天津科技大学高等数学检测题（一;二）答案.doc

天津科技大学高等数学（一）检测题7-1答案一、填空题1. 3； 2. ； 3. ； 4.二、选择题1. （A）； 2. （D）； 3. （C）. 三、计算题1.解：分离变量，两端同时积分，有，即；，所以，.2.解：分离变量，两端同时积分，有，即，所以.3.解：，分离变量，两端同时积分，有 ，将代入得， 所求特解为.四、解：方程两边同时对求导，有，分离变量为，积分得通解.用代入原式，得初始条件，再代入通解中，得，所以 .天津科技大学高等数学（一）检测题7-2答案一、填空题1. ； 2. 1，0；3. ； 4. ； 5. .二、选择题1. （A）； 2.（B）； 3. （C）； 4. （A）. 三、计算题 1.解：方程写成，这是齐次方程，令，则，代入原方程得，分离变量，两端同时积分，有，于是，即，通解为.2.解：方程写成，这是一阶线性方程，由通解公式，有，由初始条件，得，所求特解为.四、解：由已知，有，即，这是一阶线性方程，当时，通解为； 当时，通解为.天津科技大学高等数学（一）检测题7-3答案一、填空题1. ；2. 或；3. ； 4. ； 5. .二、选择题1. （A）； 2. （C）； 3. （D）. 三、计算题 1.解：设，则，方程变为，分离变量解得，即，通解为.2.解：设，则，方程变为，即，积分得，即，由初始条件知，于是， 即，得，再由初始条件知，特解为.3.解：方程两端同时积分，有， 由，得，于是； ，由，得，所以特解为.天津科技大学高等数学（一）检测题7-4答案一、填空题1. ； 2. ；3.二、选择题1. （C）； 2. （D）.三、计算题1. 解：该方程是二阶齐次线性微分方程，设，.将代入方程有，于是是方程的解；将代入方程有，也是方程解.又不恒为常数，于是线性无关，所以，是方程的通解.2. 解： 将，代入方程恒成立，又不恒为常数，所以函数是齐次线性微分方程的两个线性无关解.将，代入方程，有，得，所以非齐次线性微分方程的通解为.四、证明：将代入 左式 右式.所以，函数是齐次线性方程方程的解.天津科技大学高等数学（一）检测题7-5答案一、填空题1. ，；2. ，；3，.二、选择题1. （C）； 2. （C）.三、计算题1. 解：特征方程是，特征根为，通解为.2. 解：特征方程是，特征根为，通解为.3. 解：特征方程是，特征根为， 通解为.4. 解：特征方程是，特征根为，通解为.四、解： 特征方程是，特征根为（二重根），通解为.将初始条件代入通解中可以得到，故特解为.五、解：特征方程，特征根，通解为，由，得，故所求积分曲线为.天津科技大学高等数学（一）检测题7-6答案一、填空题1. ； 2.； 3； 4.二、选择题1. （D）； 2. （B）.三、计算题1.解: 特征方程是，特征根为，齐次方程的通解为，设非齐次方程的一个特解为，代入原方程可以求得，,故原方程的通解为.2.解： 特征方程是，特征根为，对应齐次方程的通解为，设非齐次方程的一个特解为，代入原方程可以求得，故原方程的通解为. 3解：特征方程是，特征根为， 对应齐次方程的通解为，对方程，设一个特解为，代入方程，有，得，于是. 对方程，设一个特解为， 代入方程，有，得，于是. 所以，微分方程的一个特解是， 故微分方程的通解是.4.解：特征方程是，特征根为，对应齐次方程的通解为，设非齐次方程的一个特解为，代入原方程可以求得，故原方程的通解为，将初始条件代入上两式，有得到故原方程的特解为.天津科技大学高等数学(五)检测题8-1答案一、填空题1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ，； 二、选择题1.（B）； 2. (C)； 3.（D）.三、解答题 1解：由，得， 而，于是. 或由中点坐标公式，得点坐标为、 于是.2. 解：设，由，有 ，即，所以 或（舍去），于是或.3. 解：由， ，有及，所以，三角形是等腰直角三角形.天津科技大学高等数学(五)检测题8-2答案一、填空题1. ， ； 2. ，； 3. （是任何实数）； 4. .二、选择题1.（A）； 2.（B）； 3.（C）； 4. (D) .三、解答题 1解： .2. 解：，于是；，；3. 解：，所以. .天津科技大学高等数学(五)检测题8-3答案一、填空题1. ； 2. ，； 3. ，单叶旋转双曲面； 4. 圆锥面； 二、选择题1.（B）； 2.（B）； 3.（C）； 4. (D) .天津科技大学高等数学(五)检测题8-4答案一、填空题1. ； 2. 3. ； 4. ； 5. ，.二、选择题1.（C）； 2.（C）； 三、解答题 1解： 取法向量， 平面方程为，即.2. 解：取法向量，平面方程为，即.3解：设所求平面方程为，由到原点的距离是6，有 ，即，得，代入方程并化简，得所求平面为.天津科技大学高等数学(五)检测题8-5答案一、填空题1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. .二、选择题1.（D）； 2.（B）.三、解答题 1解：取， 所求直线方程为.2. 解：在直线上取一点，并取所求平面的法向量为，所求平面方程为，即.3. 解：设所求平面方程为，将点代入有，得，于是所求方程为. 4解：设所求直线方程为，由与已知直线垂直，有；又设与轴交点为，有，由、两式得，所求直线方程是.天津科技大学高等数学(五)检测题9-1答案一、填空题1，； 2； 3； 4.二、选择题1（B）； 2（C）； 3（D）； 三、解答题1解：令，.则，.于是.所以.2解：3解：由 有 或得或 于是，定义域为： 或.天津科技大学高等数学(五)检测题9-2答案一、填空题1； 2；3或； 41； 二、选择题1（A）； 2（C）； 三、解答题1解： 2解：；3证明：由，有，由变量的对称性，得，于是. 4证明：由于,； .所以, .天津科技大学高等数学(五)检测题9-3答案一、填空题1, ； 2； 3； 二、选择题1（B）； 2（A）； 3（B）.三、解答题1. 解：由 , .得.2. 解：.3. 解：由，有， 由变量的对称性,得；又.所以，4. 解：用代入法， ，.天津科技大学高等数学(五)检测题9-4答案一、填空题 1； 2； 3； 4； 二、选择题 1（B）； 2（A）； 3（C）.三、解答题 1解： 2解：.3解：方程两边对求导，有，即. 解得天津科技大学高等数学(五)检测题9-5答案一、填空题1； 2 ； 3； 4.二、选择题 1(D)； 2（C）.三、解答题 1解：以为参数，于是，在点处，. 取切线方向向量， 切线方程为：； 法平面方程为：，即.2解：设切点为，取法向量，由切平面与已知平面平行，有，即，代入椭球面方程，得，切平面方程为：，即. 3解：设所求点为，则法向量， 根据已知，有，得， 切平面方程为：，即； 法线方程为：. 天津科技大学高等数学(五)检测题9-6答案一、填空题1，； 2，； 3；二、选择题1(A)； 2（C） 3(C)； 4(B)； 三、解答题1解：设两直角边分别为、，三角形面积为，则，条件. 设，由 得惟一可疑点，由实际意义，斜边一定时直角三角形面积为有最大值，于是在斜边长为的直角三角形中，以等边直角三角形面积最大，最大面积为.2解：设水箱的长、宽、高分别为.则表面积， . 约束条件为.设，由 得惟一可疑点，. 由实际意义，体积一定时，长方体表面积有最小值. 所以，当水箱的长、宽都为，高为时，最省材料. 3解：用表示销售收入减去广告费用，则 ， .（1） 由 得惟一驻点（万元），（万元）.由实际意义，有最大值于是，在不限定广告费用时，当报纸广告费为0.75万元，电视广告费为1.25万元时，广告策略最优.（2） 当广告费用限定为1.5万元时，即约束条件是， 设，由 得惟一可疑点（万元），（万元）.由实际意义，有最大值于是，在限定广告费用为1.5万元时，将其全部用于做电视广告，广告策略最优.天津科技大学高等数学(五)检测题10-1答案一、填空题 12； 2二、选择题 1（A）； 2（C）三、解答题1解：设，则在上，又 ，于是，在上的最小值，最大值，而区域的面积. ，所以， 2解：设 ，由在区域内得驻点，.又在的边界上，（）于是，在的边界上，的最小值，最大值在上，的最小值，最大值，的面积 所以，天津科技大学高等数学(五)检测题10-2答案一、填空题 1； 2； 3； 4二、计算题1解：2解：3解：记，分别为位于直线的上、下部分，则或：由于，关于直线对称，于是，所以 4. 解：5. 解： 天津科技大学高等数学(五)检测题12-1答案一、填空题1； 2； 3； 4； 5； 6二、选择题1（B）； 2（C）； 3（D）三、解答题1解： 由于,于是，级数发散 2. 解：，所以，级数收敛，且和为 3解：因为级数收敛于；级数收敛于 由性质2，级数收敛，且和为天津科技大学高等数学(五)检测题12-2答案一、填空题1发散； 2收敛； 3收敛； 4收敛。二、选择题1（C）； 2（D）； 3（D） 三、解答题 1解：，级数收敛2解：因为，而，得级数收敛， 从而，级数也收敛 3证明：由，所以，级数收敛 4解：，当时，级数收敛；当时，级数发散当时，级数为收敛；当时，级数为发散综上：当时，级数收敛，当时，级数发散天津科技大学高等数学(五)检测题12-3答案一、填空题1发散； 2条件收敛； 3绝对收敛； 4，二、选择题1（A）； 2（D）； 3（B）三、解答题1解：由 ，有发散又设， 则，且，由莱布尼茨审敛法，得收敛综上，级数是条件收敛的2解：，而，得级数收敛， 所以级数绝对收敛天津科技大学高等数学(五)检测题12-4答案一、填空题1； 2； 3（一点）； 4； 5. 二、选择题1（D）； 2（A）； 3（C）三、解答题1解：由，得收敛半径 当时，级数为，是收敛的，当时，级数为，是发散的， 所以幂级数的收敛域是 2解：由当，即时，级数