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2002 清华大学考研辅导班模拟试题 清华大学知识产权 侵权盗版必究 清华大学考研辅导班数学单项模拟试题二 清华知识产权 盗版侵权必纠 一 填空题 每 4 分 共 42 分 1 函数在点 ln 222 zyxzyxf 1 0 1 A最大的方向导数是 2 曲面在任意一点处的法向量为 22 2yxz zyx 与平面 相平行的切平面方程为 02 zyx 3 设是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解 且相应齐次 方程的一个解为 x exyxy 2 2 2 1 3 3 xy 3 则该微分方程的通解为 4 设 1 yxyxD 则积分 D dyx 5 幂级数 1 2 4 2 n n nn x n 的收敛区间是 6 设是周期为 xf 2的周期函数 它在区间 上的表达式是 其 Fourier 级数为 2 xxxf sincos 2 1 0 n nn nxbnxa a 则 3 b sincos 2 1 0 n nn nbna a 7 级数 0 1 n nx n e n 的收敛域为 8 设 则0 t 222 22 1 tyx dyxtf cos是t的 阶无穷小量 9 函数由方程所确定 则 zxyy yx exyz x y 10 设具有连续导数 且 为半圆周 uf 4 4 0 duufL 2 2xxy 起点为 00 A 终点为则 02 B ydyxdxyxf AB L 22 11 设为平面 S102 zx含在柱面 16 2 2 yx内的部分 则 dSxz S 2 12 微分方程有一个形如12 2 xyyy y 的特解 13 级数 0 2 1 n n n 的和是 一 单项选择题 共 16 分 1 百度文库批量上传 外链 2002 清华大学考研辅导班模拟试题 清华大学知识产权 侵权盗版必究 1 设C为正向闭曲线 C yx bydxaxdy yx 2 A B C 4ba 8ba 4ba D 8ba 2 设 外侧为正 则 T zyxr 1 222 zyxS S dSr A 4 B 4 C 3 4 D 3 4 3 在曲线 32 3 1 tztytx 的所有切线中 与平面42 zyx平行的切线 A 只有一条 B 只有两条 C 只有三条 D 不存在 4 设 则二重积分0 R 222 22 1 Ryx yx d xy e I 等于 A 00 222 22 1 4 yx Ryx yx d xy e B 0 222 22 1 2 x Ryx yx d xy e C 00 222 22 1 4 yx Ryx yx d xy e D 0 三 解答题 共 70 分 1 设为曲面S 20 2 22 zyxz的上侧 计算 S dydxzxdxdzyzdzdyxyI 222 2 将函数 在 1 xxfarctan 1 x处展开成幂级数 并指出收敛域 3 求解二阶微分方程的定解问题 2 1 1 6 1 2 2 2 sincos yy dx dy dx dy y dx yd y 4 设函数 曲线积分 21 RCyxf L xydydxyxf2 与路径无关 且 tt xydydxyxfxydydxyxf 1 00 1 00 22对任意的t都成立 求函数的表达式 yxf 5 设 00 2223 azyxaRzyx 为S 的边界外侧 计算 Szyx dzdxyaxdydzax 2 1 222 1 2 2 百度文库批量上传 外链 2002 清华大学考研辅导班模拟试题 清华大学知识产权 侵权盗版必究 6 设函数 0 01 1 t e t t 讨论该函数的连续性与可微性 7 用薄钢板制做一个容积为 4的有底无盖长方体箱子 如何取长方体箱子的长 宽 高的值 才能使得制作箱子所用的钢板面积最省 3 m 三 证明题 20 分 三 证明题 20 分 1 设是正值连续函数 为圆心在原点的单位圆 xfDD 为的正向边界 证明 D 1 D dx xf y dyyxf D dy yf x dxxyf 2 2 D dx xf y dyyxf 清华大学 2 设 0 0 2 yxRyxD 讨论级数 1 22 22 n yxn eyx 在上的收敛性 D 3 设 0 2222 ttyxRyxD 在上连续 在内可微 yxfDD100 f D的正向边界为 若在上满足方程 C yxfD yxkf y f x f 2 2 2 2 试对曲线C的外法矢量 求极限 0 ndl n f t Ct 0 2 0 1 lim 清华大学考研辅导班 2002 数学模拟试题二答案 答案 一 填空题 42 分 一 填空题 42 分 1 2 2 Tyx124 098168 zyx 3 4 x eCxCx 21 2 3 3 2 5 6 22 3 2 7 2 0 8 6 9 1 1 yx xy 或 xze eyz yx yx 10 11 2 55 3 百度文库批量上传 外链 2002 清华大学考研辅导班模拟试题 清华大学知识产权 侵权盗版必究 12 若求解 则有 CBxAxxy 2 7231 CBA 13 e3 二 单项选择题 16 分 二 单项选择题 16 分 1 A 2 A 3 B 4 B 三 解答题 70 分 三 解答题 70 分 1 补上下侧 用 Guass 公式 40 22 1 yxzS 22 20 3 yxz dxdydzI 1 2 S dydxzx 3 24 3 4 2 22 yx dxdyx 128 2 0 3 2 0 2 ddcos 2 11 1 1 2 0 2 xx x x n n n arctan 11 12 1 12 0 xx n x n n n arctan 021 12 1 1 12 0 xx n x n n n arctan 3 令uu dx yd dx dy u 2 2 原方程化为 uyuuyu sincos 2 0 u Cy 不复合初值条件 舍去 0 u时 得到 y yuu cos tan 1 解为 tan cosyCyyu 1 由 2 1 1 6 1 yy 得0 1 C 再解方程 y dx dy sin 得到 2 Ctyy cotcscln 由 6 1 y得出 ln 321 2 C 定解问题之解为 1 32 1 11 2 x e y y y yy cos cos sin cos tan 4 由 xgyyxfy y f 2 2 ttt tdxxgdytydxxgxydydxyxf 00 1 0 1 00 22 1 0 2 1 00 1 00 22tdxxgdyydxxgxydydxyxf tt 由已知条件得到方程 1 0 2 0 tdxxgtdxxg t 两端求导数得到 于是 ttg21 12 2 xyyxf 4 百度文库批量上传 外链 2002 清华大学考研辅导班模拟试题 清华大学知识产权 侵权盗版必究 5 1 2 1 222 1 2 Szyx dxdzyaxdzdyax I 2 2 1 222 1 2 Szyx dxdzyaxdzdyax 其中 222 1 yxazS 下侧 上侧 0 222 2 z ayx S 02 1 1 1 2 S ydzdxaxaxdydz a I 直接写出下述结果 直接写出下述结果 扣扣 3 3 分分 S ydzdxaxaxdydz a I 2 1 1 2 21 2 1 1 2 SS ydzdxaxaxdydz a dVxa a 23 1 1 2 1 2 3 4 2 1 1 3 03 1 1 2 4 3 22 a a a a a aV a 6 只需讨论关于 的连续性与可微性 lim01 1 0 tte t 因此 t连续 0 时 t t te e 1 1 2 0 时 2 1 1 0 2 0 t te t t lim limlim 0 2 1 1 2 2 00 ttte e t t 可见偏导数连续 所以可微 7 设长方体箱子的长 宽 高分别为zyx 则制作箱子所用的钢板面积为 yzxzxyzyxf22 长方体箱子的容积为xyz 根据题意 zyx 是条件极值问题 4 22min xyz yzxzxy 的解 令 zyxL 4 22 xyzyzxzxy 5 百度文库批量上传 外链 2002 清华大学考研辅导班模拟试题 清华大学知识产权 侵权盗版必究 考虑方程组 04 022 02 02 xyz L xyyx z L xzzx y L yzzy x L 其中前三个方程分别乘以zyx 得 xyzyzxz xyzyzxy xyzxzxy 22 2 2 由此得到 yzxzyzxyxzxy2222 因此有 由 得 zyx2 4 xyz1 2 zyx 根据问题的实际意义 肯定存在使得面积最省的长 宽 高 另一方面 这样的长 宽 高又必须满足函数 zyxF驻点方程 且满足方程的解又只有一组 因此 当长 宽 高分别为时 所用钢板面积最省 12 mmm122 2 m 三 证明题 22 分 三 证明题 22 分 1 1 左端dxdx xf yf D 1 右端dxdx yf xf D 1 由对称性 左端 右端 2 D dx xf y dyyxf dxdx xf yf D 1 再次由对称性 因此 dxdyxfdxdxyf DD dxdx xf yf D 1 dxdx xf xf D 1 因为是正值连续函数 由估值定理得到 xf 6 百度文库批量上传 外链 2002 清华大学考研辅导班模拟试题 清华大学知识产权 侵权盗版必究 22 1 DD dxdydxdx xf xf 即原等式成立 2 设 22 yxu 则 u0 只须讨论级数 1 2 n nu eu 在 的收敛性 u0 方法一 2 2 2 2 2 2 2 1 2222 n u nu u eu unun nu L 由正项级数的比较法 级数在上收敛 因而 级数 1 2 n nu eu 0 1 22 22 n yxn eyx 在 2 R上收敛 从而 在所给区域D上收敛 方法二 求函数 在 nu euuf 2 0上的最大值 驻点 02 2 nu enuuuf 0 2 21 u n u 2 2 42 e nn f 00 f0 limuf u 故的最大值为 uf 2 2 42 e nn ff max 所以 2 2 4 n eu nu 由正项级数的比较法 级数在 1 2 n n