湖北省部分重点中学2012届高三奥赛班调研测试卷 专题二 导数部分 命题人：张小柔 审定人：章晓峰.doc

湖北省部分重点中学2012届高三奥赛班调研测试卷（二）数学（文史类）专题二 导数部分命题人：张小柔 韩 非 赵晓玲 石 岗 魏 民审定人：代 郜 买 林 吴 鸣 钱倩倩 孙 悟参编人员： 章晓峰 李 向 周 敏 郭仁俊 党 圣胡同游 严万民 石 斌 冯小亮 蒋 灵祝考试顺利导数是文科生研究函数的单调性，求函数极（最）值等的重要工具之一，导数是历来高考的必考点.导数对文科生来说，在课标中增加了三角函数，指数，对数函数等的导数，导数在文科高考中必须引起重视. 导数在历来高考中一般在一个小题、一个大题中出现.难度值控制在0.50.8之间.考试要求 了解导数概念的实际背景,理解导数的概念及其几何意义；了解函数的单调性与导数的关系,会求函数的极大(小)值及闭区间上的最值；能求一些初等函数的导数；了解函数在某点取得极值的充要条件；能够用导数研究函数的单调性,利用导数解决某些实际问题.题型一 初等函数的导数例1 设函数,其中，且，求.点拨 看清题目中变量和，的自变量是，为参变量，因此是三次函数；于是先对求导，再求，从而转化为已知三角函数值求角的问题.解 ， 又,得.易错点 此题中含有两个字母，学生误以为是三角函数，求导数时按三角函数求导法则；.容易忽略的范围.变式与引申1： 设函数，其中，则导数的取值范围是.题型二 初等函数的单调区间和极值例2 已知函数在上是增函数，在上是减函数，且的一个根为.（）求的值；（）求证：还有不同于的实根、，且、成等差数列；（）若函数的极大值小于，求的取值范围.点拨 第（）问中由已知得出函数的极大值点是，即可解出的值；第（）问要使成等差数列，必须，因此关键是将因式分解，再借助韦达定理推出、三者的关系；用函数的思想分析第（）问，将看作是关于的函数，题目即转化为求的值域问题.解 （），是极大值点，.（）令，得或,由的单调性知，是方程的一个根，则.,方程的根的判别式.又，即不是方程的根有不同于的根、.，、成等差数列.（）根据函数的单调性可知是极大值点,，于是,令,求导,时，,在上单调递减,即.易错点 在第（）问中学生对进行因式分解时易出错或不能因式分解，分解之后易忽视判断“不是方程的根”； 第（）问中学生不易从函数的角度分析的取值范围.变式与引申2：设函数，求函数的单调区间与极值.题型三 导数与不等式例3 已知函数的图像在点处的切线方程为() 求实数的值；() 设是上的增函数. 求实数的最大值；点拔 过三次函数图像上一点的切线方程可用导数求斜率,再用点斜式求直线方程，从而布列方程组求出的值；利用“函数在某区间上递增(递减),其导数在这区间上恒大于(小于)零”转化为不等式恒成立的问题.解 () 由及题设得即() 由得是上的增函数，在上恒成立.即在上恒成立, 设.， , 即不等式0在上恒成立.当时，设在上恒成立.当0时，设，.因为0，所以函数在上单调递增. 因此即 又, 故. 综上，的最大值为3.易错点 有些学生错用是上的增函数的解为.变式与引申3：设函数，若对于任意的都有成立，求实数的值. 题型四 导数与解析几何例4 已知函数() 若函数的图像上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a,b的关系式；() 若函数在和时取得极值，且其图像与轴有且只有3个交点，求实数的取值范围点拨 本题的关键是将几何问题转化为代数问题.第()问中“点P的存在性问题”转化为“方程解的存在性问题”；第()问中“图像与轴有且只有3个交点”转化为“的极大值大于0，且极小值小于0”.解 () , 设切点为,则曲线在点P处的切线的斜率,由题意，知有解， 即. ()由已知可得和是方程的两根， ， ， ， 在处取得极大值，在处取得极小值 函数的图像与轴有且只有3个交点， 又， 解得易错点 有些学生对三次函数图像与轴（或平行轴的直线）的交点问题难以从整体把握，难以找到几何问题转化为代数问题的切入点.变式与引申4： 设函数，已知，且（,且），函数（，为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图像上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上.（1）试求a，b的值；（2）若时，函数的图像恒在函数图像的下方，求正整数的值.求导由=0求求的值得出最大（小）值本节主要考查 初等函数的导数；导数的运算；利用导数研究函数的极值、单调性；求切线等数形结合的思想和函数与方程的思想.点评： 求在的最值的方法：求导由=0求列 表得出单调区间(极值) 求单调区间、极值的方法：利用导数，求曲线在点处的切线方程，先求再求方程习题121已知= .2. 曲线在点（0，1）处的切线方程为 3. 设定函数(0)，且方程的两个根分别为1，4.（）当3且曲线过原点时，求的解析式；（）若在无极值点，求的取值范围.4. 已知函数（）设，求函数的极值；（）若，且当时，恒成立，试确定a的取值范围5. 设函数，其中，曲线在点处的切线方程为.（）确定的值;（）设曲线在点