；（3）数的末尾连续出现零的个数是_（答：3）；(4)展开后所得的的多项式中，系数为有理数的项共有_项；(5)若的值能被5整除，则的可取值的个数有_个；(6)若二项式按降幂展开后，其第二项不大于第三项，则 的取值范围是 ；(7)函数的最大值是_。2 二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当时，二项式系数C的值逐渐增大，当时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第1项）的二项式系数取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第和1项）的二项式系数相等并同时取最大值。例2（1）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为_；（2）在的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则_。（3）二项式系数的和：；。例3（1）如果，则 ；（2）化简。3 赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为、“奇数 (偶次)项”系数和为，以及“偶数 (奇次)项”系数和为。例4（1）已知，则等于_；（2），则_；（3）设,则_。4 系数最大项的求法：设第项的系数最大，由不等式组确定。例5求的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。5 二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。例6（1）(0.998)5精确到0.001近似值为_；（2）被4除所得的余数为_；（3）今天是星期一，10045天后是星期_；（4）求证：能被64整除；（5）求证：二、概率 (一)基本概型1 随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作。事件A的概率的范围：,不可能事件的概率为0，其中必然事件的概率为1(不可能事件和必然事件可看成随机事件的极端情况)。2 等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。如果一次试验中可能出现的结果有n个（即此试验由n个基本事件组成），而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率都是,这样的事件叫做等可能性事件。如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率。例7抛掷一枚骰子，求向上的点数是奇数的概率。在此问题中，把骰子抛掷一次，就是一次试验，可能出现的结果有6种，每一种结果都是一个基本事件，在这个试验中，共有6个基本事件，即n6。事件A就是“向上的点数是奇数”，它包含3个结果，即m3。所以。3 互斥事件有一个发生的概率：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。A的对立事件记为(若A、B为对立事件，则A与、与、与B也是对立事件。想一想，为什么？能举例说明吗？)。如果事件A、B互斥，那么事件AB发生（即A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即对立事件的概率和等于1,即 , 由此可得到例8一个坛子中放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，一个黄球。把“从中摸出一个球，得到红球”叫做事件A，“从中摸出一个球，得到绿球”叫做事件B，“从中摸出一个球，得到黄球”叫做事件C。那么事件A、B就是互斥事件，A、B、C是彼此互斥事件，AB表示A、B中有一个发生，即“从中摸出一个球，得到红球或绿球”。于是，例9一个坛子中有10个大小相同的小球，其中有7个红球，3个绿球。把“从中摸出一个球，得到红球”记为事件D，把“从中摸出一个球，得到绿球”记为事件E。那么事件D、E就是对立事件。于是4 相互独立事件同时发生的概率事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。事件A、B同时发生，记作AB。两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即.例10甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个黑球，2个白球，从这两个坛子里分别摸出一个球，它们都是白球的概率是多少？把“从甲坛子里摸出一个球，到白球”记为事件A，“从乙坛子里摸出一个球，得到白球”记为事件B，则事件A、B是相互独立事件。“从这两个坛子里分别摸出一个球，它们都是白球”就是事件，于是。5 独立重复试验在同样的条件下，重复地，多次之间相互独立地进行的一种试验称为独立重复试验，重复n次称为n次独立重复试验。每次试验都只有对立的两种结果：即某事件要么发生要么不发生如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率。例11某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他射击4次恰好击中3次的概率是多少？这个射手射击4次，因为各次射击之间没有影响，所以这就是4次独立重复试验。恰好击中3次，就是击中目标这件事恰好发生了3次，于是(二)基本方法：1 求某事件的概率时，要先判断概率的类型，再确定用哪种公式求概率；2 公式给出了求一个事件的概率的重要方法间接法。当直接求事件A的概率比较困难，而它的对立事件的概率容易求时，可用这个公式求解。例12100件产品中有5件次品，从中任取10件，求其中至少有1件次品的概率。直接求解较繁，用间接法方便。设“从中任取10，其中至少有1件次品为”为事件A，则其对立事件为：“从中任取10，没有次品”，其概率为，所以3 有些较为复杂的事件，可分解为几个相互独立事件或几个互斥事件，再求它们的概率。4 要善于用排列、组合的知识和方法求事件数。（三）练习题1 甲、乙两人独立地解决一道数学题，已知甲能解对的概率为，乙能解对的概率为，那么这道数学题被得到正确解答的概率为 （）2 口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列an满足：如果为数列的前n项和，那么的概率为（ ）A B C D3 若，现从集合中任取两个不同的元素，则的概率为（ ）A B C D 4 袋中有个白球，个黑球，袋中有个白球，个黑球，从两袋中各取球交换后，求袋中仍有个白球的概率。 5 掷三颗骰子，试求：（1）没有一颗骰子出现1点或6点的概率；（2）恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率。6 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率（2）按比赛规则甲获胜的概率7 甲、乙两个队比赛,采用“五局三胜制”。经验表明，甲胜的概率为，乙胜的概率为。（1）求打四局，甲胜的概率；（2）前两局甲、乙各胜一局，求再打两局决出胜负的概率。8 有5个人，每个人都被等可能地分到8个房间中任意一间去住，求下列事件的概率：（1）指定的5个房间各有一人住；（2）恰好5个房间，其中各住一人；（3）某指定的房间中恰好3个人住。9 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球、2个白球；乙袋装有2个红球、n个白球。现从甲、乙两袋中各任取2个球。（1） 若n3，求取到的4个球全是红球的概率；（2） 若取到的4个球全是红球的概率为，求n。10 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下表：预防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6费用（万元）90603010预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施.在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.11 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率12 某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响.（）求5个工厂均选择星期日停电的概率；（）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率.参考答案：例1 （1）14；（2）330；（3）3；（4）7。例2 （1）426；（2）17、18或19。例3 （1）128；（2）。例4 （1）；（2）2004；（3）。