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高斯二次互反律主講：李宗儒在正式介紹高斯二次互反律之前，我們先簡單的介紹一下同餘方程式同餘方程式給定正整數m及n次整系數多項式 我們討論這樣的問題：求出所有的整數x，使同餘式 (mod m) (1)成立，這就是所謂的解同餘方程式。而上式稱為模m的同餘方程式。若(1)式在x=c時同餘式成立，稱c是(1)式的解。顯然，這時剩餘類 c (mod m) 中的任意整數也都是解，我們把這些解看作是相同的，並說剩餘類 c (mod m) 是(1)中的一個解，我們把它記為 (mod m)當均為(1)式的解，且模m不同餘，我們就稱它是同餘方程式(1)的不同解，所有模m兩兩不同餘的解的個數，稱為是同餘方程式(1)的解數。模為質數的二次同餘方程在此節，由於的情形是顯然的，所以下面我們假定p是奇質數。假設p不整除a，二次同餘方程的一般形式是 (mod p) (2)但是因為p不整除a，所以p不整除4a，所以(2)的解跟 (mod p) (3)的解相同，上式可以改為 (mod p) (4)透過變數變換，我們可以得到下列式子 (mod p) (5)(4)與(5)是等價的，也就是說，兩者同時無解或有解。若有解，對於(5)的每個解 (mod p)，通過變數變換(因為這是x的一次同餘方程，所以解數為1)，我們可以解出一個 (mod p)，由以上的討論可知，我們只要討論形如 (mod p) (6)的同餘方程式，很容易的，當p整除d時，(6)僅有一解(mod p)。所以，我們只討論p不整除d的情形。定義1 設質數，d是整數，且p不整除d，如果同餘方程式(6)有解，則稱d是模p的二次剩餘，若無解，則稱d是模p的二次非剩餘。定理1 在模p的一個完全剩餘系中，恰有個模p的二次剩餘，個模p的二次非剩餘，此外，若d是模p的二次剩餘，則同餘方程式(6)的解數為二。定理2 設質數且p不整除d，其中d是整數。那麼d是模p的二次剩餘的充要條件是 (mod p)；d是模p的二次非剩餘的充要條件是 (mod p) 為了接下來的討論方便，我們引進一個表示模p的二次剩餘、二次非剩餘的符號 Legendre 符號定義2 設質數，定義整數變數d的函數引理1 (1) (2) (mod p) (3) (4) 若p不整除d (5) ， (6) 同餘方程式 (mod p)的解數是引理2 設質數且p不整除d，再設，以n表示這個中大於的的個數，那麼有定理3 我們有 定理4
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