第1~4章 部分习题解.doc

第一章1-1一维运动的粒子处在下面状态将此项函数归一化；求粒子坐标的概率分布函数；在何处找到粒子的概率最大?解：（1）由归一化条件，知 得到 归一化常数 所以 归一化波函数为 （2）粒子坐标的概率分布函数（3）令 得到 ，根据题意x=0处，所以处粒子的概率最大。1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n。距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少?n取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?当n时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?解：（1）距势阱的左壁1/4宽度，即x的取值范围是-a-a/2，发现粒子概率为：（2）n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大。（3）当n时，。这时概率分布均匀，接近于宏观情况。1-3一个势能为的线性谐振子处在下面状态，求归一化常数A；在何处发现振子的概率最大；势能平均值解： （1）利用泊松积分由归一化条件： （2） 振子的概率密度 令，即振子出现的概率最大位置是x=0。 （3）势能平均值 1-4设质量为m的粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级。解: 注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。半谐振子与对称谐振子在x0区域满足同样的波动方程，但根据题意，xDTD介于、之间的温度。提示：根据第二章中描述图2-39的曲线的形成进行分析。第三章1. 按照经典的观点，在室温下，金属中每个电子对比热的贡献为，按照量子论的观点，如取，则为，只为经典值的1/60。试解释何以两者相差这么大。提示：两种情况下电子服从的统计分布不同，量子论观点认为只有能量高于费米能的那些电子对比热才有贡献。2. 限制在边长为L的正方形中的N个自由电子。电子能量(a) 求能量E到E+dE之间的状态数；(b) 求此二维系统在绝对零度的费米能量。解： （a）二维平面波矢k的分布密度，那么以波失k为半径的圆面积中的状态总数为：，式中系数2的引入是因为考虑每个状态可容纳自旋相反的两个电子。由公式3-7得到，所以；所以能态密度 得到能量E到E+dE之间的状态数 （b）T=0 K时，系统总电子数可以表示如下，其中，电子浓度3. 设有一金属样品，体积为，其电子可看作自由电子，试计算低于5ev的总的状态数。解：低于5ev的总的状态数为 4. 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成若一个摩尔的钾有N=61023个电子，试求钾的费米温度和拜温度。解：低温下金属的热容量由电子热容和晶格热容构成，且电子热容正比于T，晶格热容正比于T3。所以有5. 一维周期场中电子波函数应当满足布洛赫定理，若晶格常数是a，电子的波函数为(a)(b)(c) (f是某个确定的函数)试求电子在这些状态的波矢解: (a) 所以 考虑到 则有 所以，仅考虑第一布里渊区，（b） 与（a）同样方法，得，仅考虑第一布里渊区内，内（c） 与（a）同样方法，得 ，仅考虑第一布里渊区内， 6.证明，当时，电子数目每增加一个，则费米能变化其中为费米能级的能态密度。解：由本教材第三章的式（3-21）知电子每增加一个，费米能级的变化为注意到， ，所以并由本教材第三章的式（3-14）可得到：所以7.试证明布洛赫函数不是动量的本征函数提示：只要证明即可，其中为动量算符，为布洛赫函数8. 电子在周期场中的势能且a=4b，是常数。试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。解：V(x)曲线如下图所示：V(x)是以a为周期的周期函数，所以第四章4.当E-EF 分别为kT、4kT、7kT，用费米分布和玻尔兹曼分布分别计算分布概率，并对结果进行讨论。解：电子的费米分布 ，玻尔兹曼近似为（1）E-EF=kT时 ，（2）E-EF=4kT时 ，（3）E-EF=7kT时 ，当远大于1时，就可以用较为简单的玻尔兹曼分布近似代替费米狄拉克分布来计算电子或空穴对能态的占据概率，从本题看出E-EF=4kT时，两者差别已经很小。5. 设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近的能量Ec(k)和价带极大值附近的能量Ev(k)分别为 ，式中m为电子惯性质量，,试求出：（1）禁带宽度（2）导带底电子的有效质量；（3）价带顶空穴的有效质量；（4）导带底的电子跃迁到价带顶时准动量的改变量。解： （1） 令 即 得到导带底相应的 令 即 得到价带顶相应的 故禁带宽度 将k1= / a 代入，得到（2）导带底电子有效质量 （3）价带顶空穴有效质量 （4）动量变化为 7. 试证明半导体中当且电子浓度空穴浓度时，材料的电导率最小，并求的表达式。试问当n0和p0（除了n0= p0 =ni以外）为何值时，该晶体的电导率等于本征电导率？并分别求出n0和p0。已知解：（1）由 得 ，又，所以当，时，（2）当材料的电导率等于本征电导率时，有： 即 解得： 计算得： 故，时，该晶体的电导率等于本征电导率。15. 一块补偿硅材料，已知掺入受主杂质浓度NA=11015cm-3, 室温下测得其费米能级位置恰好与施主能级重合，并测得热平衡时电子浓度n0=51015cm-3 。已知室温下本征载流子浓度ni=1.51010cm-3,试问： （1）平衡时空穴浓度为多少？ （2）掺入材料中施主杂质浓度为多少？ （3）施主和受主杂质电离浓度分别为多少？ （4）施主杂质未电离浓度为多少？（1）