抽象函数问题类型及解题策略.doc

抽象函数问题类型及解题策略湖北省枣阳市鹿头中学 田伟抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数。解决抽象函数问题，需要由条件去判断或推出该函数的性质（单调性，奇偶性，周期性），从而达到解题的目的。由于抽象函数问题具有概念抽象、隐蔽性与灵活性强、综合性高的特点，使得这类问题成为函数内容的难点之一。 在中学数学教材中，可以找到不少所涉及到的抽象函数的具体函数模型，虽不能用它来代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的若干性质的证明途径，特别是填空题、选择题，直接用具体函数求解，得出答案即可。常见的抽象函数模型有：(1)线性函数模型。若f(x)定义域为D,对任意的a,b D,有f(a+b)=f(a)+f(b),则其模型为：f(x)=kx.(2)指数函数模型。若f(x)定义域为D,对任意的a,b D,有f(a+b)=f(a)f(b),则其模型为：f(x)=ax.(3)对数函数模型。若f(x)定义域为D,对任意a,b D,有f(ab)=f(a)+f(b)，则其模型为：f(x)=log ax.对于抽象函数问题，常常涉及到函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性问题，其解题策略常常是利用特殊值（或特殊函数）开路，利用性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）搭桥，使问题迎刃而解。下面列举几例抽象函数问题类型：一、定义域问题解题思路：将函数f (x+k)、f (x-k)中括号内的式子看作一个整体，相当于f (x) 中的x这一特性，问题就会迎刃而解。二、求函数值问题例2、函数f (x)的定义域为R+，若f (x +y)= f (x)+ f (y),f(8)=3,求f (2).分析：f (8)= f (4+4)=2 f (4)=4 f (2)=3所以f（2）=解题思路：紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。三、单调性问题解题思路：根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。四、奇偶性问题例4 已知函数的定义域为R，对任意x、y满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x0时，f(x)0.试判断f(x)的奇偶性和单调性.分析：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得f(0)+f(0)=0，f(0)=0，又令y=x，f(x)+f(x)=f(xx)=f(0)=0，即f(x)=f(x)，f(x)是奇函数，再设x1、x2R，且x10，f(x2x1)0，从而f(x2)f(x1)，f(x)在(.+)上是增函数.解题思路：根据已知条件，通过恰当的赋值代换（赋值常从以下几方面考虑：令x=，2，1，0，1，2，等特殊值求抽象函数的函数值；令x=x2，y=x1或y=，且x1x2，判定抽象函数的单调性；令y=x，判定抽象函数的奇偶性；换x为x+T，确定抽象函数的周期；用x=+或换x为等），寻求f(x)与f(x)，f(x1)与f(x2)的关系。五、周期性问题解题思路：利用函数的奇偶性，对称性等性质作恒等变形或利用函数模型解决此类问题六、函数解析式问题七、对称性问题例8、设函数y=f(x)对任意事实x都有f (3+ x)= f (3- x),方程f (x)=0,共有实根6个，试求这6个实根之和。分析：y= f (x)的图像的对称轴为x =3，方程f(x)=0的6个实根两两关于直线x =3对称，由中点