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实际问题与二次函数（利润）课堂实录唐山市第七十五中学 董立梅众生（齐）：老师好！我爱学习！我爱数学！我学习，我快乐！师：好，请坐。前面我们学习了二次函数及有关图像和性质，并且知道了当自变量取何值时，二次函数有最大值或最小值。今天呢，我们运用二次函数来解决实际生活中的最值问题。看着前置性作业，活动1。各小组交流讨论，解决疑难问题。2分钟时间。好，哪个组准备好了，上台展示一下。（同学们踊跃举手） 好了，吴凡这个小组吧。（同学们热烈鼓掌）生A：请同学们看大屏幕。首先我们来看这个题，根据这个题意，我们可以看出这是个求利润的题。那么同学们还记得我们求利润的两个公式是什么吗？有哪位同学知道？（举手） 王迪同学。生：利润的第一个公式是利润等于总售价减去总进价，第二个是利润等于每件的利润乘以数量。生A：还有其他同学想补充一下吗？王凯颖生：生A：好，非常好！接下来，我们再看题，根据这个题的题意，我们可以看出，这个题包括两种情况。第一种情况是涨价，第二种情况是降价。也就是说，调整价格包括涨价和降价两种情况。先来看涨价这种情况。根据这个表格可以看到，当涨价1元的时候，可以少卖10件。当涨价2元的时候，可以少卖20件。当涨价3元的时候，可以少卖30件。以此类推，当涨价X元的时候，也就可以少卖10X件。所以在这里，我们就设每件商品涨价x元，则售出的利润就为Y元。根据两位同学给我们的利润公式，我们可以列出这样一个二次函数。首先我们可以看到这个，它的售价是60，就是在每件60元，再涨价就是60X元。然后每件的利润我们还要再减去进价，也就是说60X40，就是这件商品涨价后所获得的每件利润。接下来就是它的数量, 60X40D的。然后就是说设涨价为X元，也就是少卖了10X件。一共可卖300件，数量就是30010X。同学们有什么不明白的吗？众生：没有。生A：好，接下来我们要做的就是将这个二次函数化简。首先，我们会得到这样一个式子，是10X 100X6000。经过我们以前学过的二次函数,我们可化简成一个标准形式 10(X5) 6250。接下来我们要做的一个事情，就是已经得出的这个式子，要做的就是它的取值范围。因为如果没有取值范围的话，你解出的值可能不符合实际意义。首先，它是一个涨价，所以根据实际意义X0。接下来，我们看数量，数量肯定不能为负数对吗？所以说，也就是说30010X一定是0的。写出来以后，就是王新颖同学所写的0X30。现在我们就可以得出来了。当涨价5元时，当X5时，Y的最大值为6250。当售价为65元时售出商品利润 为6250。同学们有什么不明白的吗？师：有疑问可以提出来。生A：不明白的举手。王安琪同学。生：价格可以大于等于0，价格是不是可以不升不降，调整价格?生A：是的，这种情况等会儿我们可以讲得。大家请看当它等于0的时候，也就是王安琪同学所说的不涨不降。但它还是一个值，因为X在这里是除了负数以外在这个范围内的任何数。懂吗？生：懂了。生B：由吴凡同学的分析，我们可以知道。调整价格包括涨价和降价两种方式。既然我们已经看完了涨价方式了，那么我们来看降价的方式。请看大屏幕。设每件商品降价X元，每星期售出商品的利润为Y元。请大家看表格。当降价为1元的时候，多卖出20件。当降价为2元的时候，多卖出40件。降价3元的时候，多卖出60件。以此类推，我们降价X元的时候，我们多卖出20X件。由利润的第二个公式，我们得到一个二次函数解析式Y(60X40)(30020X)。下面我们来分析一下这个二次函数解析式。60元是原来售价60元，现在降价X元，那么现在价格是60X元，再减去进价40元，就是现在所获得的利润。明白吗？那么我们再来乘上数量，数量，看表格是多卖的，所以要加上，得出30020X，这个函数解析式还有不明白的吗？谁不明白？师：谁有问题可以提出疑问？生B：没有，那么我们看化简。先把它化成一个一般形式20X 100X600。根据配方法，我们把它配成标准形式2X(X52) 6150。因为这是一个求最值的问题，最好是用配方法。当然你们如果喜欢用公式法，也可以用公式法求出最大值。下面我们来看一下X的取值范围。因为是降价X元，它要符合实际意义，所以60X400，X20。由此我们可以得到X的取值范围0X20。又因为当X52时，请大家注意，X5/2一定要在取值范围以内，才可以符合题意。所以当X5/2时，Y的最大值为6125。当售价为57.5元时，每星期售出的商品利润为6125元。下面我们再来看一下一个特殊情况，就是不涨不降的时候。每件售价60元，每星期卖出300件。Y6040306000。又由于600061256250，所以当商品售价为6250元时，可以获得最大利润6250元。根据题意得定价为65元时利润最大。同学们还有什么不会的吗？（同学举手）孔传平生：我觉得最后一步，不涨不降的时候根本不需要。因为前面你已经说出了X的取值范围X0，等于0的时候，就已经说明是不涨不降，所以再求不涨不降是多余的。师：（赞许）厉害不厉害，同学们？太厉害了！（响起热烈的掌声）谁还有问题？生：首先，先感谢三位同学把这个问题给我们完美地展现出来。但是美中不足的是，我认为这个活动1是一个整体的题目，我认为三位同学设的有问题。第一步你们设涨价为X元，利润为Y元。这样容易让同学们认为这两个X是相等的，所以我觉得第二步的X,应该设为X2元利润为Y2元。生B：好，谢谢！请坐，我们会虚心接受的。师：好，等一会讲啊。这个需要不需要一个X1，一个X2？众生：（不）需要。师：需要不需要？X1、X2？生B：谁有不同意见？师：李希希说一下吧。生A：还是我来讲一下，我认为它是不需要的，因为第一点同学们可以这样想，这是两个式子了吧。它虽然是一个题，但是它是两个函数关系式。这就好像是一对双胞胎，虽然外表长得一样，但性格名字都是不一样的。同学们明白这个意思吗？（掌声）师：我补充一下，这里我认为是不需要X1、X2。因为这里已经有取值范围了是不是？第一种情况，这个取值范围吗。第二种情况，这个取值范围吗。所以不需要X1和X2，Y1、Y2。继续。生B：同学们还有其它问题吗?生：第一步取值当X30时，利润就成0元了？生A：当它为0元的时候，但它也是利润。也就是说，我不赚钱了。明白吗？还有同学不明白吗？有疑问吗？（等片刻）好，既然没有的话，那么仔细来看看这个题。同学们有没有在这个问题上发现一种思想？就是我们初中数学中经常用到的一种思想？生：我觉得，看出我们可以将实际问题转变为数学模型。像这个问题我们转变成了二次函数。我们以前学过将实际问题转变为不等式或一次函数，所以这个题，我们可以将它转变为二次函数模型来解决。生A：啊，我要她都快讲完了，我总结一下她的话。其实这个题透露出来的思想就是初中数学中经常使用的建模思想。同学们想一想，我们以前所学的实际问题与一元一次方程或者一次函数、反比例函数、正比例函数或一元二次方程等等，它都是把一个实际问题转化成一个数学模型，从而方便得出这个问题的答案。以后我们以后如果遇到此类题或者生活中遇到困难的时候，我们可以运用这种建模思想，来解决我们的困难，使我们的生活更美好。所以数学认为是很有用的，尤其是这个建模数学。（掌声）生B：同学们还有什么问题吗？有听不懂的吗？师：还有没有？众生：没有。生B：好，既然同学都明白了这个问题。我相信，你们一定是最棒的，可以用建模思想解决更多的问题。既然大家没有问题，那我们就展示完毕。谢谢大家！（掌声响起）生A：掌声不够热烈。师：再来一次好不好？（响起更热烈的掌声）刚才，孔令民把我的话都给说了。同学考虑一下，还有没有别的方法做这个题目？不一样的方法？不一样的方法请举手！就你们两个?还有没有？那你们两个上来说一说，抓紧时间！（掌声）生C：这个问题中，让我们解如何定价才能使利润最大，所以我们可以定价为X元，利润为Y元。然后分情况，第一种情况是当降价的时候，总利润单件利润销售量，所以单件利润就是用售价减去单件进价X40，就是一件的利润，再乘以销售量，就得出了总利润。然后根据每降价一元每星期多卖出20件，价格降了60X元，所以我们可以多卖20（60X）元，同学们懂吗？众生：懂。生C：所以总销售量就是30020（60X），所以总利润就是单件的利润乘以销售量，即(40)30020(60X)。然后，解这个二次函数，把它化成一般形式。师：同学可以自己化一下。生C：同学们做完了吗？（等待 有同学举手）师：这个题目数字比较大一些，你可以参考黑板上的。生C：然后我可以再确定X的取值范围。因为X必须0，售价必须大于进价，然后又因为这是降价，所以降价价格必须售价，x60，我们利用公式法解出，这个二次函数，-b/2a=-2300/-40,解出-b/2a=57.5，然后再问(4ac-b2)/4a,解出要125，也就是说当降价时，定价为57.5元时为最大利润，最大利润为6125元，同学们还有什么不懂得吗？师：第一个式子，谁上黑板解释一下，同学们能听明白吗？众生：能。师：谁解释一下（同学举手），来，杨森上黑板解释一下。生D：因为它这里x-40，定价为x元，进价为40，得出之后所得的利润为x-40元，当售价为60元时候，买了300件，那么，当它定价为x元时，60-x中的x是它降价后的价格。题目中也说了，它每降价1元，就多买20件，现在降了60-x元，就要乘上20。师：好了，解释第一步就可以了，那么我问一下，这个定价x,是比60大，还是比60小？你有没有说明？（举手）师：李英然，解释一下。生E：我觉得这个x应该比60小，因为它这是降价，肯定原来售价小。师：好，是降价，把取值范围写一写吧，噢，写上了，继续。生E：请大家看第二步，当涨价的时候，同样的我们所得的利润还是用单价的利润时单价售价减去单价的进价，所以单价的利润就是x-40，因为它是涨价，它卖得衣服肯定比300件少，每涨价1元，它就会少卖10件衣服，它本来的售价为60元，现在的售价为x元，所以它涨了x-60元，就少卖10（x-60）件衣服，现在卖得衣服数就300-10（x-60）件，这样我们就可以求出，一个星期他卖出衣服的总利润，同学们还有什么问题吗？师：听懂了吗？这一步？众生：听懂了。师：谁起来解释一下。（举手）生E：郭星坊同学。生：刘新龙同学，第二步的时候没得涨价情况它定价为x元，其实也是根据这个公式，每件的利润的数乘以数量，x-40的意义就是现定价减去40的进价减去40的进价就是他每件的利润，每件的利润，再乘以数量，它的数量题目中说每涨价1元，每星期就会少卖10件，也就是说它涨价以后的x-60的肯定比60大，x-60再乘以10时他后来少卖的件数，然后一共存300件，我们用300件减去10（x-60），也就是他实际卖的数量，再乘以它每件的利润数，就得出刘新龙同学在上面写的公式了。师：非常好（掌声），请生谢谢你们两个，抓紧时间。生E：我们把二次函数化简，化成一般形式就是-10x2+1300x-3600，然后我们再看这个二次函数自变量x的取值范围，因为第二种情况是涨价情况，所以它的定价一定比原来的定价高，所以x一定大于60，因为他卖的件数肯定不能为0件，所以，他售出的衣服的件数肯定大于等于0，把这个不等式化简，就可以得出取值范围为60x90，同学们明白吗？师：谁有问题？生E：郭兴坊。生：我觉得等于60也可以，因为它的定价为x元，x也可以等于60元。生E：我们有第三种情况，我们用公式法求出这个自变量为多少的时候，就可以得到这个函数的最大值，当自变量x=65时，函数就有最大值，等于6250，所以我们就可以得出结论，当涨价时，定价为65元，最大利润为6250元，同学们，明白吗？那我们看第三种情况，当价格不变的时候，价格还是60元，它的进价为40元，它每件就会挣20元的利润，一其售出300件，再乘以300，就定价格不变时的利润，我们可以比一下。这三个数，600061256250，可以看出当定价为65元时，利润是最大的，同学们，明白吗？（等待片刻）那我们展示完毕。师：看着地三步，我认为这一步可以写上等号。这一步就不需要了，因为当等于60的时候，是不是就是这第三步啊，这里可以把它改一改。当60x90的时候，就是这一步了，这一步可以省略，当然这个等于，注意，随这一家，就不能随这一家了，听明白了吗？好，下面，我们看思考意义这个地方，解这类问题的一般步骤是什么，讨论半分钟，抓紧时间回答。（同学们纷纷举手）师：好，何帅男起来说。生F：首先审题，二设未知数，三找等量关系，四列方程，五解方程，六求取值范围，七再写结论。师：好，谁有问题？（纷纷举手）师：好，何新颖说。生：应该是列二次函数，他说的是列方程。师：噢，还有什么问题？生：还有，我认为应该先找等量关系，再设未知数。师：先找等量关系，再设未知数，你呢？生：不是解方程，应该化成标准形式。师：好，谁还有？生：我觉得开始应该是先分析题意，化成标准形式，还要它的取值范围，还有俗语。师：谁还有。好，李子豪。生：根据以上问题，我们还要在审题中。我们要找出售价，进价与增减件数的关系。师：常玉。生：就是我认为写出自变量取值范围之后，如果它理解出*数，不符合取值范围。你要再取一个符合取值范围的数值，就是画图像，找离顶点最近的点。师：好，我先来总结一下吧。首先是审题，找未知的数X和Y，然后下一步呢，根据等量关系，列关系式函数关系式，好，第三步。众生：化简师：怎么化简众生：-师：根据公式法或者自己方法，化简成什么形式？众生：-师：标准形式，然后，再根据X的取值，什么时候有最大值，什么时候有最小值，什么时候最大值啊？众生：-师：A怎么了?小于0，开口怎么了？什么时候有最小值?开口怎么了？开口向上，唉，对，那么下一个问题需要注意什么？（举手）好，高子宁。生：解这类问题的时候，我们要注意商品价格上涨销售量也会随之下降。商品价格上升，销售量也会随之增加，我们要学会同解析式的图像和性质来求利润的最大值和最小值。师：好，非常好。生：第一，我觉得我们要设列相符，我们要找出准确的取值范围，那样才能得出准确的结论。生：我认为最重要的一条是最后所得出来的X必须要符合实际。生：我觉得我们要设合适的未知量，已便于更方便的解决问题。生：我觉得还要灵活运用解题方法，用公式法或者自己方法，要灵活的运用，而且还要特别注意，是否要求取整数，就和第二问57.5，如果要求取整数的话，你就不能够再取它，而要再取一个离它近的一个相似的一个值。生：我觉得还要在每个不同情况下，必须注意自变量的取值范围。师：谁还再补充一下。生：我想补充一下，孔令民说的。他刚才说设X取整数的时候，我认为在函数图像，它只是某一些点而不是整一连线，然后X必须取整数，当题目要求的时候。生：老师我觉得你刚才说的一句话，不够严谨，刚才你在说我们在解这个二次函数解析式的时候，一定要用公式法或自己方法把它化成一般形式。或特殊形式，这个用自己方法化成特殊形式是没有问题的，但是你说用公式法化成一般形式，我觉得是不对的，应该是先化成一般形式，再用公式法求最值，说反了。师：谢谢，藤子轩同学。还有一个问题需要注意。（同学举手）生：我觉得在求出自变量X的时候，应该把它代入，求出件数来，利润，件数。件数也不能为小数，应该为整数，才能符合实际。师：这里有一个问题，同学们注意了没有啊，你刚才讲的是涨价和降价，这是干什么呢？生：我觉得还要注意这类题的时候，还要分类讨论，建立函数关系式，比如说上面那个活动1。它问的是如何定价才能使利润最大，而没有告诉你是准确的是涨价还是降价，所以我们要分两类情况来讨论，建立合适的函数关系式。（掌声）师：这个问题一定要注意。注意分类讨论，下面我们继续看活动，题目，根据你的能力编一道题，或者说精选一道有关这种问题的题目，好，谁上来，展示一下你的题目，好，常玉，上来看看。你的。拿出纸和笔来，抓紧时间做做这个题目，常玉上来读一读吧。生：冬天到了，一商店将进价为元的棉靴，按元一双出售时，每天能卖出双，若棉靴的零售价在一定范围内降价，已知每降价元，其销售量就会增加双，为了获得最大利润应降低多少元？师：抓紧时间做，这样清楚了吧。生：请大家讨论一下这个问题，也有请我的搭档杨森上来，大家欢迎（热烈掌声）生：题目已经列在这里了，我们可以设应降价元（已有同学做完，举手）生：看大家都做完了，由我来给大家讲一下这个题。在降价之前，我们知道进价是元，现在又降价了元，降价后每件的利润就是，请大家看黑板，降价元，每日的销售量，就会增加双，那么我降价元，那么每日的销售量就会增加双，在这之前，当售价为元时，每日可以卖出双，那么我降了元，那么可以卖出双，每一件的利润乘以总的销售量，就等于总的利润，大家还有什么不明白的地方吗？众生：没了。生：如果大家没有的话，我来解一下这个题，先把是得，乘以，根据多项式乘以多项式，多项式每一项乘以另一个多项式的每一项得整理之后，得出来-x2+10x+600，然后根据那个配与法，提出一个负号来，括号里面就是-（x2-10x-600）,然后最后得出来的结果就是-（x-5）2+625，到这一步大家明白了吗？众生：明白了。生H: 明白后，我想考一下大家，先把这里的先盖一下，这里的取值范围是多少，大家先考虑一下，如果谁会请举手。庞安彤。生：我觉得取值范围是0x30.生H：回答正确，我想补充一点。因为它说降价1元，销售量增加1双，那么x就要保证x是个整数。万一降低0.5元的话，销售量增加0.5双，那是不可能的，我们还要在这里，注明一点，x为整数，然后就可以写出答语：答：降低5元之后，利润为？师：要注意规范书写，黑板上同学写得非常好，注意答语。生H: 625元。我们讲完了，如果大家觉得我们比前几组讲得好的话，请大家热烈欢迎我们（大家热烈欢迎）生G:我觉得，我还有一个问题，这个题目是降价多少元时是最大利润，而不是利润为多少，这个答语写错了。师:写错了，应该怎么改，你说吧。生G:应该是当降低5元之后，利润最大。师：如果说最大利润是多少呢？多少钱就该是？众生：师：625元。这里问的是降低多少元。降低5元就可以了。生G:谁还有问题？ 宋同。生：我觉得，求那个值，可以用公式法。可以用-b/2a,求出等于5.就可以得出降价为5元。可以得到最高利润。就不用再求标准形式了。（掌声）生G：谢谢。宋同给我们提得建议，我们会改正。师：这个题目，需不需要配方啊？众生：不需要。师：用公式特简单。叹。用公式法特简单啊。这里没有求最大利润是多少元，只是沉降低几元的问题。好，继续。生G：谁还有问题？既然大家都没有问题，那我们展示完毕。谢谢大家。（热烈掌声）师：好。谁还有需要展示的？好，腾子璇拿过你的来看看吧。能看见吗?好，抓紧时间，底下同学做一做。2分钟看能不能做完。生K:后面的同学能看到屏幕上的题吗？那个李浩把题1画在黑板上，然后我给大家读一下题。如图，点C是AB是一动点，AB=1,分别以AC、BC为边做两个正方形。用S表示这两个正方形的面积之和。当AC为几时，S最小？大家看了题以后，先自由讨论两分钟。看看你们用什么方法解决这个问题？好了，同学们请看大屏幕。刚才同学们都讨论的非常热烈。想必你们都有了自己的解法，下面我们看李洁同学是怎么讲这个题的。生L：通过读题，我们发现这个AB=1，所以我们可以设AC为x，那么这个B