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文档简介

46 图乘法 我们已经知道，计算荷载作用下结构的弹性位移时，需要求下列形式的积分的数值。这里，、是两个弯矩函数的乘积。对于直杆或直杆的一段，若EI是常量，且积分号内的两个弯矩图形中有一个是直线图形，则可用图乘法计算积分，极为方便。下面说明图乘法的内容和应用 图420所示为直杆AB的两个弯矩图，其中图为一直线。如果该杆截面抗弯刚度EI为一常数，则 (a)以O为原点，以表示图直线的倾角，则图上任一点标距（纵坐标）可表示为因此， （b）式中，可看作图的微分面积（图420中画阴影线的部分）；是这个微分面积对y轴的面积矩。于是就是图的面积对y轴的面积矩。以表示图的形心C到y轴的距离，则将上式代人式（b），得到 (c)其中，是在图形心C对应处的图标距。利用式（c），式（a）可写成 （4 29） 这就是图乘法所使用的公式。它将式（a）形式的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距的问题。 应用图乘法计算时要注意两点： （1）应用条件：杆件应是等截面直杆，两个图形中应有一个是直线，标距应取自直线图中。（2）正负号规则：面积与标距在杆的同一边时，乘积取正号；与在杆的不同边时取负号。图421给出了位移计算中几种常见图形的面积和形心的位置。用抛物线图形的公式时，必须注意在抛物线顶点处的切线应与基线平行。 下面指出应用图乘法时的几个具体问题。 （1）如果两个图形都是直线图形，则标距可取自其中任一个图形。 （2）如果一个图形是曲线，另一个图形是由几段直线组成的折线，则应分段考虑。对于图 422所示的情形，则有（3）如果图形比较复杂，则可将其分解为简单图形来考虑。 例如，图423中两个图形都是梯形，可以不求梯形面积的形心，而将其中一个梯形（图）分为两个三角形（也可分为一个矩形和一个三角形）再应用图乘法。因此 （a）其中，所以:又如，图 424中的图可以分解为两个三角形：三角形 ADB在坐标轴以上，三角形ABC在坐标轴以下。这时所以: 图425a所示为一段直杆AB在均布荷载q作用下的图。由第二章可知，图是由两端弯矩、组成的直线图（图425b中的图）和简支梁在均布荷载q作用下的弯矩图(图425c中的图）叠加而成的。因此，可将图分解为直线的图和抛物线的图，然后再应用图乘法。还要指出，所谓弯矩图的叠加是指弯矩图纵坐标的叠加。所以虽然图425a中的M图与图425C中的M图形状并不相似，但在同一横坐标C处，二者的纵坐标是相同的，微段的微小面积（图中带阴影的面积）是相同的。因此，两图的面积和形心的横坐标也是相同的。例48 用图乘法计算图426a所示简支梁在均布荷载q作用下的B端转角。例49 图427a所示为一悬臂梁，在A点作用集中荷载P，求中点C的挠度。例410 图428a所示为一
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