2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案第22讲_三角恒等.doc

第二讲三角恒等变换本专题涉及到的知识点是两角和差的正余弦、正切公式；二倍角公式正用、逆用、创造条件使用公式是解题的关键，涉及到三种主要的变换：角变换、函数名称的变换、运算方式的变换A类例题例已知都是钝角，且求分析实施角变换：，角变换是三角函数中最重要的一种变换解由都是钝角知，若，则均为锐角，且由此得与角是钝角矛盾，故只有，所以从而说明抓住了角变换就明确了解题的方向，本题容易产生的失误是解的个数例已知，求的值分析变形的方法是化弦处理和抓住公式结构逆用公式解由得，另一方面，所以说明抓住公式结构是逆用和创造条件用好公式的前提，类似的问题在三角函数中很多，如求值：，在此问题中要抓两点，第一是与蕴涵在两角和的正切公式结构中，第二是角关系由展开整理即得其值为例已知，求，分析本题的解法很多，现用角变换求解解由已知条件有同理联立求出情景再现 已知，求证：求的值.求值：B类例题例已知是锐角，是钝角，且成等差数列，求的值（年上海市数学竞赛）分析化弦降次和运算方法变换解由条件化弦得，即，由是锐角，是钝角得例 设，求证：是成立的充要条件（年第届希望杯数学赛）分析运用公式直接展开解法一充分性是显然的，下面证必要性由得即化简得，即，由得解法二构造三角形求解构造，则，因为，即，即，从而知，即例求的值（年全国高中联赛）分析本题的基本方法是降次、和差化积，从结构特征构造求解解法一注意，且三角式是关于对称的，所以可以构造二元对称代换求值设，则，所以原式解法二利用，构造对偶模型求解设，则，从而求出说明三角式的结构特征分析在解题中的作用很大，往往能揭示问题的本质本题也可以通过构造三角形等其它方法求解例求的值分析从基本方法和构造法两个角度求解解法一（和差化积逆用公式），分子分母同乘，连续两次逆用二倍角公式得其值为解法二（构造对偶式求解）设，约去得解法三（自身代换构造方程求解），平方得方程，从而解得解法四（构造同形方程）设，则同时满足该同形方程由二倍角公式得二次方程，这表明是方程的两根，而且是全体根，由根与系数的关系得情景再现求证：已知，且满足：求的值C类例题例化简分析从结构特征入手，由于每个乘积项中的两个角相差都是，从两角差的正切公式化简入手解由，变形得，其中从而原式例求证：分析构造方程求解解由知是方程的根设则，即令，对展开整理得由是上述方程的三个根，那么是方程的三个根，由根与系数的关系得，开方即得例 若均是整数（其中），且使得，求的值分析角变换，使得为完全平方解所以，情景再现6已知为整数，且满足求出的所有可能值7设，且求证：习题已知和是方程的两个根，求证已知求的值已知是锐角，求的值求值：已知 ,其中.求证:.求函数的最小值已知（其中均不等于）求的值已知，且，求角.证明:.证明:对任一自然数及任意实数为任一整数,有.设是锐角,且.求证:.已知，求证：对任意的，恒有本节“情景再现”解答：解角变换由得即即解逆用公式和角关系原式解 角变换原式也可以变换运算方式积化和差解左右两边同时化弦左边而右边所以等式成立解基本方法降次消元由降次化简得，再由得，由两式平方相加消去角，求得代入中求得即，由得6解 由三倍角公式有，从而，即，又所以，即满足条件假设存在另外一组满足条件，则，解出，从而是有理数设代入，整理得，于是，由知，故又，所以此时，只能有，即矛盾,因此满足条件的是唯一的7解 构造直角三角形，则由条件知,所以所以，将其代入到中去，化简后即得证习题”解答：解 角变换和逆用公式由根与系数的关系得所以所以解 化成正切由求得，而解 角变换由是锐角得，由是锐角知是第四象限角，所以，所以解 化弦和角变换.证:消元. 得,即,即,同理可证,所以.解 降次所以，其最小值为解 角变换由得，即，所以，即，所以解 配方由条件得，即，即，配方得，从而得，由得.证明降次.由,得,从而有,所以 所以.证明 裂项.,同理,各项相加,得.证