统计热力学(班)第一章电科 (1).doc

统计热力学数理基地：98级00.8.21；99级01.8.27；00级02.8.27；01级03.8.26； 电科： 03级05.09.13-;参考书目：见书后附录。主要参考书：汪志诚：热力学统计物理。 王竹溪：热力学简程、统计物理导论。 梁希侠、班士良：统计热力学考试方法：考试成绩：80%；作业成绩20%（分为四等）；对象：大量粒子组成的系统，如粒子数密度，气体为1019/cm3，金属102324/cm3。目的：有关热现象的基本规律。方法：热力学唯象，统计物理微观。本书特色：贯彻统计物理为主线，系综理论为纲。内容分为A,B,C,本章内容全部为A。第一章 引论（Introduction）1-1 粒子微观状态的描述（Description of microscopic states）1自由粒子（Free particles）2线性谐振子（Linear harmonic oscillators）3电子的自旋（Spins of electrons）4经典极限（Classical limit）5经典粒子微观状态与空间体积元的对应关系（Corresponding relation between microscopic states of classical particles and volume elements in space）19、20世纪交替时，牛顿力学在解释黑体辐射与固体低温比热时，遇到不可跨越的困难，需建立新的力学框架量子力学，其基本原理如下：Duality of waveparticle for a micro-particle1924年提出了de Broglie Relation； Uncertainty relation；结论之一为动量与坐标不可同时确定，即：，或为planck常数，在量子力学中粒子的微观状态由一组量子数描述，量子数之数目等于粒子的自由度数。1自由粒子： 如理想气体分子，金属中的电子。一维：由周期性边界条件 ，。其中描述状态，则, ，有，故一个态在平面占据的面积为，能量的可能值称为Energy level。特点：能级分立 ，能级间距 若一个能级的状态不止一个时，称为Degeneracy，状态数为简并度，上述能级为二度简并。三维：能级状态由三个量子数描述，能级简并较复杂，如：能级，简并度为6。2线性谐振子： 如双原子分子的相对振动，晶格振动一维：由一个量子数描述状态，能量可能值能级间距：，特点：等间距，无简并。3电子的自旋： 通过Stern-Gerlach实验验证。 Real orbit points N S Expected orbit H at s state z 设：如图 向磁场，态H的轨道分为二条。说明：H有Internal磁矩（Spin）， 1925年Uhlenbeck解释：其自旋角动量在或任意方向投影为，且，自旋量子数。自旋磁矩 能级 即：电子自旋为一个自由度，无磁场时为二度简并，量子数为，为量子效应（第一次课）。4经典极限当时，仅有粒子性，状态确定，由动量和坐标描述。设粒子自由度为，个广义坐标： 动量：状态与一一对应，由构成维空间，称为空间，或分子空间，其中一点为代表点，代表点状态。状态变化，代表点形成轨道。一维自由粒子：状态由描述，满足，。特点，能量连续，空间为二维，能量给定的状态在空间为一直线。三维自由粒子：对于给定动量的状态，在空间为5维“曲面”。线性谐振子：，空间为二维。上式可写成给定能量状态在空间为一椭圆，长、短半轴分别为。图略。5经典粒子微观状态与空间体积元的对应关系对于自由度为的粒子，由不确定原理：广义坐标和广义动量的不确定范围为，此时，状态连续变化，为统计状态数，可做半经典近似，即：空间体积元中微观状态数为：一个三维自由粒子在动量间隔，坐标间隔内的微观状态数为：在体积V中，内可能的微观状态数为在V内范围内可能的微观状态数为称为态密度，对于自由电子，考虑自旋，状态数需在上面各式上乘2。作业：1.1。问题讨论：1量子力学对粒子运动状态描写的特点？2边界条件的选定对粒子物理的影响？3什么是“半经典”近似？1-2 系统微观状态的描述（Description of Microscopic States of Systems）1全粒子组成的系统（Systems consisting of identical particles）2量子情形（Quantum Case）3经典情形（Classical case）统计物理的目的：由微观量求宏观量，而宏观量与系统的微观状态数有关。每个单粒子各有一个可能的微观状态之总和，构成系统的一个可能的微观状态。1全同粒子组成的系统全同粒子组成的系统遵从全同性原理，即粒子不可分辨。我们讨论近独立粒子组成的系统，即，强调相互作用弱、经充分长时间后系统处于平衡态。2量子情形：（1） 玻色子（Boson）（系统）：自旋量子数为整数，如光子（量子数为1），遵从全同性原理，交换任何两粒子构成系统新的微观状态，任一单粒子态对填充的粒子数无限制。（2） 费米子（Fermion）：自旋为半整数，如电子，遵从全同性原理和泡利不相容原理；任一单粒子态最多只能被一个粒子占据。（3） 定域子系统（Localized particle）：为Boltzmann系统，粒子可分辨，即经典情形。例1：一个二粒子系统，单粒子态有三个系统状态BosonFermionBoltzmann123123123AAAABAAAABAAAABAAABAABAAAABBAABBA6393经典情形：粒子运动为轨道性的，可分辨，设一粒子系统，每粒子自由度为，个， 个组成空间。一个点代表单粒子的一个态，系统的一个微观态由空间N个点表示。还可由个和个构成维空间，称为空间或相空间。系统的一个微观态由空间的一个点（代表点Representative points）表示。代表点系统的微观态。状态的变化对应于空间代表点运动形成的一条轨道。由于点无面积，状态不可数，可采用半经典近似，即粒子一个态在空间占体积系统一个态在空间占体积若已知代表点允许的空间体积，可计算出微观态数。问题：1 半经典近似的根据是什么？一个状态在空间占据的体积由何得出？2 三种系统的特点是什么？3 我们用到的量子力学基本原理有几个，是什么？（见前面）1-3 统计物理中的几个数学问题（Several Mathematical Problems in Statistical Physics）1 Basic concepts about probability2 Permutations & combinations3 Stirling formula 4 Several definite integrals1.（1）事件(Events)随机事件Random 互斥事件Exclusive，Stochastic， 独立事件Independent，必然事件Inevitable。（2）几率(Probability) 随机事件出现的几率满足 为观察次数，为出现的次数。性质：（）； （）相加性，互斥事件，或出现的几率为； （）归一性Normalization； 全部互斥事件之和为必然事件，几率和归一: ； （）相乘性，独立事件同时出现的几率满足相乘性 （3）随机变量（Variable）：若对事件赋值，则构成变量。随机事件赋值后构成随机变量，分为离散性（discrete）和连续性（continuous）两种。如前所述，几率为离散型的。考虑与三维空间坐标一一对应的连续随机变量。事件在 。体积元中出现的几率为，为几率密度。可知 （）为 （）为 （）、（）学生自己推广。（4）统计平均（Statistical average） 设物理量为随机变量的函数 离散型 几率为，则，= 连续型 ， 则， 为几率密度。（5）统计独立性（Independent property of statistics），设为第一组事件（互斥）中的某一事件；为第二组事件（互斥）中的某一事件； 第一组与第二组相互独立，则即事件出现的几率与第二组事件存在与否无关，称为。连续型见书。若的可能取值为 几率，若的可能取值为 几率，则，连续型见书。（6）涨落（Fluctuation）绝对（Absolute）涨落，相对（Relative）涨落 2排列与组合（自阅）。3Stirling公式：为大数时 4几个定积分（自阅） 记忆： 作业： 1.2，1.3,1.4,1.5问题讨论：1.何为统计独立性？1-4 分布和微观状态（Distribution & Microscopic States）1.Bose Systems 2.Fermi Systems 3.Boltzmann Systems 4.Classical limit由于全同性原理，不能确定粒子所处的状态，只能讨论粒子可能的量子态分布和对应的微观状态数。引入宏观态和微观态的概念。 孤立系（Isolated Systems）：与外界既无能量又无粒子交换的系统为。考虑近独立粒子组成的系统，设给定的宏观条件为确定，即为孤立系。分布为粒子占据状态或能级的方式。设粒子能级为，简并度为； 粒子数为 ，称为分布，下面讨论对于给定的分布时，系统的微观状态数。1玻色系统：用表示状态，表示粒子，先认为和可编号，然后去掉由此带来的重复，先考查能级，将和排成一排。可能的占据方式数为 对于给定的分布，系统的微观状态数为2费米系统：对能级个态，要求（Pauli不相容原理）个粒子可能的占据方式数为对给定的分布，可能的微观状态数3Boltzmann系统对能级，有种占据方式，所有能级占据方式数为，但单粒子能级个粒子已编号，故去掉（除），再加（乘）不同能级所有粒子交换数。对于给定分布，可能的微观状态数为当，Pauli不相容和能级简并对占据影响不大，此时称为非简并性条件，B、F分布与M-B分布的差别在于全同性原理的计入，全同性原理对有微观量对应的宏观量（内能，压强）无影响，对与微观态数有关的量如熵等有影响。4 经典极限，用描写状态，将空间分为一系列相格，如1-1， ，状态数对于给定分布，由M-B分布知，可能的微观状态数为1-5 统计物理的基本原理（Basic Principles of Statistical Physics）1 统计规律性（Statistical law）2 统计系综（Statistical Ensemble）1经典力学规律是确定论，量子力学为非确定论，但两者均为力学规律。统计物理研究热现象的宏观规律，对于给定的宏观条件下，不能确定微观态究竟为何，但可假定系统处于某一态的几率，根据该几率可对力学量求统计平均而得宏观性质。力学量在某一态的取值（态指微观态）称为微观量。宏观量有两种，对应、不对应微观量，对有微观量对应的宏观量的测量，可在宏观短微观长，如10-6/sec内完成。如理想气体分子密度为1019/cm3，每cm3中碰撞频率为1029/sec。在10-9/cm3中10-6秒内还有1014次碰撞。引入宏观短微观长的概念，在这一意义下求统计平均；至于无微观量对应的宏观量，与微观态出现的几率对应，亦可理解为与几率有关的量的统计平均，如熵。统计规律为：宏观量是微观量的统计平均。2统计系综，对于一个系统进行大量次观测和对大量个系统进行一次观测是等价的，如掷硬币。一个系统在s态的几率为，对个系统观测可求出一个系统在s