高一数学 高中数学 圆与方程.doc

张竹强MATHEMATICS圆与方程知识梳理：1. 曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的 与一个二元方程的实数建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.注：特殊圆的方程：与轴相切的圆方程 与轴相切的圆方程 与轴轴都相切的圆方程 3. 圆的一般方程： .当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形（称虚圆）.注：圆的参数方程：（为参数）.方程表示圆的充要条件是：且且.圆的直径或方程：已知（用向量可征）.4. 点和圆的位置关系：给定点及圆.在圆内在圆上在圆外5. 直线和圆的位置关系： 设圆圆：； 直线：； 圆心到直线的距离.时，与相切；附：若两圆相切，则相减为公切线方程.时，与相交；附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为.时，与相离. 附：若两圆相离，则相减为圆心的连线的中与线方程. 由代数特征判断：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：与相切；与相交；与相离.注：若两圆为同心圆则，相减，不表示直线.6. 圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆上一点的切线方程为：.一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知的方程 又以ABCD为圆为方程为 ，所以BC的方程即代，相切即为所求.曲线和方程总结：1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。2.求曲线方程的方法：.1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.典型例题例1若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a，b）（ ）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都有可能练习1两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆（x-1）2+(y-1)2=4的内部，则实数a的取值范围是（ ）A.-a1B.a1或a-C.- a1D.a1或a-例2 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.练习2 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.3.已知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.例题3根据下列条件求圆的方程：（1）经过坐标原点和点P（1,1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上；（2）已知一圆过P（4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.练习3已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（mR）. （1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.家庭作业一、选择题（每题5分）1方程表示的图形是（）以为圆心，为半径的圆 以为圆心，为半径的圆以为圆心，为半径的圆 以为圆心，为半径的圆2点在圆的内部，则的取值范围是（） 或3若表示圆，则的取值范围是（） R4设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（）A B C D 5 直线过点，与圆有两个交点时，斜率的取值范围是( )A B C D 6 两圆和的位置关系是（ ）A 相离 B 相交 C 内切 D 外切二、填空题（每题5分）7 圆：和圆：交于两点，则的垂直平分线的方程是 8两圆和相切，则实数的值为 9为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为_ 10若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为 三、解答题11（20分）已知一圆经过点A（2，3）和B（2，5），且圆心C在直线l：上，求此圆的方程12（20分）已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点(1) 当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2) 当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；(3) 当直线l的倾斜角为45时，求弦AB的长13（20分）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半， 求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹14（20分）求直线被圆所截得的弦长。15（20分）已知实数满足，求的取值范围。例3 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解 设AB的中点为R，坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y），则在RtABP中，|AR|=|PR|，又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有RtOAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（）.又|AR|=|PR|=，所以有（x1-4）2+=36-（）.即-4x1-10=0.因为R为PQ的中点，所以x1=，y1=.代入方程-4x1-10=0，得-10=0.整理得x2+y2=56.这就是Q点的轨迹方程.例2 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解 方法一 将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2=OPOQ,x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.m=3,此时0,圆心坐标为,半径r=.方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，O1MPQ，.O1M的方程为:y-3=2,即：y=2x+4.由方程组解得M的坐标为（-1，2）.则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上.（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在RtO1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.(3-2)2+5=m=3.半径为,圆心为.3.已知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解 （1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为d=.P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.（2）设t=x-2y, 则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.1.-2t-2，tmax=-2，tmin=-2-.（3）设k=，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，1.k,kmax=，kmin=.9.根据下列条件求圆的方程：（1）经过坐标原点和点P（1,1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上；（2）已知一圆过P（4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.解 （1）显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：,即x+y-1=0.解方程组得圆心C的坐标为（4，-3）.又圆的半径r=|OC|=5,所以所求圆的方程为（x-4）2+(y+3)2=25.（2）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 将P、Q点的坐标分别代入得： 令x=0，由得y2+Ey+F=0 由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程的两根，所以（y1-y2）2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 解、组成的方程组得D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4，故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.例1 已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（mR）. （1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.（1）证明 配方得：（x-3m）2+y-（m-1）2=25，设圆心为（x，y），则消去m得l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.（2）解 设