统计学4总体分布、参数估计.ppt

第四章总体分布 样本分布与参数估计 4 1总体分布与样本分布 一 总体 母体 反映总体特征的随机变量的取值的全体 总体分布 母体分布 反映总体特征的随机变量的概率分布 从无限次随机抽取 然后放回 的角度看 表征一个总体特征的变量 指标 都可以视为随机变量 有限总体的概率分布 就是有限总体中不同个体的比率 频率 分布 二 随机样本与样本观测值 样本数据 1 随机样本表征n次抽取个体的随机抽样的一组随机变量X1 X2 Xn 2 样本观测值n次随机抽样的结果 x1 x2 xn 称为随机样本X1 X2 Xn的样本观测值 n称为随机样本向量 X1 X2 Xn 的维度 即自由度 3 样本 累积 分布函数设样本观测值x1 x2 xnki为小于xi 1的样本值出现的累积频次 n为样本容量 则可得样本累积频率分布函数如下 样本累积频率分布函数 又称样本 累积 分布函数 样本 累积 分布函数Fn x 是对总体的累积分布函数F x 的近似 n越大 Fn x 对F x 的近似越好 样本分布与总体分布 格利文科 Glivenko 定理 样本分布与总体分布的关系 定理 当样本容量n趋于无穷大时 Fn x 以概率1 关于x 均匀地收敛于F x 该定理是运用样本推断总体的理论依据 定理的数学表达为 随机样本的均值函数和方差函数都是一个随机变量 样本数据的样本均值x是随机变量X的观测值 样本数据的样本方差s2是随机变量S2的观测值 随机样本的均值函数 随机样本的方差函数 三 统计量与统计量的分布统计量定义 统计量是不含未知参数的 随机样本X1 X2 Xn的函数 统计量的值的定义 统计量的值是不含未知参数的 样本观测值x1 x2 xn的函数 四 由标准正态分布N 0 1 的随机样本所引出的几个重要统计量分布 2 t与F分布1 2 n 分布的构成设随机变量X服从N 0 1 分布 X1 X2 Xn为X样本 则 2 X2i X21 X22 X2n服从自由度为n的 2分布 记为 2 2 n 2 n 分布的均值E 2 n 方差D 2 2n n 1 n 4 n 10 2 n 分布图 2 n 密度函数 其中 n为自由度 n 2 为珈玛函数 是一个含参数n 2的积分 为 2 t分布自由度为n的t分布 记为t n 是由N 0 1 分布和 2 n 分布组成的 其表达式为 其中 X服从N 0 1 Y服从 2 n 分布 且X与Y相互独立 密度函数为 t分布图 3 F分布F分布是由两个 2分布之比组成的 服从F m n 其中 U服从 2 m V服从 2 n m 100 n 20 m 15 n 20 重要性质 密度函数形式为 五 由一般正态分布的随机样本所构成的若干重要统计量的分布定理 若X1 X2 Xn是正态总体N 2 的一个随机样本 则样本均值函数和样本方差函数 满足如下性质 1 X服从N 2 n 分布 2 X与S2相互独立 3 服从N 0 1 分布 4 服从 2 n 1 分布 5 服从t n 1 分布 1 服从N 0 1 6 服从 2 n 分布 定理 若X1 X2 Xn1和Y1 Y2 Yn2分别是正态总体N 1 12 和N 2 22 的一个随机样本 且它们相互独立 则满足如下性质 3 服从F n1 1 n2 1 其中 S12是容量为n1的X的样本方差 S22是容量为n2的Y的样本方差 2 服从t n1 n2 2 1 2 4 服从F n1 n2 六 任意分布的随机样本均值函数的均值与方差设 随机变量X服从任何均值为 标准差为 的分布 X是随机样本X1 X2 Xn的均值函数 记随机变量X的分布函数的均值为 X 标准差为 X 则有如下结论成立 X 2 X n或 2X 2 n 注 一个应用广泛的样本均值函数的均值和方差 0 1分布的样本均值函数均值和方差 反映总体中某类个体的比例的随机变量X 可以简单地用0 1分布B 1 p 表示 E X p D X p 1 p p是总体中某类个体的比例 由样本X1 X2 Xn产生均值函数X的均值 X p 方差的均值也是总体中某类个体的比例p 所以 常用x来估计p 七 大样本均值函数的分布 中心极限定理设 随机变量X服从任何均值为 标准差为 的分布 X是随机样本X1 X2 Xn的均值函数 中心极限定理 当n充分大时 X近似地服从均值为 标准差为 n的正态分布 在实际问题中n多大 但一般n 30 对于一个学生而言 来参加家长会的家长人数是一个随机变量 设一个学生无家长 1名家长 2名家长来参加会议的概率分别为0 05 0 8 0 15 若学校共有400名学生 设各学生参加会议的家长数相互独立 且服从同一分布 1 求参加会议的家长数X超过450的概率 2 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率 解 中心极限定理例题解析 根据中心极限定理 中心极限定理可得 对比总体参数和样本统计量 4 2点估计在实际问题中 人们常常判断总体分布的参数 这就需要用样本来推断总体分布的这些参数 这就是参数估计 参数估计分为 点估计和区间估计两种方法 1 点估计概念设 是总体分布中一个需要估计的参数 现从总体中抽取一个随机样本X1 X2 Xn 记估计 的统计量为 则称为 的估计量 若得到一组样本观测值x1 x2 xn 就可得出 的估计值 记 注 在选取样本统计量作为点估计时 必须考虑到 无偏差性 这一点很重要 如果样本统计量的期望值 或均值 与打算估计的总体参数值相同 则估计值不存在偏差 总体分布参数 的点估计 就是求出 的估计值 对比总体参数和样本统计量 点估计 2 矩法估计就是用样本矩来估计总体矩 矩的一般形式 E Xk 表示k阶原点矩 以原点为中心 E X k表示k阶中心矩 以 为中心 3 极大似然估计法设 总体X的 累积 概率分布函数为F x 概率密度函数f x 其中 为未知参数 也可以表示未知参数向量 若X为离散型随机变量 则由离散型与连续型的对应关系 f x 对应于离散情况下的概率P X x X为连续型随机变量时 X的随机样本X1 X2 Xn的联合概率密度函数为 称为 的极大似然估计函数 当X为离散随机变量时 L表示概率 L关于 的极大值如果存在 极大值就是 的极大似然估计值 其含义是 一组观测值x1 x2 xn在一次实验中出现了 其联合概率就应当是最大的 所以选择使联合密度L最大的那个 例 设x1 x2 xn是正态总体N 2 的一个样本观测值 求 与 2的极大似然估计值 解 极大似然函数为 取对数 分别对 与 2求偏导 并令偏导为0 可求出 与 2的极大似然估计值如下 如果将上述xi换成Xi 上式成为极大似然估计量 例 设X服从区间 a b 上的均匀分布 a b是求知参数 x1 x2 xn 是来自总体X的样本 求a b的矩估计量解 X的密度函数 4 3判别点估计的优劣标准 1 无偏估计量 如果 则称为 的无偏估计量 2 最小方差性若总体参数为 的估计量的方差Var 小于等于其他所有对 的估计量的方差 即则称 的估计量具有最小方差性 3 有效估计量如果一个估计量满足 1 无偏性 2 最小方差性 那么 该估计量为有效估计量 4 渐近无偏估计量如果 n为样本容量 则称为渐近无偏估计量 5 一致估计量如果满足 则称为 的一致估计量 一致估计量的另一等价定义 1 渐进无偏的 2 9 渐进有效性如果一个估计量满足 1 是一致估计量 2 比其它的估计量更小的渐进方差 注 在实践中广泛应用的准则 1 小样本准则a 无偏性 b 有效性 2 大样本准则一致估计量 渐进方差定义 例 设 x1 x2 xn 是来自具有有限数学期望的任一总体X的一个样本 记E X a 证明 是a的无偏估计 4 4区间估计 1 置信区间若总体分布含有一个未知参数 找出了2个依赖于样本X1 X2 Xn的估计量 使 其中 0 1 一般取0 05或0 01 则称随机区间为 的100 1 的置信区间 百分数100 1 称为置信度 2 总体均值的置信区间 总体方差已知 设 总体X服从已知N 2 2已知 抽取n个观 测值x1 x2 xn 求总体均值 的100 1 如 95 的置信区间 首先构造 因为X服从N 2 n 分布 所以Z服从N 0 1 分布 由 得置信区间 Z 2 Z1 2 1 2 2 例 设 总体X服从已知N 0 09 抽取4个观测值x1 x2 x3 x4 求总体均值 的95 的置信区间 解 由已知 1 0 95 0 3 n 4根据 得到 查表得z0 025 1 96 于是置信区间为 X 0 294 X 0 294 置信度为95 也就是说 总体均值 以95 的概率在该区间内 3 总体均值的置信区间 总体方差未知 设 总体X服从已知N 2 2未知 抽取n个观测值x1 x2 xn 求总体均值 的100 1 95 的置信区间 首先构造 可得置信区间 由 将n个观测值x1 x2 xn代入上式得到置信区间 4 总体方差的置信区间 未知总体均值 设 总体X服从已知N 2 未知 抽取n个观测值x1 x2 xn 求总体方差 2的100 1 95 的置信区间 首先构造 得到置信区间 由 将n个观测值x1 x2 xn代入上式得到置信区间 5 总体比例的置信区间Letpdenotetheobservedproportionof successes inarandomsampleofnobservationsfromapopulationwithaproportion ofsuccesses Then ifnislargeenoughthat n 1 9 thena100 1 confidenceintervalforthepopulationproportionisgivenby orequivalently wherethemarginoferror thesamplingerror orbound B isgivenbyandZ 2 isthenumberforwhichastandardnormalvariableZsatisfies 总体方差的区间估计 例题分析 例 一家食品生产企业以生产袋装食品为主 现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋 测得每袋重量如下表7所示 已知产品重量的分布服从正态分布 以95 的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间 总体方差的区间估计 例题分析 解 已知n 25 1 95 根据样本数据计算得s2 93 21 2置信度为95 的置信区间为 该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为7 54克 13 43克 总体均值的区间估计 例题分析 例 已知某种灯泡的寿命服从正态分布 现从一批灯泡中随机抽取16只 测得其使用寿命 小时 如下 建立该批灯泡平均使用寿命95 的置信区间 总体均值的区间估计 例题分析 解 已知 N 2 n 16 1 95 t 2 2 131 根据样本数据计算得 总体均值 在1 置信水平下的置信区间为 该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476 8小时 1503 2小时 对比总体参数和样本统计量 区间估计 总体参数值很可能落在区间估计所包括的数值范围内 使我们知道被估计值可能产生多大的误差边际 给出估计的信赖程度 或置信度 对比总体参数和样本统计量 定义 与区间估计相联系的信赖程度 常常用 1 100 来表示 置信水平 置信区间 指某一指定置信水平下的区间估计 该区间包括了总体参数的真值 置信水平高 置信区间就宽 对比总体参数和样本统计量 对比总体参数和样本统计量 x 2 对比总体参数和样本统计量 解释95 的置信区间表达了什么含义 95 的置信水平意味着 如果从总体中随机抽取容量为n的所有可能样本 并相应计算这些样本的置信区间 则在计算之后有95 的区间将包括总体参数的真值 总体均值的置信区间 已知 1 无论样本容量为多少 原有总体服从正态分布 或者 2 原有总体不服从正态分布 但样本容量n 30 服从均值 标准差为的正态分布 而且 总体均值的置信区间 已知 1 100 水平下的置信区间 即 因此 总体均值的置信区间 已知 举例 根据以前获得的经验 我们知道某台机器在生产训练用的钢管时 其直径的标准差为0 135厘米 如果从中抽取30根管子作为一个简单随机样本 则这些管子的平均直径为3 6厘米 请问在95 的置信水平下 这些管子的平均直径的置信区间是多少 根据中心极限定理 近似服从正态分布 总体均值的置信区间 已知 在95 水平下的置信区间是 而且 3 6 1 96 0 02465 3 55 3 65 在95 的置信水平下 由这台机器生产的训练用管子 其平均直径应当在3 55厘米至3 65厘米范围之内 如果总体的 未知 则的抽样分布服从自由度为n 1的t分布 即 如果样本容量足够大 我们可以用正态分布而不是t分布 总体均值的置信区间 未知 总体均值的置信区间 未知 如果是大样本 n 30 则在 1 100 水平下 的置信区间是 如果是小样本 n 30 并且原有总体近似服从正态分布 则在 1 100 水平下 的置信区间是 总体均值的置信区间 未知 一家邮购公司在圣诞节前的一周内会接听大量的订购电话 过去经验表明 由于工作人员每天可能要接听几千个电话 因此为了及时处理打入的电话数量 有必要增加销售人员人数 为此 这家公司记录了75 的员工在每8小时之内接听电话的数量 结果发现他们平均要接听89 6个电话 而且标准差为17 32 请问在90 的置信水平下 被接听电话的平均数量的置信区间是多少 举例 总体均值的置信区间 未知 s 17 32 n 75 大样本 的抽样分布近似服从以下参数的正态分布 在90 水平下 的置信区间 而且 89 6 1 645 2 86 31 92 89 总体均值的置信区间 未知 举例 一家会计公司想要设立一项时间标准 以便其工作人员能及时完成某类审计工作 它抽取了18名初级审计员作为一个样本并记录了他们的审计时间 结果发现这些人员的平均审计时间为3 2个小时 标准差为1 6个小时 请问在95 的置信水平下 当完成某类审计工作时其平均审计时间的置信区间是多少 总体均值的置信区间 未知 s 1 6 n 18 小样本 的抽样分布服从自由度为17的t分布 在95 水平下 的置信区间 而且 3 2 2 11 0 377 2 404 3 996 总体均值的置信区间 样本容量 在