链式法则的一般形式.doc

链式法则的一般形式 若u = f (x1, xn), x i = j i (t1 , tm), (i = 1, , n), 则, 即(j = 1, , m). 总之, 复合函数对自变量的偏导数等于所有对中间变量的偏导数与中间变量对自变量的偏导数之积的和. 特例: j (t) = f (tx) = f (tx1, tx n), j (t) = x1 D1 f (tx) + + xn Dn f (tx). *(齐次函数的Euler公式) (p.123.6对三元函数) 若存在k使f : RnR满足f (tx) = t k f (x) (t 0, xRn. 书上的定义中k 0, tR), 则称f为k次齐次函数. 证明: 可微函数f是k次齐次函数 x1D1 f + + xn Dn f ( = (grad f , x) = kf . (*) 证 f (tx) = t k f (x). 两端对t求导, 得x1D1 f (tx) + + xn Dn f (tx) = k t k-1 f (x). 令t = 1得(*). 设j (t) = f (tx) / t k , ( 即证j (t ) = f (x). 由j (1) = f (x), 只要证j (t) =j (1), 即证j 常值), 则j可微, j (t) =( t k (x1 D1 f (t x) + + xn Dn f (t x) - k t k-1 f (x) ) = ( t x1 D1 f (tx) + + txn Dn f (tx) - k f (tx) ( 以txi代条件(*)中的xi) = 0, 故j 常值, j (t) = j (1) = f (x), f (tx) = t k f (x). *Euler公式的应用. (1) 证明u = x f () + y g () 满足x 2 u xx + 2 xy u xy + y 2 u yy = 0. (2) p.143.3(2). 解 (1) (u是一次齐次函数) 用两次Euler公式. (2) u是 1 + 2 + (n - 1) = n (n + 1)次齐次函数. 补充练习 u = x 3 sin y + y 3 sin x, 求. ( - 6 (cos x + cos y) u = e xyz, 求uxyz . ( e xyz (1 + 3xyz + x2 y2 z2 ) u = (x - a) p (y - b) q, 求. (p ! q !) u =, 求. () 证明 z = x n f ()满足方程 x zx + 2 y zy = nz. 证明 z = y f (x2 - y 2)满足方程 y2 zx + xy zy = xz . 已知 u =x4 - x3 (y + z) +x2 yz + f (y - x, z - x), 化简 ux + uy + uz . (xyz) 证明u = j (x - at) + y (x + at) 满足u tt = a2 u xx . 证明u = x j (x + y) + y y (x + y)满足u xx - 2 u xy + u yy = 0. 设 u = ln x, v = ln (y +), 以u, v为自变量变换方程x zx +zy = xy. (zu + zv = e u sh v) 设x = r cos j , y = r sin j, 变换 (1) x uy - y ux ; (2) x ux = y uy ; (3) x2 u xx + 2 xy u xy + y2 u yy . ( (1) uj ; (2) r ur ; (3) r 2 u rr .) 设x = r sinq cos j , y = r sinq sinj , z = r cosq, 变换ux2 + uy2 + uz2 . (ur2 + r -2 uq2 + (r sinq) -2 uj2 )七. 方向导数与梯度偏导数是函数沿坐标轴方向的变化率, 方向导数是函数沿任意方向的变化率.设f : D (Rn)R, aD, l为方向(| l | = 1) 若极限存在, 则称之为f在a沿方向l的方向导数, 记为Dl f (a), fl (a),等.若记g (t) = f (a + t l ), 则D l f (a) = g (0). 设l = (l1, l n), a = (a1, a n), 则 g (t) =f (a + t l ) = f (a1 + tl1, an + tl n). 由链式法则(u = f (x), x = a + t l ), 当f在a可微时, g (t) = l1(a +t l) + + ln(a + tl ), fl (a) = l1(a) + + ln(a). 因此, 若设grad f (a)= (a), ,(a) ( = (D 1 f (a), Dn f (a), 则fl (a) = grad f (a) l |grad f (a)|, 等号 grad f (a) = cl , 即l =. 称grad f (a)为f在a处的梯度(向量). 这证明了下列命题 若f在a可微, 则f 沿任何方向的导数都存在, 且fl (a) = grad f (a) l . 方向导数沿梯度方向达到最大值|grad f (a)|, 沿梯度相反方向达到最小值-| grad f (a)|. (换言之, 沿梯度方向, 函数的变化率最大.)特例: 偏导数. 取l = ei = (0, , 0, 1, 0, , 0), 有grad f (a) l =(a). 二元: l = (cosq, sinq ). 三元: l = (cosa, cosb, cosg). n元: l = (cos (l, x1), cos(l, xn).注1 所有方向导数存在(称为弱可微) 连续.例 前已证明f (x, y)不存在, 故在(0, 0)不连续. (因而不可微, 不能用上述命题求方向导数.) 但对l = (cosq, sinq ), Dl f (0,0) =注2 所有偏导数存在 所有方向导数存在.例 f (x, y) = fx (0,0) = 1 = fy (0,0). 当cosq 0, sinq 0时, 方向导数=不存在.p.125例1. 方向向量, (1,1,1) = (1, 2y, 3z2 ) =.(p.127.6(3) 证明: grad (u v) = u grad v + v grad u . (,) 求Dv f (0,0), 若, v = (cosq, sinq ), 0q 2p .解 g (t) = f (t cosq , t sin q ) = | t |. 当2q =时g (t) = 0, 故v = (,)时Dv f (0,0)= g (0) = 0. 在其它方向, g- (0) = -, g+ (0) =, 方向导数不存在. (注. 书上定义的是单侧方向导数, = g+ (0), 是存在的.)(p.127.10) 设f可微, l1, l2R2线性无关. 若= 0, 则f常值.八. 中值定理与Taylor公式前已接触过f (x, y) - f (a, b) = fx (x, y) (x - a) + fy (a, h) (y - b), x 在a, x之间, h 在b, y之间, 条件是f在点(a, b)附近有偏导数.在求方向导数时已经知道, 在连接点(a, b)与(a+h, b+k)的线段(x, y) = (a + th, b+tk) (0t1)上f是一元函数j (t) = f (a+th, b+tk) (0t1). 对它用一元函数中值定理, 有(为使j 可微, 需条件f可微) j (1) - j (0) = j (q ) (0 q 0(即二次型Q正定), 则f (a, b)极小. 事实上, z =r 2 (Q (,) + a(r), 其中a(r) =20 (r0). Q (,)关于h, k连续且()2 + ()2 =1, 故在单位圆周上达到最小值, 设为m, 则h, k, Q (,)m 0. 因为a(r)0 (r0), 故r充分小时| a (r) | m, 从而r充分小时z0, 即在(a, b)附近z0. 2若h, k, Q (h, k) 0(即二次型Q负定), 则f (a, b)极大. 3在其它情形( 即Q不定时), f (a, b)不是极值. (反证法) 设f (a,b)极小, 则Q (h, k)0. 事实上, 设$(h 0 , k 0) 使Q(h 0 , k 0) 0. (下面证明f (a,b)不是极小值, 即在(a, b)的任何邻域内有点, 其对应的函数值 f(a,b). 这样的点在由(a, b)和( a+h 0, b+ k 0)确定的直线上就有.) 记r02 =h02+k02 , 则对 f (a+ th 0, b+ t k 0) - f (a, b) =t 2r02 (+ a (t r0)有=Q (h 0 , k 0) 0. 因为t0时tr0 0, 故t充分小时+ a (tr0) 0, 从而f (a+th 0, b+ tk 0)0, A 0, 则 f (a, b)极小; 若D 0, A 0, 则 f (a,b)极大; 若D 0, 则 f (a, b)是鞍点; 若D = 0, 则不能确定.证 Q (h, k) = A (h + k) 2 + k 2 ) 若D 0, 则Q (h, k)不定 .若 D= 0, 则Q (h, k) = A (h +k) 2 不能确定. 例如设 f (x, y) = x 2 - y 4 , 则(0,0)是驻点, D = 0, 但(0,0)是鞍点: y0时f (0, y) 0; 设g (x, y) = (x 2 + y 2)5/ 2, 则(0,0)是驻点, D = 0, 但f (0,0)极小.注1. 对一元函数, D = A, 成为一元函数极值的二阶导数判别法.2. 对n元函数, 类似的结论成立. Hessia矩阵为, 二次型Q现在是Q(h1, h n) =. Hessia矩阵的n个顺序主子式均 0时极小, 负正相间时极大. 3. 当只有一个驻点(设为a)时, 如果能从所论函数本身判明它确有极值, 则a就是极值点. 这时只要计算D11 f (a), 0时极小, 0时极大. p.138例6.(p.138例8) 讨论 f (x, y) = (y - x 2) (y - 2x 2)在原点是否取得极值.解 f (x, y) = y 2 -3x 2 y+2x 4. 由 fx (x, y) = -6xy + 8x 3 = 0, fy (x, y) = 2y -3x 2 =0得驻点(0, 0). (fxx (0,0) = fxy (0,0) = 0, = 0, 不能用推论.) 因为x 2 y 2x 2 时f (x, y) 0, y 2x 2时f (x, y) 0, 故在(0,0)的邻域内f总能取得正值与负值(如f (x,x 2) 0), 从而f (0,0) = 0不是极值.*注 但在通过原点的任一直线上f (0,0)极小. 事实上, 设g (x) = f (x, kx) = k 2 x 2 - 3kx 2 + 2x 4 , 则g (0) = 0, g (0) = 2k 2 0 (k0), 故g (0)极小. 当k = 0时g (x) = 2x 4 , g (0)也极小. 因此本例说明函数沿直线极小时它不一定极小. f (x, y) = xy - x 3 y - xy 3 . 由 fx (x, y) = y - 3x 2 y - y 3 = 0, fy (x, y) = x - x 3 - 3xy 2 = 0得9个驻点: P1 (0,0), P2 (1,0), P3 (-1,0), P4 (0,1), P5 (0, -1), P6 ( , ), P7 (-, -), P8 (,-), P9 (-,). fxx (x, y) = -6xy, fxx (x, y) fyy (x, y) - fxy2 (x, y) = (-6xy) 2 -(1 -3x 2 -3y 2) 2. 对P1,= -1 0; 对P2, P3, P4, P5, = -4 0, P6, P7极大(1/8), P8, P9极小(-1/8).考察函数f (x, y) = (1 + e y ) cos x - ye y 的极值.解 fx (x, y) = - sin x (1 + e y ), fy (x, y) = (cos x - 1 - y) e y , 驻点P n (np , (-1) n - 1) (nZ). fxx (x, y) = - cos x (1 + e y ), fxy (x, y) = - e y sin x, fyy (x, y) = (cos x - 2 - y) e y . 对P 2n , A = -2 0, 极大(2); 对P 2n-1, A = 1 + e -2 0, B = 0, C = -e -2, a 0)在x 2 + y 2 1上的最大、最小值. 解 驻点(0,0). 在边界上, f (x,)= a 2bx= g (x) (| x |1). 由g (x) = 0得x =/ 2. 因为g (1) = g (-1) = a, g (/ 2) = ab, g (-/ 2) = ab, f (0,0) = 0, 故有最大值a+b, 最小值a - b.注1. 因为以-x, -y代x, y时f及区域不变, 故考察边界时可只考虑.2. 本题也可用初等方法解决: - (x 2 + y 2)2xy x 2 + y 2, 两个等号依次当且仅当x = -y和x = y时成立, 故a - b(a - b) (x 2 + y 2)f (x, y) = a (x 2 + y 2) + 2bxy(a + b)( x 2 + y 2)a+b且x = y时右边两不等式成立, x = -y时左边两不等式成立. 用初等方法有时会更简便, 但它通常依赖于技巧, 而高等数学方法有普适性. 证明: 圆内接三角形中, 正三角形的面积最大.证 设圆内接三角形三边所对的圆心角为x, y, 2p - x - y, 圆半径为r, 则三角形面积为 r 2 (sin x + sin y - sin (x + y) (x0, y0, x + y2p ) . 设f (x, y) = sin x + sin y - sin (x + y), D = (x, y) | x0, y0, x + y2p . 令 f x (x, y) = f y (x, y) = 0 , 得D内有唯一的驻点(p,p ). 在D的边界上, f (0, y) = f (x,0) = f (x, 2p - x) =0, 故面积最大值为r 2 , 此时三角形三内角为p / 3, 即为正三角形. 证明: xyx ln x - x + e y (x1, y0).证 即证f (x, y) = x ln x - x + e y - xy 在D = (x, y) | x1, y0上有最小值0. 由 fx (x, y) = fy (x, y) = 0得y = ln x, 即驻点为(x, ln x). 因为 f (x, ln x) = 0, f (1, y) = -1 + e y - y = g (y) (y0)g (y) = e y - 1 = 0 y = 0 g (0) = 0, f (x, 0) = x ln x - x + 1 = h (x) (x1) h (x) = ln x = 0 x = 1 h (1) = 0, 又, x或y或(x, y)(,)时f