数学归纳法习题.doc

11.5 数学归纳法(时间：50分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是 ()A假设nk(kN)，证明nk1命题成立B假设nk(k是正奇数)，证明nk1命题成立C假设n2k1(kN)，证明nk1命题成立D假设nk(k是正奇数)，证明nk2命题成立解析：A、B、C中，k1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k2为奇数答案：D2(2011鹤壁模拟)用数学归纳法证明“11)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是 ()A2k1 B2k1C2k D2k1解析：增加的项数为(2k11)(2k1)2k12k2k.答案：C3(2011巢湖联考)对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，当nk1时，不等式成立，则上述证法 ()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析：在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法答案：D4用数学归纳法证明“n2(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开 ()A(k3)3 B(k2)3 C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：假设当nk时，原式能被9整除，即k2(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可答案：A5用数学归纳法证明不等式，11,1，12,1，由此猜测第n个不等式为_(nN*)解析：3221,7231,15241，可猜测：1.答案：18(2011东莞调研)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第60个数对是_解析：本题规律：211；31221；4132231；514233241；一个整数n所拥有数对为(n1)对设123(n1)60，60，n11时还多5对数，且这5对数和都为12，12111210394857，第60个数对为(5,7)答案：(5,7)9如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(nN*)行，在这些数中非1的数字之和是_111121133114641解析：所有数字之和Sn202222n12n1，除掉1的和2n1(2n1)2n2n.答案：2n2n三、解答题(共3小题，共34分)10(本小题满分10分)试证：当nN*时，f(n)32n28n9能被64整除证明：证法一：(1)当n1时，f(1)64，命题显然成立(2)假设当nk(kN*，k1)时，f(k)32k28k9能被64整除当nk1时，由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)，nk1时命题也成立根据(1)、(2)可知，对于任意nN*，命题都成立证法二：(1)当n1时f(1)64命题显然成立(2)假设当nk(kN*，k1)时，f(k)32k28k9能被64整除由归纳假设，设32k28k964m(m为大于1的自然数)，将32k264m8k9代入到f(k1)中得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)，nk1时命题也成立根据(1)(2)知，对于任意nN*，命题都成立11(本小题满分12分)已知数列an的各项都是正数，且满足：a01，an1an(4an)(nN)证明：anan12(nN)证明：证法一：用数学归纳法证明：(1)当n0时，a01，a1a0(4a0)，所以a0a12，命题正确(2)假设nk1(kN*)时命题成立，即ak1ak2.则当nk时，akak1ak1(4ak1)ak(4ak)2(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(4ak1ak)而ak1ak0，所以akak10.又ak1ak(4ak) 4(ak2)22.所以nk时命题成立由(1)(2)可知，对一切nN时有anan12.证法二：用数学归纳法证明：(1)当n0时，a01，a1a0(4a0)，所以0a0a12；(2)假设nk1(kN*)时有ak1ak2成立，令f(x)x(4x)，f(x)在0,2上单调递增，所以由假设有：f(ak1)f(ak)f(2)，即ak1(4ak1)ak(4ak)2(42)，也即当nk时，akak12成立所以对一切nN，有akak12.12(本小题满分12分)(2011开封调研)在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比列(nN*)，求a2，a3，a4与b2，b3，b4的值，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论解：由条件得2bnanan1，abnbn1.又a12，b14，由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425，猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当n1时，a12，b14，结论成立假设当nk(kN*