高等数学5-2高数一组孙森.docx

习题5-2高数一组（A）1、 用比较审敛法判断下列级数的敛散性（1） n=114n+1解：14n+114n+1+3=14(n+1)由n=11n发散，得n=114（n+1）发散。由比较审敛法得原式发散。（2） n=11n+1（3n+2）解：1n+1（3n+2）1（n+1）3n2n+2-1n+2=1n+2 由n=11n发散，得n=11n+2发散。由比较审敛法得原式发散。(4) n=1sin2n 解：正弦函数在（0，2）单调递增，sin2n单调递减，且小于等于1，sinxx。 得：sin2nn,得1nn2，得nnn2n。当n=1时，sinnnn=0.当n2时，又正弦函数在（0，2）单调递增，sinnnnsin2n。由n=1sinn发散，得n=1sin2n发散，得原式发散。（6）n=1n+12nn解：n+12nn=12n+12nn0）解：当a=1时，原式=n=112,显然发散。当a1时，an1+a2n1时，n=11an收敛，得原式收敛。当a1时，an1+a2nan.由n=1an收敛，得原式收敛。2、 用比值审敛法判别下列级数的敛散性。（1）n=1n33n解：limnn+133n+1n33n=limnn+133n3=131。由比值审敛法知原级数发散。（3）n=1nsin2n解：limn(n+1)sin2n+1nsin2n=limn(n+1)2n+1n2n=121.由比值审敛法知原级数收敛。（4）n=12nn!nn解：limn2n+1(n+1)!(n+1)n+12nn!nn=limn(n+1)2n(1n+1)n+1=2e1,由比值审敛法知原级数发散。（6）n=1n!(2n-1)!解：limn(n+1)!(2n+1)!n!(2n-1)!=limn(n+1)n2n+1!2n+1!-1*2n-1!=01,由比值审敛法知原级数收敛。3、 用根值审敛法判别下列级数的敛散性。（1） n=1（n3-1）n解：limnnn3-1n=limnn3-1=01, 由根值审敛法知原级数收敛。（2） n=1（n2n-1）2n+1解：limnn（n2n-1）2n+1=limn（n2n-1）2n+1n=00)解：limnnaln(1+n)n=limnnaln(1+n)=01, 由根值审敛法知原级数收敛。（4） n=1(2nsin1n)2解：limnn(2nsin1n)2=limn(2nsin1n)2n=1， 又n1时，1(2nsin1n)sin1n由n=1sin1n发散得原级数发散。（5） n=1(nn+1)n2解：limnnnn+1n2=limnnn+1n=e-10,b0)解：1an+b1an, 由n=11n发散，得n=11an发散。由比较审敛法得原式发散。（2）n=1n(45)n解：limn(n+1)(45)n+1n(45)n=451由比值审敛法知原级数收敛。（3）n=1n3n!解：limn(n+1)3(n+1)!n3n!=limn1(n+1)(n+1n)3=01由比值审敛法知原级数收敛。（4）n=1n(ne-1)2n解：limnnn(ne-1)2n=limnn(ne-1)2=limt0(et-1)2t=120,b0)解：n=11+an1+bn=n=111+bn+n=1an1+bn当b1,bn1，11+bn12，易得n=111+bn发散，得原式发散。当b1时，11+bn1bn，易得n=111+bn收敛。a) an1+bnanbn，易得a1,a1n+1, limn1n=0,由莱布尼茨审敛法得原式收敛。有p级数易得n=11n发散，所以原式条件收敛。（2） n=1(-1)nn3n解：n3n-n+13n+1=2n-13n+10, limnn3n=0,由莱布尼茨审敛法得原式收敛。limnn+13n+1n3n=13sin1n+1, limnsin1n=0,由莱布尼茨审敛法得原式收敛。n=1sin1n发散易得原式条件收敛。（4） n=1-1n+1（1-cos1n）解：1-cos1n1-cos1n+1, limn（1-cos1n）=0,由莱布尼茨审敛法得原式收敛。1-cos1n=sin212nsin212n1n+1，limn1n=0, 由莱布尼茨审敛法得n=1-1n+11n收敛。则原式收敛。1n-1n2+11n, n=11n发散，得原级数条件收敛。（6） n=1（-1）n2nn!解：n1,则n+12,得2nn!2n+1(n+1)!，limn2nn!=0, 由莱布尼茨审敛法得n=1（-1）n2nn!收敛。limn2n+1（n+1）!2nn!=limn2n+1=01,由比值审敛法知原级数绝对收敛。（B）6、设数列nan有界，证明n=1an2收敛。证明：数列nan有界，不妨设nanM，（M0，为某一常数）。则（nan）2M2。得：an2M2n2,有p级数易得n=1M2n2收敛。由比较审敛法得n=1an2收敛。7、若n=1an与n=1cn都收敛，且anbncn(n=1,2,3)，证明n=1bn收敛.证明：n=1bn=n=1（bn-an）+n=1an，而cn-anbn-an0, 且n=1cn-an收敛，正项级数收敛其前n项部分和有界，得 n=1bn-an，其前n项部分和也有界，得n=1（bn- an）收敛， 又n=1an收敛，得证。8、如果正项级数n=1an收敛，试证明n=1ann也收敛。证明：21nanan+1n2,又n=1an收敛且n=11n2收敛.得证 n=1ann也收敛。9、设n=1an+，n=1an-分别是级数n=1an的正部与负部。证明：（1）n=1an绝对收敛的充分必要条件是其正部与负部同时收敛。（2）n=1an条件收敛的充分必要条件是其正部与负部同时发散。证明：（1）a) n=1an绝对收敛，则n=1an收敛，且-n=1an也收敛。又-anan+an，-anan-an，由第七题易得正部与负部同时收敛。c) 正部与负部同时收敛。则n=1an+n=1an-也收敛。n=1an+n=1an-=n=1an。即得证。（2）a）n=1an条件收敛，即n=1an发散，且n=1an收敛。反证法：如果其正部与负部不同时发散。有下列情况