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工程建设与财政平衡决策问题摘 要目标规划是由线性规划发展演变而来，但比线性规划更加灵活，可以解决多个目标并且还可以自带从属目标的规划问题。是一较之线性规划更接近于实际决策过程的决策工具。本文从市政府三年间为了完成五项基本工程项目的实际“工程建设与财政平衡决策问题”建立目标规划模型 ，按多目标的优先级逐级展开，利用目标规划的层次算法，将多目标转化为线性规划，并使用Lindo软件求解该模型。给出该政府的具体的详细投资计划、资金分配方案。关键词：目标规划、线性规划、优先级、层次算法一、问题的提出某市政府为改善其基础设施，在近3年内要着手如下5项工程的建设，按重要性排序的工程建设项目名称及造价如表1所示。表 1项目项目名称造价（万元）1公路1b12大桥b23公路2b34水厂b45供水管道b5 该市政府的财政收入主要来自国家财政拨款、地方税收和公共事业收费。3年内该三项总收入分别估计为e1，e2和e3。除此之外就靠向银行贷款和发行债券，3年中可贷款的上限为U11、U12和U13，年利率为g；可发行债券的上限为U21、U22和U23，年利率为f。银行还贷款期限为1年(假定贷款在年初付出)，债券则由下年起每年按一定比例(r)归还部分债主的本金。市政府应如何作出3年的投资决策。要求：（1）给定具体数据：b1700，b2500，b3800，b4400，b5680；e1700，e2900，e31200，U11300，U12400，U13450，U21300，U22350，U23350，f0.055，g0.05，r=0.2。用软件求满意解；（2）对结果进行分析，列出3年详细的项目投资计划、资金分配表和平衡表，资金是否有缺口，写出分析报告。二、问题的分析为了把该问题转换为目标规划，特定义以下变量，设x1t(t=1,2,3)为第t年向银行贷款数，x2t(t=1,2,3)为第t年发行债券数，yit(i=1,2,5;t=1,2,3)为项目i在第t年的完工率（投资比例），见表2表 2名称第一年第二年第三年银行贷款(万元) 发行债券(万元)x11x21x12x22x13x23工程项目1总完工率y11y12y13工程项目2总完工率y21y22y23工程项目3总完工率y31y32y33工程项目4总完工率y41y42y43工程项目5总完工率y51y52y53除上述变量外，为了写出平衡式，引进第1年的起始财政平衡变量z0和每年末的财政平衡变量z1、z2和z3。 (1)决策变量：为了列出目标规划决策模型，决策变量如表C8所示。(2)约束和目标：注意问题中有的目标(例如历年财政平衡)实际上是硬约束，其中不含偏差变量，因此引入松弛变量si(i=1,2,7)作等式的平衡。 (3)财政平衡约束条件：a、变量的上限限制和财政平衡目标：变量包括决策变量、财政平衡变量和保证财政平衡的人工变量。表C8所列变量都有上界限制的，把这些有上界约束的变量写成目标形式，其中只须引进负偏差变量njt。对平衡变量应使z0为零，使zl，z2，z3为正值，故除z0外其它平衡变量都引进了正偏差变量，而且把使z0为零和使其它平衡变量为正作“硬约束”的规定。因此有 贷款、债券平衡约束 个项目每年完工率平衡约束 完工率平衡约束 第一年初财政平衡约束 3年财政平衡约束式中：为正偏差变量，s4+k是松弛变量(等价于负偏差变量)，z0是第1年年初的可用资金，假设z00，则约束z0s4=0可以去掉。zk是第k年年末剩余（k1年年初可用）资金，所有变量非负。b、根据财政平衡的意义，可列出3年中每年的财政平衡约束条件，即 (该年银行贷款)+(该年发行债券)+(该年财政收入)(该年各项工程拨款)(该年银行还款)(该年债券还款)(该年银行贷款付息)(该年债券付息)+(起始平衡)(最终平衡)0。则有第一年： 第二年： 第三年： (4)目标函数：对问题目标函数的要求有如下几点：硬约束为1级目标，以首先保证各年财政平衡，这可使这些约束条件的相应松弛变量的和为最小； 保证头两项工程的优先完成(按重点顺序加权)； 按重点顺序加权，抓紧后三项工程的建设； 争取每个项目在3年内都完工； 使各年最终财政平衡变量为最小。因此，目标函数可列出：三、数学模型的建立将以上约束条件整理得到目标规划数学模型 四、模型的求解在lindo下按照目标规划的层次算法求解目标规划，P1层次的优化模型为LP1： min z1= s1+s2+s3+s5+s6+s7STx11300X12400X13450X21300X22350X23350Y11+d11=1Y12+d12=1Y13+d13=1y21+d21=1y22+d22=1y23+d23=1y31+d31=1y32+d32=1y33+d33=1y41+d41=1y42+d42=1y43+d43=1y51+d51=1y52+d52=1y53+d53=1y11+y12+y13+d1=1y21+y22+y23+d2=1y31+y32+y33+d3=1y41+y42+y43+d4=1y51+y52+y53+d5=1z1+s5-d6=0z2+s6-d7=0z3+s7-d8=0700y11+500y21+800y31+400y41+680y51-x11-0.945x21+z1+s1=700700y12+500y22+800y32+400y42+680y52+1.05x11-x12+0.24642x21-0.945x22-z1+z2+s2=900700y13+500y23+800y33+400y43+680y53+1.05x12-x13+0.236729825x21+0.24642x22-0.945x23-z2+z3+s3=1200End 输入Lindo求解 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 7 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.0000000E+00 VARIABLE VALUE REDUCED COST S1 0.000000 1.000000 S2 0.000000 1.000000 S3 0.000000 1.000000 S5 0.000000 1.000000 S6 0.000000 1.000000 S7 0.000000 1.000000 X11 0.000000 0.000000 X12 0.000000 0.000000 X13 0.000000 0.000000 X21 0.000000 0.000000 X22 0.000000 0.000000 X23 0.000000 0.000000 Y11 0.000000 0.000000 D11 1.000000 0.000000 Y12 0.171429 0.000000 D12 0.828571 0.000000 Y13 0.828571 0.000000 D13 0.171429 0.000000 Y21 0.000000 0.000000 D21 1.000000 0.000000 Y22 0.000000 0.000000 D22 1.000000 0.000000 Y23 0.000000 0.000000 D23 1.000000 0.000000 Y31 0.875000 0.000000 D31 0.125000 0.000000 Y32 0.125000 0.000000 D32 0.875000 0.000000 Y33 0.000000 0.000000 D33 1.000000 0.000000 Y41 0.000000 0.000000 D41 1.000000 0.000000 Y42 0.000000 0.000000 D42 1.000000 0.000000 Y43 0.000000 0.000000 D43 1.000000 0.000000 Y51 0.000000 0.000000 D51 1.000000 0.000000 Y52 1.000000 0.000000 D52 0.000000 0.000000 Y53 0.000000 0.000000 D53 1.000000 0.000000 D1 0.000000 0.000000 D2 1.000000 0.000000 D3 0.000000 0.000000 D4 1.000000 0.000000 D5 0.000000 0.000000 Z1 0.000000 0.000000 D6 0.000000 0.000000 Z2 0.000000 0.000000 D7 0.000000 0.000000 Z3 620.000000 0.000000 D8 620.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 300.000000 0.000000 3) 400.000000 0.000000 4) 450.000000 0.000000 5) 300.000000 0.000000 6) 350.000000 0.000000 7) 350.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 0.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 12) 0.000000 0.000000 13) 0.000000 0.000000 14) 0.000000 0.000000 15) 0.000000 0.000000 16) 0.000000 0.000000 17) 0.000000 0.000000 18) 0.000000 0.000000 19) 0.000000 0.000000 20) 0.000000 0.000000 21) 0.000000 0.000000 22) 0.000000 0.000000 23) 0.000000 0.000000 24) 0.000000 0.000000 25) 0.000000 0.000000 26) 0.000000 0.000000 27) 0.000000 0.000000 28) 0.000000 0.000000 29) 0.000000 0.000000 30) 0.000000 0.000000 31) 0.000000 0.000000 32) 0.000000 0.000000 33) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 7因为 z1=0，故P2层次的优化模型中加入 s1+s2+s3+s5+s6+s7=0，得LP2： min z2= 2d11+2d12+2d13+d21+d22+d23STx11300 X12400X13450X21300X22350X23350Y11+d11=1Y12+d12=1Y13+d13=1y21+d21=1y22+d22=1y23+d23=1y31+d31=1y32+d32=1y33+d33=1y41+d41=1y42+d42=1y43+d43=1y51+d51=1y52+d52=1y53+d53=1y11+y12+y13+d1=1y21+y22+y23+d2=1y31+y32+y33+d3=1y41+y42+y43+d4=1y51+y52+y53+d5=1z1+s5-d6=0z2+s6-d7=0z3+s7-d8=0700y11+500y21+800y31+400y41+680y51-x11-0.945x21+z1+s1=700700y12+500y22+800y32+400y42+680y52+1.05x11-x12+0.24642x21-0.945x22-z1+z2+s2=900700y13+500y23+800y33+400y43+680y53+1.05x12-x13+0.236729825x21+0.24642x22-0.945x23-z2+z3+s3=1200s1+s2+s3+s5+s6+s7=0End 输入Lindo求解LP OPTIMUM FOUND AT STEP 8 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 6.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST D11 1.000000 0.000000 D12 1.000000 0.000000 D13 0.000000 0.000000 D21 0.440000 0.000000 D22 0.560000 0.000000 D23 1.000000 0.000000 X11 0.000000 0.000000 X12 0.000000 0.000000 X13 0.000000 0.000000 X21 0.000000 0.000000 X22 0.000000 0.000000 X23 0.000000 0.000000 Y11 0.000000 0.000000 Y12 0.000000 0.000000 Y13 1.000000 0.000000 Y21 0.560000 0.000000 Y22 0.440000 0.000000 Y23 0.000000 0.000000 Y31 0.525000 0.000000 D31 0.475000 0.000000 Y32 0.000000 0.000000 D32 1.000000 0.000000 Y33 0.475000 0.000000 D33 0.525000 0.000000 Y41 0.000000 0.000000 D41 1.000000 0.000000 Y42 0.000000 0.000000 D42 1.000000 0.000000 Y43 0.300000 0.000000 D43 0.700000 0.000000 Y51 0.000000 0.000000 D51 1.000000 0.000000 Y52 1.000000 0.000000 D52 0.000000 0.000000 Y53 0.000000 0.000000 D53 1.000000 0.000000 D1 0.000000 2.000000 D2 0.000000 1.000000 D3 0.000000 0.000000 D4 0.700000 0.000000 D5 0.000000 0.000000 Z1 0.000000 0.000000 S5 0.000000 0.000000 D6 0.000000 0.000000 Z2 0.000000 0.000000 S6 0.000000 0.000000 D7 0.000000 0.000000 Z3 0.000000 0.000000 S7 0.000000 0.000000 D8 0.000000 0.000000 S1 0.000000 0.000000 S2 0.000000 0.000000 S3 0.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 300.000000 0.000000 3) 400.000000 0.000000 4) 450.000000 0.000000 5) 300.000000 0.000000 6) 350.000000 0.000000 7) 350.000000 0.000000 8) 0.000000 -2.000000 9) 0.000000 -2.000000 10) 0.000000 -2.000000 11) 0.000000 -1.000000 12) 0.000000 -1.000000 13) 0.000000 -1.000000 14) 0.000000 0.000000 15) 0.000000 0.000000 16) 0.000000 0.000000 17) 0.000000 0.000000 18) 0.000000 0.000000 19) 0.000000 0.000000 20) 0.000000 0.000000 21) 0.000000 0.000000 22) 0.000000 0.000000 23) 0.000000 2.000000 24) 0.000000 1.000000 25) 0.000000 0.000000 26) 0.000000 0.000000 27) 0.000000 0.000000 28) 0.000000 0.000000 29) 0.000000 0.000000 30) 0.000000 0.000000 31) 0.000000 0.000000 32) 0.000000 0.000000 33) 0.000000 0.000000 34) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 8因为z2=6，故p3层次的优化模型中加上2d11+2d12+2d13+d21+d22+d236，得LP3min z3= 3d31+3d32+3d33+2d41+3d42+3d43+3d44+d51+d52+d53ST x11300 X12400X13450X21300X22350X23350Y11+d11=1Y12+d12=1Y13+d13=1y21+d21=1y22+d22=1y23+d23=1y31+d31=1y32+d32=1y33+d33=1y41+d41=1y42+d42=1y43+d43=1y51+d51=1y52+d52=1y53+d53=1y11+y12+y13+d1=1y21+y22+y23+d2=1y31+y32+y33+d3=1y41+y42+y43+d4=1y51+y52+y53+d5=1z1+s5-d6=0z2+s6-d7=0z3+s7-d8=0700y11+500y21+800y31+400y41+680y51-x11-0.945x21+z1+s1=700700y12+500y22+800y32+400y42+680y52+1.05x11-x12+0.24642x21-0.945x22-z1+z2+s2=900700y13+500y23+800y33+400y43+680y53+1.05x12-x13+0.236729825x21+0.24642x22-0.945x23-z2+z3+s3=1200s1+s2+s3+s5+s6+s7=02d11+2d12+2d13+d21+d22+d236EndLindo 求解LP OPTIMUM FOUND AT STEP 15 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 13.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST D31 0.350000 0.000000 D32 1.000000 0.000000 D33 0.650000 0.000000 D41 1.000000 0.000000 D42 0.000000 0.000000 D43 1.000000 0.000000 D44 0.000000 3.000000 D51 0.735294 0.000000 D52 0.264706 0.000000 D53 1.000000 0.000000 X11 0.000000 0.000000 X12 0.000000 0.000000 X13 280.000000 0.000000 X21 0.000000 0.000000 X22 0.000000 0.000000 X23 0.000000 0.000000 Y11 0.000000 0.000000 D11 1.000000 0.000000 Y12 0.000000 0.000000 D12 1.000000 0.000000 Y13 1.000000 0.000000 D13 0.000000 0.000000 Y21 0.000000 0.000000 D21 1.000000 0.000000 Y22 0.000000 0.000000 D22 1.000000 0.000000 Y23 1.000000 0.000000 D23 0.000000 0.000000 Y31 0.650000 0.000000 Y32 0.000000 0.000000 Y33 0.350000 0.000000 Y41 0.000000 1.000000 Y42 1.000000 0.000000 Y43 0.000000 0.000000 Y51 0.264706 0.000000 Y52 0.735294 0.000000 Y53 0.000000 0.000000 D1 0.000000 0.000000 D2 0.000000 0.000000 D3 0.000000 3.000000 D4 0.000000 3.000000 D5 0.000000 1.000000 Z1 0.000000 0.000000 S5 0.000000 0.000000 D6 0.000000 0.000000 Z2 0.000000 0.000000 S6 0.000000 0.000000 D7 0.000000 0.000000 Z3 0.000000 0.000000 S7 0.000000 0.000000 D8 0.000000 0.000000 S1 0.000000 0.000000 S2 0.000000 0.000000 S3 0.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 300.000000 0.000000 3) 400.000000 0.000000 4) 170.000000 0.000000 5) 300.000000 0.000000 6) 350.000000 0.000000 7) 350.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 0.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 12) 0.000000 0.000000 13) 0.000000 0.000000 14) 0.000000 -3.000000 15) 0.000000 -3.000000 16) 0.000000 -3.000000 17) 0.000000 -2.000000 18) 0.000000 -3.000000 19) 0.000000 -3.000000 20) 0.000000 -1.000000 21) 0.000000 -1.000000 22) 0.000000 -1.000000 23) 0.000000 0.000000 24) 0.000000 0.000000 25) 0.000000 3.000000 26) 0.000000 3.000000 27) 0.000000 1.000000 28) 0.000000 0.000000 29) 0.000000 0.000000 30) 0.000000 0.000000 31) 0.000000 0.000000 32) 0.000000 0.000000 33) 0.000000 0.000000 34) 0.000000 0.000000 35) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 15因为z3=13，故P4层次的优化模型中加上3d31+3d32+3d33+2d41+3d42+3d43+3d44+d51+d52+d5313，得LP4 Min z4= d1+d2+d3+d4+d5ST x11300 X12400X13450X21300X22350X23350Y11+d11=1Y12+d12=1Y13+d13=1y21+d21=1y22+d22=1y23+d23=1y31+d31=1y32+d32=1y33+d33=1y41+d41=1y42+d42=1y43+d43=1y51+d51=1y52+d52=1y53+d53=1y11+y12+y13+d1=1y21+y22+y23+d2=1y31+y32+y33+d3=1y41+y42+y43+d4=1y51+y52+y53+d5=1z1+s5-d6=0z2+s6-d7=0z3+s7-d8=0700y11+500y21+800y31+400y41+680y51-x11-0.945x21+z1+s1=700700y12+500y22+800y32+400y42+680y52+1.05x11-x12+0.24642x21-0.945x22-z1+z2+s2=900700y13