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量子力学测试题2010参考答案1、一质量为m的粒子沿x正方向以能量E向x=0处势垒运动。当时，势能为零；当时，势能为。问在x=0处粒子被反射的几率多大？解：S-eq为 其中 由题意知 区域 既有入射波，又有反射波；区域仅有透射波 故方程的解为 在x=0处，及都连续，得到 由此解得 注意 透射率 因为 将 ，分别代入几率流密度公式 得 入射粒子流密度 反射粒子流密度 透射粒子流密度 由此得 反射率 透射率 2、计算 （1）（2）设是的整函数，则解：（1）因为将第二项哑标作更换 所以 （2）先由归纳法证明 （）式 上式显然成立；设时上式成立，即 则 显然，时上式也成立，（）式得证。因为 则 3、试在氢原子的能量本征态下，计算和的平均值。解：处于束缚态下的氢原子的能量 （1）计算 方法1 相应的维里定理为 所以 方法2 选为参量 相应的F-H定理 （2）计算 等效的一维哈密顿量 取为参量 相应的F-H定理 注意 4、有一个二能级体系，哈密顿量为， 和微扰算符的矩阵表示为 其中表征微扰强度，。用微扰法求的本征值和本征态。解：由于是对角化的，可见选用表象为表象 对于，由非简并微扰论计算公式 得 所以 ，二级近似能量和一级近似态矢为 ，；，。对于，由简并微扰论计算得一级近似能量和零级近似态矢为 ，；，。5、自旋投影算符，为泡利矩阵，为单位矢量（）。 （1）对电子自旋向上态，求的可能值及相应几率； （2）对的本征值为1的本征态，求的可能值及相应几率。解：（1）由 得 对于电子自旋向上态，取值的几率分别为 （2）的本征值和本征态 ，； ， 电子处于的本征值为1的本征态(即的本征值为的本征态)，则的可能值及相应几率为 6、设质量为的两个全同粒子作一维运动，它们之间的相互作用能为。 （1）若粒子自旋为0，写出它们的相对运动态的能量和波函数； （2）若粒子自旋，写出它们的相对运动基态及第一激发态的能量和波函数。解：体系的哈密顿量为 引入质心坐标和相对坐标： 在坐标变换下，体系的哈密顿量变为 相对运动哈密顿量为 （1）若粒子自旋为0，则相对运动态的能量和波函数为 限定是为了保证波函数对交换和是对称的。（2）若粒子
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