数学建模综合评价模型2.pdf

综合评价方法及其应用综合评价方法及其应用 选择旅游地 中 准则层对目标的权 向量及一致性检验 选择旅游地 中 准则层对目标的权 向量及一致性检验 1135 13 1 1125 13 1 3 12 117 14 1 55712 3342 11 A 准则层对目标的成对比较阵 最大特征根 准则层对目标的成对比较阵 最大特征根 5 073 权向量 特征向量 权向量 特征向量 w 0 263 0 475 0 055 0 090 0 110 T 018 0 15 5073 5 CI 一致性指标 随机一致性指标 一致性指标 随机一致性指标 RI 1 12 查表查表 一致性比率一致性比率CR 0 018 1 12 0 016 a 1 1 2 4 3 3 2 1 7 5 5 1 4 1 7 1 1 2 1 3 1 3 1 5 2 1 1 1 3 1 5 3 1 1 a 1 0000 0 5000 4 0000 3 0000 3 0000 2 0000 1 0000 7 0000 5 0000 5 0000 0 2500 0 1429 1 0000 0 5000 0 3333 0 33330 2000 2 0000 1 0000 1 0000 0 3333 0 2000 3 0000 1 0000 1 0000 目标层目标层 O 选择旅游地选择旅游地 P2 黄山黄山 P1 桂林桂林 P3 北戴河北戴河 准则层准则层 方案层方案层 C3 居住居住 C1 景色景色 C2 费用费用 C4 饮食饮食 C5 旅途旅途 例 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色 费用 居住条件等因素选择 例 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色 费用 居住条件等因素选择 w w 0 263 0 475 0 055 0 090 0 110 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤 1 建立层次分析结构模型 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题 将有关因素自上而下分层 目标深入分析实际问题 将有关因素自上而下分层 目标 准则或指标准则或指标 方案或对象 上层受下层影响 而层内 各因素基本上相对独立 方案或对象 上层受下层影响 而层内 各因素基本上相对独立 2 构造成对比较阵 构造成对比较阵 用成对比较法和用成对比较法和1 9尺度 构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵 尺度 构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵 3 计算权向量并作一致性检验 计算权向量并作一致性检验 对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量 作一致性 检验 若通过 则特征向量为权向量 对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量 作一致性 检验 若通过 则特征向量为权向量 4 计算组合权向量 作组合一致性检验 计算组合权向量 作组合一致性检验 组合权向量可作为决策的定量依据 组合权向量可作为决策的定量依据 作业作业4 招聘工作人员 某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名 根据工作需 要 单位领导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质 由 此建立层次结构如下图所示 招聘工作人员 某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名 根据工作需 要 单位领导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质 由 此建立层次结构如下图所示 招聘人员综合情况招聘人员综合情况 知识知识能力能力外表外表 经 济 知 识 经 济 知 识 外 语 知 识 外 语 知 识 法 律 知 识 法 律 知 识 组 织 能 力 组 织 能 力 公 关 能 力 公 关 能 力 计 算 机 操 作 计 算 机 操 作 气 质 气 质 身 高 身 高 C层层 B层层 A层层 B1B2B3 C1C2C3C4C5C6C7C8 要求 1 每队要加上队号 2 根据结构图建立一个对应聘人员的综合评 价函数 3 内容包括变量设置 成对比较矩阵 CI RI等一致性检验步骤 最后得到的权重向量 注意组合一致性检验 二 动态加权综合评价方法二 动态加权综合评价方法二 动态加权综合评价方法二 动态加权综合评价方法 2005年中国大学生数学建模竞赛的A题 2005年中国大学生数学建模竞赛的A题 长江水质的评 价和预测 长江水质的评 价和预测 问题的第一部份给出了17个观测站 城市 的最近 28个月的实际检测指标数据 包括反映水质污染程度的最主 要的四项指标 溶解氧 DO 高锰酸盐指数 CODMn 氨 氮 NH3 N 和PH值 要求综合这四种污染指标的28个月的检 测数据对17个城市的水质情况做出综合评价 问题的第一部份给出了17个观测站 城市 的最近 28个月的实际检测指标数据 包括反映水质污染程度的最主 要的四项指标 溶解氧 DO 高锰酸盐指数 CODMn 氨 氮 NH3 N 和PH值 要求综合这四种污染指标的28个月的检 测数据对17个城市的水质情况做出综合评价 1 动态加权综合评价问题的提法动态加权综合评价问题的提法 在以上综合加权评价方法中 关于权值在以上综合加权评价方法中 关于权值 1 2 j wjm 都是属于都是属于定常权定常权 即权值均为常数 虽然这种方法简单易行 对某些较简单的实际问题也是可行的 但是主观性强 科学性 差 有些时候不能很好地为决策提供有效的依据 即权值均为常数 虽然这种方法简单易行 对某些较简单的实际问题也是可行的 但是主观性强 科学性 差 有些时候不能很好地为决策提供有效的依据 根据国标 根据国标 GB 3838GB 3838 20022002 的规定 关于地表水的水 质可分为 类 类 类 类 类 劣 类共六个类 别 每一个类别对每一项指标都有相应的标准值 区间 只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质 所 以实际中 的规定 关于地表水的水 质可分为 类 类 类 类 类 劣 类共六个类 别 每一个类别对每一项指标都有相应的标准值 区间 只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质 所 以实际中不同类别的水质有很大的差别不同类别的水质有很大的差别 而且 而且同一类别的水 在污染物的含量上也有一定的差别 同一类别的水 在污染物的含量上也有一定的差别 在对17个城市的水质做综合评价时 要充分考虑这些指 标值不同类别水的 在对17个城市的水质做综合评价时 要充分考虑这些指 标值不同类别水的 质的差异质的差异 和同类别水的和同类别水的 量的差异量的差异 在 此简称为 在 此简称为 质差质差 和和 量差量差 因此 这是一个较复杂的多因素 多属性的综合评价问题 因此 这是一个较复杂的多因素 多属性的综合评价问题 二 动态加权综合评价方法二 动态加权综合评价方法二 动态加权综合评价方法二 动态加权综合评价方法 1 动态加权综合评价问题的提法动态加权综合评价问题的提法 动态加权综合评价问题的一般提法 动态加权综合评价问题的一般提法 现设有现设有n个个被评价对象 或系统 被评价对象 或系统 分别记为 分别记为 12 1 n S SS n 每每 个系统都有个系统都有m属性 或评价指标 属性 或评价指标 分别记为 分别记为 12 1 m x xx m 对于对于 每一个属性每一个属性 i x都可以分为都可以分为K个等级 记为个等级 记为 12 K p pp 1 K 而对而对 于每一个等级于每一个等级 k p都包含一个区间范围 记为都包含一个区间范围 记为 ii kk ab 且且 ii kk ab 当时 当时 其中参数 其中参数 i 可取可取 11 ii ab中的某 定值 在此不妨取 中的某 定值 在此不妨取 11 2 ii i ba i 由由 0 9 1 i iK w aim 确定 确定 2 2 动态加权函数的设定动态加权函数的设定 3 S 型分布函数 3 S 型分布函数 如果某项指标如果某项指标 i x对于综合评价效果的影响大约是随着类别对于综合评价效果的影响大约是随着类别 1 2 k p kK 的增加而增加的过程 呈一条 S 曲线 那么的增加而增加的过程 呈一条 S 曲线 那么 此时对指标此时对指标 i x的变权函数可以设定为 S 型分布函数 即 的变权函数可以设定为 S 型分布函数 即 2 1 1 1 2 1 2 12 i i ii K i i i K K ii K xa axc ba w x xb cxb ba 其中参数 其中参数 1 1 0 5 2 1 ii Ki cabw c im 且 2 3 综合评价模型的构建综合评价模型的构建 2 动态加权综合评价的一般方法动态加权综合评价的一般方法 根据标准化后的各评价指标值 不妨仍用 根据标准化后的各评价指标值 不妨仍用 i x表示 表示 以及相应的动态以及相应的动态 权函数权函数 1 2 i w x im 建立综合评价模型来对 建立综合评价模型来对 n个被评价对象做个被评价对象做 出综合评价 在此 取综合评价模型为各评价指标的动态加权和 即 出综合评价 在此 取综合评价模型为各评价指标的动态加权和 即 1 m iii i Xw xx 以此作为问题的综合评价指标函数 如果每个被评价对象的 以此作为问题的综合评价指标函数 如果每个被评价对象的 m个属性个属性 都有都有N N 组样本观测值 组样本观测值 1 2 1 2 ij xim jN 代入上式计算 则每一个被评价对象都有 代入上式计算 则每一个被评价对象都有N N个综合评价指标值个综合评价指标值 1 2 k Xjkn 1 2 jN 由此按其大小排序 可以给出 由此按其大小排序 可以给出 n个被评价对象的个被评价对象的N N个个 排序方案 排序方案 三 长江水质的综合评价模型三 长江水质的综合评价模型三 长江水质的综合评价模型三 长江水质的综合评价模型 针对长江水质的综合评价这一问题 针对长江水质的综合评价这一问题 采用动态加权综合评价方采用动态加权综合评价方 法来解决 假设17个城市为被评价对象法来解决 假设17个城市为被评价对象 1217 S SS 共有四项评共有四项评 价指标 或属性 DO CODMn NH3 N 和PH值 分别记为价指标 或属性 DO CODMn NH3 N 和PH值 分别记为 321 xxx和和 4 x 前三项指标都有 6 个等级 前三项指标都有 6 个等级 126 p pp 相应的分类区间值如相应的分类区间值如 表 1 所示 而PH值没有等级之分 表 1 所示 而PH值没有等级之分 表 表 1 地表水环境质量标准 地表水环境质量标准 GB3838 2002GB3838 2002 中中 4个主要项目标准限值个主要项目标准限值 单位 单位 mg L 指指 标标 类 类 类 类 类 类 类 类 类 类 劣 类劣 类 溶解氧 溶解氧 DO 7 5 6 7 5 5 6 3 5 2 3 0 2 高锰酸盐指数 CODMn 高锰酸盐指数 CODMn 0 2 2 4 4 6 6 10 10 15 15 氨氮 NH3 N 氨氮 NH3 N 0 0 15 0 15 0 5 0 5 1 1 1 5 1 5 2 2 PH 值 无量纲 PH 值 无量纲 6 9 三 长江水质的综合评价模型三 长江水质的综合评价模型三 长江水质的综合评价模型三 长江水质的综合评价模型 1 指标数据的标准化处理指标数据的标准化处理 1 溶解氧 溶解氧 DO 的标准化 的标准化 注意到溶解氧 DO 为极大型指标 首先将数据指标作极小化处理注意到溶解氧 DO 为极大型指标 首先将数据指标作极小化处理 即令倒数变换即令倒数变换 1 1 1 x x 相应的分类标准区间变为 相应的分类标准区间变为 1111 11 11 11 0 7 57 5 66 55 33 22 然后通过极差变换 然后通过极差变换 5 0 1 1 x x 将其数据标准化 对应的分类区间随之变为 将其数据标准化 对应的分类区间随之变为 0 0 2667 0 2667 0 3333 0 3333 0 4 0 4 0 6667 0 6667 1 1 1 指标数据的标准化处理指标数据的标准化处理 高锰酸盐指数 高锰酸盐指数 CODMn 的标准化 的标准化 高猛酸盐指数本身就是极小型指标 即由极差变换将其数据标准化 即令 高猛酸盐指数本身就是极小型指标 即由极差变换将其数据标准化 即令 15 2 2 x x 对应的分类区间随之变为 对应的分类区间随之变为 0 0 1333 0 1333 0 2667 0 2667 0 4 0 4 0 6667 0 6667 1 1 氨氮 氨氮 NH3 N 的标准化 的标准化 氨氮也是极小型指标 对指标数据作极差变换将其数据标准化氨氮也是极小型指标 对指标数据作极差变换将其数据标准化 即令即令 2 3 3 x x 对应的分类区间随之变为 对应的分类区间随之变为 0 0 075 0 075 0 25 0 25 0 5 0 5 0 75 0 75 1 1 1 指标数据的标准化处理指标数据的标准化处理 PH值的处理值的处理 酸碱度 PH 值 的大小反映出水质呈酸碱性的程度酸碱度 PH 值 的大小反映出水质呈酸碱性的程度 通常的水生物都适应于中性水质 即酸碱度的平衡值 PH 值略大于 在这里不妨取正常值的中值7 5 当PH7 5 时偏酸性 而偏离值越大水质 就越坏 PH 值属于中间型指标 为此 对所有的PH 值指 标数据作均值差处理 即令 通常的水生物都适应于中性水质 即酸碱度的平衡值 PH 值略大于 在这里不妨取正常值的中值7 5 当PH7 5 时偏酸性 而偏离值越大水质 就越坏 PH 值属于中间型指标 为此 对所有的PH 值指 标数据作均值差处理 即令 5 7 3 2 5 1 5 7 4 4 4 x x x 则将其数据标准化 则将其数据标准化 三 长江水质的综合评价模型三 长江水质的综合评价模型三 长江水质的综合评价模型三 长江水质的综合评价模型 2 动态加权函数的确定动态加权函数的确定 根据对这一实际问题的分析 根据对这一实际问题的分析 不妨取动态加权函数为偏大型正态分布不妨取动态加权函数为偏大型正态分布 函数 即 函数 即 2 0 1 i i i x i i x w x ex 当时 当时 其中 其中 i 在这里取指标在这里取指标 i x的 类水标准区间的中值 即的 类水标准区间的中值 即 11 2 ii i ba i 由由 3 2 1 9 0 4 iaw i i 确定 由实际数据经计算可得 确定 由实际数据经计算可得0375 0 0667 0 1333 0 321 2197 0 1757 0 21 3048 0 3 则代入上式可以得到DO 则代入上式可以得到DO CODMnCODMn 和NH3 N三项指标的动态加权函数 和NH3 N三项指标的动态加权函数 三 长江水质的综合评价模型三 长江水质的综合评价模型三 长江水质的综合评价模型三 长江水质的综合评价模型 3 综合评价指标函数的确定综合评价指标函数的确定 考虑到对实际评价效果影响差异较大的是前三项指标 以及指标PH考虑到对实际评价效果影响差异较大的是前三项指标 以及指标PH值值 的特殊性 这里取前三项指标的综合影响权值为0 8 而PH的特殊性 这里取前三项指标的综合影响权值为0 8 而PH 值的影响权值值的影响权值 取0 2 因此 根据综合评价模型 取0 2 因此 根据综合评价模型 某城市某一时间的水质综合评价指标定某城市某一时间的水质综合评价指标定 义为 义为 4 3 1 2 0 8 0 xxxwX i i ii 根据17 个城市的28 组实际检测数据 根据17 个城市的28 组实际检测数据 经计算可得各城市的水质综合经计算可得各城市的水质综合 评价指标值 即可得到一个评价指标值 即可得到一个17 28 阶的综合评价矩阵阶的综合评价矩阵 17 28 ij X 三 长江水质的综合评价模型三 长江水质的综合评价模型三 长江水质的综合评价模型三 长江水质的综合评价模型 4 各城市水质的综合评价各城市水质的综合评价 由 17 个城市 28 个月的水质综合评价指标由 17 个城市 28 个月的水质综合评价指标 1 2 17 ij Xi 1 2 28 j 根据其大小 即污染的程度 进行排序 根据其大小 即污染的程度 进行排序 数值越数值越 大说明水质越差 由此可得反映 17 个城市水质污染程度的 28大说明水质越差 由此可得反映 17 个城市水质污染程度的 28 个排个排 序结果 根据Borda数的计算方法则得到第序结果 根据Borda数的计算方法则得到第i个城市 被评价对象 个城市 被评价对象 i S 的 Borda 数为 的 Borda 数为 28 1 1 2 17 iji j B SB Si 经计算可得到各城市的 Borda 数及总排序结果如表 2 所示 经计算可得到各城市的 Borda 数及总排序结果如表 2 所示 表 表 2 2 按各城市的水质污染总排序结果 按各城市的水质污染总排序结果 城市 排序 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 10 S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 S 16 S 17 S Borda 数203 136 143234106139138378232 27160357277264438 214217 总排序 11 15 12716131428 5173461109 表 表 2 2 按各城市的水质污染总排序结果 按各城市的水质污染总排序结果 城市 排序 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 10 S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 S 16 S 17 S Borda数203 136 143 234 106 139 138 378 232 27160357 277 264 438 214 217 总排序 11 15 12716131428 5173461109 由表 由表 2 2 可可以以看看出 出 各观测各观测城城市所市所在的江在的江段段的的水水质污质污染的情染的情况况 水水 质最差质最差的的是观是观测城测城市是市是 15 S 即是江即是江西南昌西南昌赣赣江江鄱鄱阳湖阳湖入口地入口地区 区 其次其次 是观测是观测城市城市 8 S 即 即四川乐四川乐山山泯江与泯江与大渡大渡河的河的汇合地汇合地区区 第三第三位的位的是是 12 S 即湖南长沙湘江洞庭湖地区 即湖南长沙湘江洞庭湖地区 干流水质最差的是湖南岳阳段干流水质最差的是湖南岳阳段 4 S 主要污染可能是来 主要污染可能是来自于洞庭湖 自于洞庭湖 干流水质最干流水质最好的区段是江西好的区段是江西 九江九江 鄂鄂赣交赣交界 界 段段 6 S 支支流水质流水质最好的最好的是湖是湖北丹江北丹江口口水库水库 11 S 4 各城市水质的综合评价各城市水质的综合评价 动态加权综合评价方法从方法上增加了综合 评价的客观性 大大地淡化了评价人的主观因素 对评价结果的影响 这与一般的定常加权法相比 其优越性是显而易见的 动态加权综合评价方法不仅适用于水质的综 合评价这一类问题 而且 类似的可以用来研究 解决诸如空气质量的综合评价问题 以经济和军 事等领域的很多综合评价问题 动态加权综合评 价方法在实际中非常有推广应用价值 动态加权综合评价方法从方法上增加了综合 评价的客观性 大大地淡化了评价人的主观因素 对评价结果的影响 这与一般的定常加权法相比 其优越性是显而易见的 动态加权综合评价方法不仅适用于水质的综 合评价这一类问题 而且 类似的可以用来研究 解决诸如空气质量的综合评价问题 以经济和军 事等领域的很多综合评价问题 动态加权综合评 价方法在实际中非常有推广应用价值 动态加权综合评价方法的特点动态加权综合评价方法的特点动态加权综合评价方法的特点动态加权综合评价方法的特点 四 模糊综合评判法 什么是模糊数学什么是模糊数学 秃子悖论秃子悖论 天下所有的人都是秃子天下所有的人都是秃子 设头发根数nn 1 显然 若n k 为秃子n k 1 亦为秃子 模糊概念 模糊概念 从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 共同特点 模糊概念的外延不清楚 模糊概念 模糊概念 从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 共同特点 模糊概念的外延不清楚 Fuzzy 毛绒绒的 边界不清楚的 模糊数学的产生与基本思想模糊数学的产生与基本思想 产生产生 1965年 L A Zadeh 扎德 发表了文章 模糊集 Fuzzy Sets Information and Control 8 338 353 基本思想 用属于程度代替属于或不属于 某个人属于秃子的程度为 基本思想 用属于程度代替属于或不属于 某个人属于秃子的程度为0 8 另一个人属于 秃子的程度为 另一个人属于 秃子的程度为0 3等等 模糊集合论的基础知识模糊集合论的基础知识 定义定义1 从论域U到闭区间 0 1 的任意一个映 射 对任意 u U 那么叫做U 的一个模糊子集模糊子集 叫做u的隶属函数隶属函数 也 记做 例如 U为某公司的全体员工 A 为年轻人 A u 表示u属于年轻人的程度 0 1A U A uA u 0 1A u A A u A u 0 1A u 模糊综合评价的一般步骤如下 1 确定评价对象的因素集 2 确定评语集 3 作出单因素评价 4 综合评价 例 评价某种牌号的手表U x1 x2 x3 x4 其中x1 表示外观式样 x2表示走时准确 x3表示价格 x4 表示质量 评语集为V y1 y2 y3 其中y1表示很满意 y2表 示满意 y3表示不满意 模糊综合评价模糊综合评价 假设评价科研成果 评价指标集合U 学术 水平 社会效益 经济效益 其各因素权重设 为 4 0 3 0 3 0 W 模糊综合评价模糊综合评价 请该领域专家若干位 分别对此项成果每一因素