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第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面的曲面积分与沿的边界曲线的曲线积分之间的联系.一、斯托克斯公式 例1 例2 例3二、空间曲线积分与路径无关的条件三、三元函数的全微分求积四、环流量与旋度 例4 例5 例6五、斯托克斯公式的向量形式， 向量微分算子内容要点一、斯托克斯公式定理1 设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式 (7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成 二、环流量与旋度设向量场则沿场中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分称为向量场沿曲线C按所取方向的环流量. 而向量函数 称为向量场的旋度，记为，即旋度也可以写成如下便于记忆的形式：.例题选讲利用斯托克斯公式计算例1 (E01) 计算曲线积分 其中是平面被三坐标面所截成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.解 按斯托克斯公式，有由于的法向量的三个方向余弦都为正，再由对称性知:所以 例2 计算曲线积分 其中是平面截立方体：的表面所得的接痕，从轴的正向看法，取逆时针方向.解 取为题设平面的上侧被所围成部分，则该平面的法向量即原式例3 (E02) 计算 式中C是此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面上的最小区域保持在左方解 由斯托克斯公式，有原式(利用对称性)例4 求矢量场在点处的散度及旋度. 解 故故例5 (E03) 设 求gradu div(gradu)；rot(gradu).解 因为有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故注：一般地，如果是一单值函数，我们称向量场=gradu 为势量场或保守场，而称为场的势函数.例6 (E04) 设一刚体以等角速度绕定轴旋转，求刚体内任意一点的线速度的旋度.解 取定轴为轴(见图10-7-4)，点的内径则点的线速度于是即速度场的旋等于角速度的 2 倍.课堂练习1. 计算其中是螺线从到的一段曲线.2.
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