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文档简介

浅谈矢量法在中学数学中的新应用既有大小又有方向的量叫做矢量。利用矢量的有关性质去解题的方法叫做矢量法。它在中学数学中有什么应用？一、利用矢量共线性质去求某点的坐标。例：已知的顶点坐标依次为A（1，0），B（6，4），C（8，-4）， 在边AC上QoPAxyBC存在一点P，过点P作PQ|BC与AB交于点Q，若PQ恰好将的面积平分，求点P的坐标。 分析：本题涉及相似比和面积比的关系，其基本常规思路是：判断相似，由面积比导出相似比，再由长度比过渡到数量之比，进而讨论出定比，最后利用分点坐标公式，去求解。但是，在使用定比分点坐标公式时，可能会让一些学生因为弄不清，的值而出错。怎么办呢？我们不妨巧取定比，利用矢量共线性质去求，从而避免易错点的产生。详见如下：解：PQ|BC， 又，即 设P点的坐标为（x，y）A、P、C三点共线，即、共线，即（7，-4）=（x-1，y）由矢量相等性质，解得x=，y=。点P的坐标是（，）。二、利用矢量的模的性质去求函数的最值。例：已知a、b、c是正数，求函数的最小值。解：构造向量，则 ， 即的最小值为本题关键在于巧妙地构造向量，然后运用向量的代数和几何的有关性质去求解。三、利用矢量的数性积求解空间角。两个矢量、的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量和的数性积，即。它是解决空间角问题的钥匙，是证明两直线垂直与直线和平面垂直的常用工具。例：如图，在正三棱柱中，D、E分别是棱BC、的中点，AB=2。C1CBDAA1B1E（1） 证明： （2） 求二面角的大小。 分析：倘若我们利用三垂线定理等有关几何性质去证明和求解，在思考时往往会比较抽象。但是，我们借用矢量的数性积这一工具去求解，就会简单和具体。详见如下：解：（1）以A为原点，以过A点且平行于CB的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，由AB= AA1=BC=2得A（0，0，0），B（1，0），C（-1，0），D（0，0），E（-1，1），B1（1，2）。，又 （2） 由（1）知0，0 又且 ，则是平面的一个法向量 设平面的一个法向量 1，0，=0，0，2， 由，得 ，令=1得 所求的二面角的大小为.四、利用矢量的混合积求解空间几何体的体积。给定空间的三个矢量、，如果先做前两个矢量与的矢性积，再做所得的矢量与第三个矢量的数性积，最后得到的这个数叫做三矢量、的混合积，记做或（，）或（）。定理：三个不共面矢量、的混合积的绝对值等于以、为棱的平行六面体的体积V。例：已知四面体ABCD的顶点坐标A（0，0，0），B（6，0，6），C（4，3，0），D（2，-1，3），求它的体积。分析：倘若我们按照常规方法直接求出这个四面体的底面积和高，其运算过程比较繁杂。但是，我们能利用矢量的混合积定理去求解，就会收到化繁为简的效果。详见如下：解：由初等几何知道，四面体ABCD的体积V等于以AB、AC、AD为棱的平行六面体的六分之一，即V=又=6，0，6，=4，3，0，
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